第5章 阶段小测(一)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

阶段小测(一) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．数列1，－3，5，－7，9，…的一个通项公式为(　　) A．an＝2n－1 B．an＝(－1)n(1－2n) C．an＝(－1)n(2n－1) D．an＝(－1)n(2n＋1) 解析：选B.将n＝1，2，…代入各选项，可得B选项为正确选项． 2．在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an>0的最小正整数n为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：选B.由S13＝＝0，得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14，由2n－14>0，得n>7，即使得an>0的最小正整数n为8. 3．在等差数列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，则n＝(　　) A．10 B．15 C．20 D．30 解析：选C.因为Sn＝na1＋n(n－1)d＝10n＋n(n－1)×2＝n2＋9n，所以n2＋9n＝580，解得n＝20或n＝－29(舍去). 4．用火柴棒按如图的方法搭三角形，按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为(　　) A．199 B．201 C．203 D．205 解析：选B.由题图可以看出，第一个图中用了三根火柴棒，从第二个图开始每一个图中所用的火柴棒数都比前一个图中所用的火柴棒数多两根，设第n个图形所需要的火柴棒数为an，则an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，则第100个图形所用火柴棒数为2×100＋1＝201. 5．设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任意n∈N＋，都有Sn≤Sk成立，则k的值为(　　) A．22 B．21 C．20 D．19 解析：选C.对任意n∈N＋，都有Sn≤Sk成立， 即Sk为Sn的最大值． 因为a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93， 所以a4＝33，a5＝31， 故公差d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝41－2n， 当Sk取得最大值时，满足 又k∈N＋，解得k＝20. 即满足对任意n∈N＋，都有Sn≤Sk的成立的k的值为20. 6．已知数列{an}满足当1≤n≤3时，an＝n，且对∀n∈N＋，有an＋3＋an＋1＝an＋2＋an，则数列{an}的前50项和为(　　) A．97 B．98 C．99 D．100 解析：选C.由数列{an}满足当1≤n≤3时，an＝n， 可得a1＝1，a2＝2，a3＝3. 又对∀n∈N＋，有an＋3＋an＋1＝an＋2＋an， 即an＋3＝an＋2－an＋1＋an， 可得a4＝3－2＋1＝2，a5＝2－3＋2＝1，a6＝2，a7＝3，a8＝2，a9＝1，a10＝2，…， 则数列{an}是周期为4的数列，且以1，2，3，2反复出现， 所以数列{an}的前50项和为(1＋2＋3＋2)×12＋1＋2＝99. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．已知数列{an}是等差数列，其前n项和Sn满足a1＋3a2＝S6，则下列选项中正确的是(　　) A．a7＝0 B．S13＝0 C．S7最小 D．S5＝S8 解析：选ABD.根据题意，设等差数列{an}的公差为d. 对于A，a1＋3a2＝S6，即4a1＋3d＝6a1＋d，变形可得a1＋6d＝0，即a7＝0，故A正确；对于B，S13＝＝13a7＝0，故B正确；对于C，S7＝＝7a4，可能大于0，也可能小于0，故C不正确；对于D，S5－S8＝(5a1＋d)－(8a1＋d)＝－3a1－18d＝－3a7＝0，故D正确． 8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1>0，公差为d，S16>0，a9<0，则下列结论正确的是(　　) A．d<0 B．当n＝8时，Sn取得最大值 C．a4＋a5＋a18<0 D．使得Sn>0成立的最大自然数n是17 解析：选ABC.对于A，因为在等差数列{an}中，S16＝＝>0，a9<0，所以a8>0，d＝a9－a8<0，A正确； 对于B，由A知当n＝8时，Sn取得最大值，B正确； 对于C，a4＋a5＋a18＝3a1＋24d＝3(a1＋8d)＝3a9<0，C正确； 对于D，S16>0，S17＝＝17a9<0， 故使得Sn>0成立的最大自然数n＝16，D错误． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．已知数列{an}的通项公式为an＝an2＋n且满足2an＋1＝an＋an＋2，n∈N＋，则实数a＝________． 解析：由题意得{an}是等差数列， 所以an是关于n的一次函数， 且an＝an2＋n，所以a＝0. 答案：0 10．在等差数列{an}中，前5项和为10，最后5项和为90，前n项和为180，则项数n＝______________________. 解析：因为a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝10，an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4＝90， 所以(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＋(an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4)＝100， 所以5(a1＋an)＝100，即a1＋an＝20， 因为a1＋a2＋…＋an－1＋an＝＝＝180， 所以n＝18. 答案：18 11．若等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________． 解析：因为＝，且＝＝＝＝，由等差数列的性质得＝＝＝＝＝. 答案： 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)已知{an}是等差数列，其中a1＝25，a4＝16. (1)求{an}的通项公式；(6分) (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值．(7分) 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为a4＝a1＋3d，a1＝25，a4＝16， 所以d＝－3， 所以an＝25＋(－3)×(n－1)＝28－3n. (2)因为a1＝25，an＝28－3n， 所以a1，a3，a5，…，a19是以25为首项，－6为公差的等差数列， 所以a1＋a3＋a5＋…＋a19＝10×25＋×(－6)＝－20. 13．(本小题满分15分)若数列是等差数列，则称数列{an}为调和数列．若实数a，b，c依次成调和数列，则称b是a和c的调和中项． (1)求和1的调和中项；(7分) (2)已知调和数列{an}，a1＝6，a4＝2，求{an}的通项公式．(8分) 解：(1)设和1的调和中项为b，依题意得3，，1依次成等差数列，所以＝＝2，即b＝. (2)依题意，{}是等差数列，设其公差为d，3d＝－＝－，所以d＝， 所以＝＋(n－1)d＝＋(n－1)·＝，故an＝. 14．(本小题满分15分)已知数列{an}的前n项和Sn＝25n－2n2＋r. (1)当r＝0时，求证：数列{an}是等差数列；(7分)　 (2)若数列{an}是等差数列，求r满足的条件．(8分)　 解：(1)证明：当r＝0时，Sn＝25n－2n2. 当n＝1时，a1＝S1＝25－2＝23； 当n≥2时，Sn－1＝25(n－1)－2(n－1)2， 所以an＝Sn－Sn－1＝25n－2n2－25(n－1)＋2(n－1)2＝27－4n， 此时a1＝23符合上式， 所以an＝27－4n， 所以当n≥2时，an－an－1＝(27－4n)－27＋4(n－1)＝－4，可得数列{an}是公差为－4的等差数列． (2)Sn＝25n－2n2＋r，当n＝1时，a1＝S1＝25－2＋r＝23＋r； 当n≥2时，Sn－1＝25(n－1)－2(n－1)2＋r， 所以an＝Sn－Sn－1＝25n－2n2＋r－25(n－1)＋2(n－1)2－r＝27－4n， 所以an－an－1＝(27－4n)－27＋4(n－1)＝－4(n≥3)， 可得当n≥2时，数列{an}是公差为－4的等差数列， 若数列{an}是等差数列，则a1＝27－4＝23＝23＋r，所以r＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $