第5章 专题课 数列求和（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学数列求和核心知识点，系统梳理分组求和、并项转化、倒序相加、裂项相消、错位相减等方法，通过例题解析与跟踪训练构建从基础到复杂的学习支架，帮助学生逐步掌握不同类型数列的求和策略。 资料以“例题示范-策略总结-跟踪训练”为设计主线，通过周期数列求和培养推理能力，裂项相消强化运算能力，助力学生用数学语言表达解题逻辑。课中便于教师引导探究，课后学生可通过训练查漏补缺，提升数列求和的应用意识与实践能力。

专题课　数列求和 [例1] (1)数列1，2，3，4，…的前n项和为(　　) A．＋　　　　 B．＋－1 C．－＋＋1 D．－＋ (2)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝(－1)n＋2，则数列{an}的前40项和为________． 【解析】　(1) 由题意知，数列的通项公式为n＋， 所以该数列的前n项和Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(＋＋＋…＋)＝＋＝－＋＋1.故选C. (2)因为an＋2－an＝(－1)n＋2， 当n为奇数时，(－1)n＝－1，则an＋2－an＝1，{a2n－1}是首项为1，公差为1的等差数列； 当n为偶数时，(－1)n＝1，则an＋2－an＝3，{a2n}是首项为2，公差为3的等差数列，所以S40＝(a1＋a3＋…＋a39)＋(a2＋a4＋…＋a40)＝＋＝820. 【答案】　(1)C　(2)820 分组求和法的常见类型及解法 [跟踪训练1] 数列1，1＋2，1＋2＋22，1＋2＋22＋23，…，1＋2＋…＋2n－1，…的前n项和为____________． 解析：观察数列得到 an＝1＋2＋…＋2n－1＝＝2n－1， 所以前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝21－1＋22－1＋…＋2n－1 ＝21＋22＋…＋2n－n＝－n ＝2n＋1－2－n. 答案：2n＋1－2－n [例2] (1)已知数列的前n项和为Sn，且满足a1＝2，an＋1＝1－，则S2 024＝(　　) A．1 013 B． C．1 014 D． (2)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为________． 【解析】　(1)因为a1＝2，an＋1＝1－， 所以a2＝1－＝，a3＝1－＝－1，a4＝1－＝2，…， 所以数列是以3为周期的周期数列，且a1＋a2＋a3＝， 所以S2 024＝674×＋a2 023＋a2 024 ＝674×＋2＋＝. 故选B. (2)因为an＝(－1)n(2n－1)， 所以a1＋a2＝2，a3＋a4＝2，…，a99＋a100＝2，所以该数列的前100项之和为a1＋a2＋…＋a100＝50×2＝100. 【答案】　(1)B　(2)100 并项转化法求和的解题策略 (1)一般地，当数列中的各项正负交替出现或成周期性变化时，可以采用并项转化法求和． (2)若数列的各项是正负交替的，则一般需要对项数n 进行分类讨论，最终的结果一般可以用分段形式来表示；若数列的各项成周期性变化时，求和的关键是弄清周期的个数及剩余的项数． [跟踪训练2] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，an＋an＋1＋an＋2＝，则S985＝(　　) A．328 B．329 C．985 D．1 970 解析：选B.S985＝a1＋(a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7)＋…＋(a980＋a981＋a982)＋(a983＋a984＋a985)＝＋＋＋…＋＋＝＝329.故选B. [例3] 已知函数f(x)＝. (1)求证：函数f(x)的图象关于点(，)对称； (2)求S＝f(－99)＋f(－98)＋…＋f(0)＋…＋f(99)＋f(100)的值． 【解】　(1)证明：因为f(x)＝， 所以f(1－x)＝＝＝， 所以f(x)＋f(1－x)＝1， 即函数f(x)的图象关于点(，)对称． (2)由(1)知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和． 因为S＝f(－99)＋f(－98)＋…＋f(0)＋…＋f(99)＋f(100)， 所以S＝f(100)＋f(99)＋…＋f(1)＋f(0)＋…＋f(－98)＋f(－99)， 又由(1)得f(x)＋f(1－x)＝1，所以2S＝200，所以S＝100. 倒序相加法求和适合的题型 一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和． [跟踪训练3] 已知等差数列满足a5＋a2n－5＝n(n∈N，n≥3)，则a1＋a3＋a5＋…＋a2n－3＋a2n－1＝________． 解析：因为数列是等差数列， 故a5＋a2n－5＝n＝2an，解得an＝， 令Tn＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－3＋a2n－1， 则Tn＝a2n－1＋a2n－3＋a2n－5＋…＋a3＋a1， 故2Tn＝＋＋…＋ ＝n×2an＝n2，解得Tn＝. 答案： [例4] 已知数列{an}满足a1＝1，且点(，)在直线y＝x－2上． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{anan＋1}的前n项和为Tn，求能使Tn<3m－12对n∈N＋恒成立的m(m∈Z)的最小值． 【解】　(1)由点(，)在直线y＝x－2上， 得－＝2， 所以数列是首项为＝1，公差为2的等差数列. 故＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＝. (2)anan＋1＝＝(－)， 所以Tn＝(1－)＋(－)＋…＋(－)， 即Tn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)，因为n≥1，n∈N＋，故Tn<， 故要使Tn<3m－12对n∈N＋恒成立，需使3m－12≥， 即m≥，又m∈Z，所以m的最小值为5. (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． (3)裂项时常用的公式如下： ①＝－； ②＝(－)； ③＝＝(－)； ④＝－； ⑤loga(1＋)＝loga(n＋1)－logan； ⑥＝(－1)n； ⑦＝. [跟踪训练4] (1)已知{an}是等差数列，且a1＝1，＋＋…＋＝，则a10＝(　　) A．15 B．26 C．28 D．32 解析：选C.设{an}的公差为d，若d＝0， 则＋＋…＋＝8，不满足题意，所以d≠0， 则an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)d， 则＝ ＝[－]， 所以＋＋…＋＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)， 故(1－)＝，解得d＝3， 故a10＝1＋9×3＝28.故选C. (2)若数列{an}的通项公式为an＝，其前n项和为Sn，若Sn＝9，则项数n＝__________． 解析：依题意，an＝＝－， 因此Sn＝－1＋－＋－＋…＋－＝－1， 而Sn＝9，则－1＝9，解得n＝99. 答案：99 [例5] 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋1－3Sn－4＝0，a1＝4. (1)证明：数列{an}是等比数列； (2)求数列{nan}的前n项和Tn. 【解】　(1)证明：因为an＋1－3Sn－4＝0， 所以an＋1＝3Sn＋4， 当n≥2时，an＝3Sn－1＋4， 所以an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an， 即an＋1＝4an(n≥2)， 又因为a2＝3S1＋4＝3a1＋4＝16，所以＝4， 所以{an}是以4为首项，4为公比的等比数列． (2)由(1)知，an＝4×4n－1＝4n， 设bn＝nan，则bn＝n·4n， 因为Tn＝1×4＋2×42＋…＋n·4n，① 所以4Tn＝1×42＋2×43＋…＋n·4n＋1，② 由①－②得， －3Tn＝4＋42＋43＋…＋4n－n·4n＋1， ＝－n·4n＋1＝(－n)·4n＋1－， 所以Tn＝·4n＋1＋. 运用错位相减法求和时的注意事项 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列的公比为负数的情况． (2)首先写出“Sn”与“qSn”的表达式，再写出Sn－qSn的表达式．若公比是字母参数，则应先对参数加以讨论(一般情况下，分q＝1和q≠1两种情况分别求和). [跟踪训练5] 已知数列{an}的前n项和是Sn，且2Sn＋an＝3.记bn＝logan＋1，则数列{anbn}的前n项和Tn＝________________． 解析：当n＝1时，2S1＋a1＝3，解得a1＝1；当n≥2时，由2Sn＋an＝3，得2Sn－1＋an－1＝3， 两式相减得an＝an－1，则数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，则an＝()n－1， 于是bn＝logan＋1＝n，anbn＝n·()n－1， 则Tn＝1×()0＋2×()1＋…＋(n－1)×()n－2＋n×()n－1， 因此Tn＝1×()1＋2×()2＋…＋(n－1)×()n－1＋n×()n， 两式相减得Tn＝1＋()1＋()2＋…＋()n－1－n·()n＝－n·()n＝－(＋n)·()n， 所以Tn＝－·()n－1. 答案：－·()n－1 学科网（北京）股份有限公司 $