6.1.1 函数的平均变化率（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦“函数的平均变化率”核心知识点，从登山陡峭程度、气温变化等现实情境切入，通过定义自变量与因变量改变量，构建平均变化率公式，衔接以直代曲思想及平均速度应用，形成从具体到抽象的学习支架。 该资料以情境化问题链驱动教学，如通过气温变化斜率分析、平均速度局限性探讨，培养用数学眼光观察现实世界的意识。结合例题与跟踪训练，强化数学思维中的推理与运算能力，课中助力教师引导探究，课后帮助学生巩固概念、查漏补缺。

6．1　导　数 6．1.1　函数的平均变化率 新课导入 学习目标 　　你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈．当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？陡峭程度反映了山坡高度变化的快与慢．从数学的角度，如何量化曲线的“陡峭”程度呢？ 1.了解平均变化的实际情况． 2．理解平均变化率的含义． 3．会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题． 一　函数的平均变化率 请仔细观察下图气温T(单位：℃)随时间t(单位：天)的变化情况． 思考1　气温由A点到B点是如何变化的？A，B两点间的斜率是多少(结果保留一位小数)? 提示：气温逐步升高，由A点到B点经历了31天，气温增加了15.1 ℃；A，B两点间的斜率是≈0.5. 思考2　B，C两点间的气温是如何变化的？其斜率又是多少？ 提示： 气温快速升高，B，C两点相差2天，气温增加了14.8 ℃；其斜率是＝7.4. [知识梳理] 1．函数的平均变化率 一般地，若函数y＝f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，则称Δx＝x2－x1为自变量的改变量；称Δy＝y2－y1(或Δf＝f(x2)－f(x1))为相应的因变量的改变量；称＝为函数y＝f(x)在以x1，x2为端点的闭区间上的平均变化率． 2．平均变化率的意义 (1)平均变化率的实际意义是，在以x1，x2为端点的闭区间上，自变量每增加1个单位，因变量平均将增加个单位．因此，如果自变量增加h个单位，那么因变量将增加h个单位． (2)函数在一个区间内的平均变化率，等于这个区间端点对应的函数图象上两点连线的斜率． [例1] (对接教材例1)求函数f(x)＝x2－x在下列区间上的平均变化率． (1)[2，3]； (2)以2和2＋Δx为端点的闭区间． 【解】　(1)根据定义可知， ＝＝(32－3)－(22－2)＝4， 即f(x)在区间[2，3]上的平均变化率为4. (2)根据定义可知，＝＝＝＝3＋Δx，所以f(x)在以2和2＋Δx为端点的闭区间上的平均变化率为3＋Δx.　 　 求平均变化率的步骤 (1)作差：Δx＝x2－x1，Δf＝f(x2)－f(x1). (2)作商：＝＝. 注意　Δx，Δf的值可正可负，但Δx≠0，Δf可为0.比如，若函数f(x)为常数函数，则Δf＝0. [跟踪训练1] (1)函数f(x)＝x＋sin x在区间[0，π]上的平均变化率为(　　) A．1 B．2 C．π D．0 解析：选A.f(x)＝x＋sin x在区间[0，π]上的平均变化率为＝＝1.故选A. (2)若函数f(x)＝x2－c在区间[1，m]上的平均变化率为3，则m＝________． 解析：由题意得＝＝3，所以m＝2或m＝1(舍去). 答案：2 二　以直代曲(重在体会“无限逼近”、“近似与精确”的思想) [例2] 已知函数f(x)的部分图象如图所示．若把曲线AB近似地看成线段，则图中阴影部分的面积近似为________． 【解析】　若把曲线AB近似看成线段，则阴影部分的面积近似为直角三角形的面积S＝×1×3＝. 【答案】　 　 以直代曲思想用来研究函数的局部性质，重在体会“无限逼近”“量变到质变”“近似与精确”的思想． [跟踪训练2] 刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，如图是半径为1的圆内接正六边形，若用该正六边形的面积近似代替圆的面积，则该圆的面积的估计值为________． 解析：S正六边形＝6×＝. 答案： 三　平均速度与平均变化率 思考1　在一次高台跳水运动中，某运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.为了描述该运动员的运动状态，你能求该运动员在0≤t≤0.5，1≤t≤2，0≤t≤内的平均速度吗？ 提示：在0≤t≤0.5这段时间里，＝＝4.05(m/s)；在1≤t≤2这段时间里，＝＝－8.2(m/s)；在0≤t≤这段时间里，＝＝0(m/s).　 思考2　你认为用平均速度描述该运动员运动状态有什么问题吗？ 提示：由思考1知，在0≤t≤这段时间里，虽然运动员的平均速度是0 m/s，但实际情况是，该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能精确描述运动员的运动状态． [知识梳理] 如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x＝h(t)，则物体在[t1，t2](t1<t2时)或[t2，t1](t2<t1时)这段时间内的平均速度为(m/s). 这就是说，物体在某段时间内的平均速度等于x＝h(t)在该段时间内的平均变化率． [例3] 已知某物体运动的位移x m是时间t s的函数，且t＝0.3时，x＝0.38；t＝0.6时，x＝5.06. (1)求这个物体在时间段[0.3，0.6]内的平均速度； (2)估计出t＝0.5时物体的位移． 【解】　(1)所求平均速度为＝15.6(m/s). (2)将x在[0.3，0.6]上的图象看成直线，x与t的关系可近似表示为x－0.38＝15.6(t－0.3)，令t＝0.5，得x＝3.5， 故可估计出t＝0.5时物体的位移为3.5 m． 　 物体运动的平均速度和位移 (1)物体的平均速度＝(Δx为位移的改变量). (2)将物体在某时间段上的图象看成直线，可据此估计物体在此时间段内某时刻的位移． [跟踪训练3] (1)某物体运动t s后，其位移(单位：m)为y＝t2＋2t.则在2≤t≤4这段时间里，该物体的平均速度为(　　) A．5 m/s B．6 m/s C．8 m/s D．10 m/s 解析：选A.当t＝2时，位移为×22＋2×2＝6(m)， 当t＝4时，位移为×42＋2×4＝16(m)， 所以在2≤t≤4这段时间里，该物体的平均速度为＝5 m/s.故选A. (2)如图是某物体的运动时间x与位移y的函数图象，则该物体在A，B两点间的平均速度为________；在x＝2时位移的估计值是________． 解析：由题意得，A，B两点间的平均速度为＝－1，因此y与x的关系可近似表示为y－3＝－1×(x－1)，令x＝2，则y＝2，即在x＝2时位移的估计值为2. 答案：－1　2 1．(教材P67练习AT1改编)函数y＝在区间[1，4]上的平均变化率为(　　) A．　　　　　　 B． C． D．3 解析：选A.设f(x)＝， 则函数y＝在区间[1，4]上的平均变化率为＝＝＝.故选A. 2．(多选)(教材P67练习AT4改编)已知物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法错误的是(　　) A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 解析：选ABD.在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为，故A，B错误； 在t0到t1范围内，甲的平均速度为， 乙的平均速度为， 因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0， 所以>， 则在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度，故C正确，D错误．故选ABD. 3．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为________． 解析：由已知，得＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1. 答案：1 4．已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在区间[1，2]和[3，5]上的平均变化率，并比较f(x)在两个区间上平均变化的快慢． 解：自变量x从1变化到2时，函数f(x)的平均变化率为＝＝，自变量x从3变化到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝.由于<，所以函数f(x)＝x＋在区间[1，2]上的平均变化比在区间[3，5]上的平均变化慢． 　 1．已学习：函数的平均变化率、以直代曲思想以及平均速度与平均变化率的关系． 2．须贯通：平均变化率近似地刻画了函数对应的曲线在某一区间上的变化趋势，是曲线倾斜程度的“数量化”，曲线的倾斜程度是平均变化率的“直观化”． 3．应注意：忽视定义中Δx与Δf的对应关系致错． 学科网（北京）股份有限公司 $