5.2.1 第2课时 等差数列的性质 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

　 1．若x，3x－2，3x＋2是等差数列，则 x的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C.因为x，3x－2，3x＋2是等差数列，所以根据等差中项的定义得2×＝x＋，解得x＝3.故选C. 2．已知在等差数列中，a2＝2，a4＝12，则a6的值为(　　) A．18 B．20 C．22 D．24 解析：选C.在等差数列中，a2＝2，a4＝12， 而a2＋a6＝2a4， 所以a6＝2a4－a2＝2×12－2＝22.故选C. 3．在等差数列{an}中，若a4，a8是方程x2－2x－3＝0的两个实数根，则a6＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．－1 解析：选A.由于a4，a8是方程x2－2x－3＝0的两根，所以a4＋a8＝2，即2a6＝2，所以a6＝1.故选A. 4．已知等差数列{an}是递增数列且满足a1＋a8＝6，则a6的取值范围是(　　) A．(－∞，3) B．(3，6) C．(3，＋∞) D．(6，＋∞) 解析：选C.因为{an}为等差数列，设公差为d， 因为数列{an}是递增数列，所以d＞0， 所以a1＋a8＝a3＋a6＝2a6－3d＝6， 则2a6－6＝3d＞0，解得a6＞3.故选C. 5．(多选)已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为(　　) A．－2，4，10，16 B．16，10，4，－2 C．2，5，8，11 D．11，8，5，2 解析：选AB.设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d， 则 解得或 所以这四个数依次为－2，4，10，16或16，10，4，－2. 故选AB. 6．(多选)(2025·日照月考)已知等差数列{an}的公差不为零，且a5＋an＝a10＋a20－m(m，n∈N＋)，则(　　) A．m＋n＝25 B．当且仅当n＝12时，mn最大 C．m－n＝10 D．mn的最大值是156 解析：选AD.因为等差数列{an}中，a5＋an＝a10＋a20－m，所以5＋n＝10＋20－m，即m＋n＝25，A正确；若m－n＝10，m＝∉N＋，C错误；mn＝(25－n)·n＝－n2＋25n＝－＋，又n∈N＋，所以当n＝12或13时，mn取得最大值156，B错误，D正确． 7．已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是________． 解析：由题意得 所以3(m＋n)＝20＋16＝36，所以m＋n＝12，所以＝6. 答案：6 8．已知等差数列{an}中，a1＋a6＋a11＝6，且a4＝1，则数列{an}的公差为________． 解析：因为数列{an}为等差数列， 则a1＋a6＋a11＝3a6＝6， 所以a6＝2， 又a4＝1，设{an}的公差为d， 所以公差d＝(a6－a4)＝. 答案： 9．现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为________升． 解析：设九只茶壶按容积从小到大依次记为a1，a2，…，a9， 由题意可得a1＋a2＋a3＝0.5，a7＋a8＋a9＝2.5， 所以3a2＝0.5，3a8＝2.5⇒a2＋a8＝1， 所以a5＝＝0.5. 答案：0.5 10．(13分)某科技公司最新研发的VR眼镜原售价为每台800元，在甲、乙两商家均有销售．甲商家用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商家一律都按原价的75%销售．某游乐园需要购买一批此类眼镜，去哪个商家买花费较少？ 解：设该游乐园需购VR眼镜n台，在甲商家购买每台售价不低于440元，每台售价为an元，则数列{an}为等差数列． an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n， 解不等式an≥440， 即800－20n≥440，得0<n≤18. 当购买台数不超过18台时，每台售价为(800－20n)元， 当购买台数超过18台时，每台售价为440元． 到乙商家购买，每台售价为800×75%＝600(元). (800－20n)n－600n＝20n(10－n). 当0<n<10时，600n<(800－20n)n； 当n＝10时，600n＝(800－20n)n； 当10<n≤18时，(800－20n)n<600n； 当n>18时，440n<600n. 综上，当购买台数少于10台时到乙商家购买花费较少，当购买10台时到甲、乙两商家购买花费相同，当购买台数多于10台时到甲商家购买花费较少． 11．已知公差不为0的等差数列{an}满足am＋ap＝2a5，则＋的最小值为(　　) A．1 B． C． D．2 解析：选C.根据等差数列性质可得m＋p＝10， 则(m＋2)＋p＝12， 所以＋＝(m＋2＋p) ＝≥ (5＋2)＝， 当且仅当＝，即p＝4，m＝6时，取等号．故选C. 12．(多选)(2025·辽阳期中)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝6，在{an}中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，下列说法正确的有(　　) A．an＝6n－5 B．当k＝2时，bn＝2n－1 C．当k＝2时，b19不是数列{an}中的项 D．若b8是数列{an}中的项，则k的值可能为6 解析：选ABD.由已知可得an＝1＋6(n－1)＝6n－5，故A正确；当k＝2时，数列{bn}的公差d′＝＝2，此时bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，故B正确；当k＝2时，bn＝2n－1，此时b19＝2×19－1＝37，令6n－5＝37，解得n＝7，即b19是数列{an}中的项，故C错误；当k＝6时，b1＝a1，又a2＝b1＋6＋1＝b8，故D正确．故选ABD. 13．诺沃尔(Knowall)在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年……人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次．从2024年开始到3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为____________． 解析：由题意可知，彗星出现的年份构成一个公差为d＝83，首项为a1＝1 740的等差数列， 所以an＝a1＋(n－1)d＝1 740＋83(n－1)＝83n＋1 657， 令2 024≤an≤3 000，即2 024≤83n＋1 657≤3 000， 解得≤n≤，又n∈N＋， 所以n＝5，6，…，16， 所以从2024年开始到3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为16－5＋1＝12. 答案：12 14．(15分)已知等差数列{an}中，a5＋a13＝34，a1＋a2＋a3＝9. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)设数列{bn}的通项公式为bn＝，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N＋)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．(9分) 解：(1)因为a5＋a13＝2a9＝34，则a9＝17， 因为a1＋a2＋a3＝9，则a2＝3， 设等差数列{an}的公差为d， 则d＝＝2， 故an＝a2＋(n－2)d＝2n－1(n∈N＋). (2)bn＝＝， 由已知可得2b2＝b1＋bm， 即＝＋， 所以＝， 整理可得m＝3＋， 因为m≥3且m，t∈N＋，故t－1为4的正约数， 所以或或 因此，存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N＋)成等差数列，或或 15．(15分)给定一个数列，在这个数列中，任取m项，并且不改变它们在数列中的先后次序，得到的数列称为数列的一个m阶子数列．已知数列的通项公式为an＝(n∈N＋，a为常数)，等差数列a2，a3，a6是数列的一个3阶子数列． (1)求a的值；(6分) (2)设等差数列b1，b2，…，bm是的一个m阶子数列，且b1＝ (k为常数，k∈N＋，k≥2)，求证：m≤k＋1.(9分) 解：(1)因为a2，a3，a6成等差数列，所以a2＋a6＝2a3. 又因为a2＝，a3＝，a6＝， 所以＝＋， 解得a＝0. (2)证明：设等差数列b1，b2，…，bm的公差为d， 因为b1＝，所以b2≤， 从而d＝b2－b1≤－＝－. 所以bm＝b1＋d≤－， 又因为bm>0，所以－>0， 即m－1<k＋1， 所以m<k＋2. 又因为m，k∈N＋， 所以m≤k＋1. 学科网（北京）股份有限公司 $