第6章 阶段提升(四) 导数在研究函数中的应用(范围：6.2)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦导数在函数研究中的应用这一核心知识点，系统梳理导数与函数单调性（含参数分类讨论）、极值最值（导数零点分析）、实际问题优化（函数建模）的递进脉络，搭建从基础应用到综合实践的学习支架。 该资料通过题型分层设计与跟踪训练结合，突出分类讨论思维与实际问题建模，如单调性中参数a的分类、利润最大化问题的函数构建，培养数学思维与模型意识。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

阶段提升(四)　导数在研究函数中的应用 (范围：6.2) 题型一　导数与函数的单调性 1．函数f(x)＝＋ln x的单调递减区间为(　　) A．(－∞，5) B．(0，5) C．(5，＋∞) D．(0，＋∞) 解析：选B.易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋，令f′(x)＜0得0＜x＜5.故f(x)的单调递减区间为(0，5). 2．已知函数f(x)＝x＋在(－∞，－1)上单调递增，则实数a的取值范围是_____________________________________________________． 解析：由题意知f′(x)＝1－，由于f(x)在(－∞，－1)上单调递增，则f′(x)≥0在(－∞，－1)上恒成立，即≤x2在(－∞，－1)上恒成立．当x＜－1时，x2＞1，则有≤1，解得a≥1或a＜0. 答案：(－∞，0)∪[1，＋∞) 3．已知函数f(x)＝ln x－ax.讨论f(x)的单调性． 解：函数f(x)＝ln x－ax的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－a＝， 当a＝0时，f′(x)＝＞0， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a＜0时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a＞0时，令f′(x)＞0，则0＜x＜， 令f′(x)<0，则x＞， 所以函数f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减． 综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a＞0时，函数f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减． 　 利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础，一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性，从而掌握函数图象的变化趋势，达到解决问题的目的． 题型二　导数与函数的极值、最值 [例1] 已知函数f(x)＝ln x－(m∈R). (1)当m＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若函数f(x)在区间[1，e]上取得最小值4，求m的值． 【解】　(1)当m＝－2时，f(x)＝ln x＋(x＞0)， 则f′(x)＝－＝， 当 x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减， 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， 所以函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)，极小值为f(2)＝ln 2＋1，无极大值． (2)f′(x)＝，x∈[1，e]， ①当m≥－1时，f′(x)≥0，f(x)在[1，e]上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－m＝4，解得m＝－4，不满足m≥－1，故舍去； ②当－e＜m＜－1时，x∈[1，－m)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，x∈(－m，e]时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，f(x)min＝f(－m)＝ln (－m)＋1＝4，解得m＝－e3，不满足－e＜m＜－1，故舍去； ③当m≤－e时，f′(x)≤0，f(x)在[1，e]上单调递减，f(x)min＝f(e)＝1－＝4，解得m＝－3e，满足m≤－e.综上，m＝－3e. 　 利用导数求函数极值、最值应注意三点 (1)求单调区间时，应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则； (2)f′(x0)＝0时，x0不一定是极值点； (3)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论． [跟踪训练1] (1)已知函数f(x)＝－f′(1)x－4ln x，则(　　) A．f(x)的最小值为4－4ln 2 B．f(x)的最小值为2－4ln 2 C．f(x)的最大值为2－4ln 2 D．f(x)无最小值 解析：选A.因为f(x)＝－f′(1)x－4ln x(x>0)，所以f′(x)＝－f′(1)－，则f′(1)＝－f′(1)－4，解得f′(1)＝－2，则f(x)＝2x－4ln x(x>0)，f′(x)＝2－＝.当x∈(0，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．故f(x)的最小值为f(2)＝4－4ln 2，无最大值． (2)(2025·潍坊期末)若函数f(x)＝x3＋(a＋3)x2＋3ax＋1在x＝－3处取得极大值，则实数a的取值范围是(　　) A．(3，＋∞)　　　 B．[0，3] C．(－∞，3) D．(－∞，3)∪(3，＋∞) 解析：选C.方法一：f(x)的定义域为R，且f′(x)＝x2＋(a＋3)x＋3a＝(x＋3)(x＋a)，令f′(x)＝0，解得x＝－3或x＝－a，当－a＜－3，即a＞3时，当x＞－3或x＜－a，则f′(x)＞0，当－a＜x＜－3，则f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，－a)，(－3，＋∞)上单调递增，在(－a，－3)上单调递减，此时f(x)在x＝－3处取到极小值，不合题意；当－a＝－3，即a＝3时，f′(x)＝(x＋3)2≥0在定义域R上恒成立，因此f(x)在定义域R上单调递增，无极值，不合题意；当－a＞－3，即a＜3时，当x＜－3或x＞－a，则f′(x)＞0，当－3＜x＜－a，则f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，－3)，(－a，＋∞)上单调递增，在(－3，－a)上单调递减，此时f(x)在x＝－3处取到极大值，符合题意．综上，实数a的取值范围是(－∞，3). 方法二：f(x)的定义域为R，且f′(x)＝x2＋(a＋3)x＋3a，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝2x＋a＋3，因为f(x)在x＝－3处取得极大值，所以g′(－3)≤0，解得a≤3.经验证，当a＝3时f(x)在x＝－3处取不到极大值．所以实数a的取值范围是(－∞，3). 题型三　利用导数解决实际问题 [例2] 某工厂生产某产品的固定成本为400万元，每生产x万箱，需另投入成本p(x)万元，当产量不足60万箱时，p(x)＝x3＋150x；当产量不小于60万箱时，p(x)＝201x＋－1 860，若每箱产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部售完． (1)求销售利润y(单位：万元)关于产量x(单位：万箱)的函数关系式； (2)当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？ 【解】　(1)由题意可知，销售收入为200x万元， 当产量不足60万箱，即0＜x＜60时， y＝200x－p(x)－400＝－x3＋50x－400； 当产量不小于60万箱，即x≥60时， y＝200x－p(x)－400＝1 460－(x＋). 综上可得，y＝ (2)设y＝f(x)＝ 当0＜x＜60时，f′(x)＝－(x＋50)(x－50)， 则当0＜x＜50时，f′(x)＞0， 当50＜x＜60时，f′(x)＜0， 可知f(x)在(0，50)上单调递增，在(50，60)上单调递减，则f(x)max＝f(50)＝； 当x≥60时，1 460－(x＋)≤ 1 460－2＝1 300， 当且仅当x＝，即x＝80时取等号． 又1 300＞，所以当产量为80万箱时，该厂在生产中所获得利润最大，最大值为1 300万元． 　 解决优化问题的基本思路 (1)优化问题往往涉及变量之间的变化，因而就产生了函数关系，这时就可以利用导数解决优化问题． (2)导数是解决优化问题的基本方法之一．利用导数解决生活中的优化问题的基本思路如下． [跟踪训练2] 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r m，高为h m，体积为V m3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 解：(1)因为蓄水池侧面的建造总成本为100×2πrh＝200πrh(元)，底面的建造总成本为160πr2元， 所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元． 根据题意，得200πrh＋160πr2＝12 000π， 所以h＝(300－4r2)， 从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3). 由h>0且r>0，可得0<r<5， 故函数V(r)的定义域为(0，5). (2)由(1)知V(r)＝(300r－4r3)，0<r<5， 故V′(r)＝(300－12r2). 令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去). 当r∈(0，5)时，V′(r)>0， 故V(r)在(0，5)上单调递增； 当r∈(5，5)时，V′(r)<0， 故V(r)在(5，5)上单调递减． 由此，可知V(r)在r＝5处取得极大值，也是最大值，此时h＝8， 即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大． 学科网（北京）股份有限公司 $