第5章 阶段提升(一) 数列的概念与等差数列（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦数列的概念与等差数列核心知识点，系统梳理从基本运算（通项公式、前n项和公式）到性质应用（下标和性质、前n项和性质），再到判定证明及由递推关系求通项公式的递进式学习支架。 该资料整合高考真题与解题策略，通过例题与跟踪训练，培养学生运算能力（如基本量计算）、推理意识（性质应用）和抽象能力（递推关系转化）。课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

阶段提升(一)　数列的概念与等差数列 (范围：5.1～5.2) 1．在1和31之间插入14个数，使它们与1，31组成公差大于零的等差数列，则该数列的公差为(　　) A． B．30 C． D．2 解析：选D.设16个数对应公差为d的等差数列{an}的前16项，由题意可知，a1＝1，a16＝31，故d＝＝＝2. 2．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝2a2，公差d≠0，Sm＝0，则m的值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选B.由a1＝2a2＝2(a1＋d)，得 a1＝－2d， 又Sm＝ma1＋d＝－2md＋d＝0，又d≠0， 所以－2m＋＝0， 解得m＝5或m＝0(舍去). 3．(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝____________． 解析：设等差数列{an}的公差为d，由a3＋a4＝a1＋2d＋a1＋3d＝2a1＋5d＝7，3a2＋a5＝3(a1＋d)＋a1＋4d＝4a1＋7d＝5，解得a1＝－4，d＝3，则S10＝10a1＋45d＝95. 答案：95 等差数列的基本运算的解题策略 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程(组)解决问题的思想． (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 1．(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝1，则a3＋a7＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B.方法一：设等差数列{an}的公差为d，由S9＝9a1＋d＝9(a1＋4d)＝1，得a1＋4d＝，则a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝. 方法二：因为{an}为等差数列，所以S9＝＝9a5＝1，得a5＝，则a3＋a7＝2a5＝. 2．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，若＝，则＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.因为在等差数列{an}中，S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列， 设S4＝x，因为＝，故S8＝3x，所以x，2x，S12－3x，S16－S12成等差数列， 所以S12－3x＝3x，S16－S12＝4x， 即S12＝6x，S16＝10x，则＝. 3．已知Sn是数列{an}的前n项和，若{}是等差数列，且a1＝－7，a2＋a3＝－8. (1)求S7的值； (2)当n为何值时，Sn－n的值最小？ 解：(1)设等差数列{}的公差为d， 则＝a1＝－7，＝－7＋2d， 又a2＋a3＝－8，故＝－7＋2d，解得d＝1，所以＝－7＋6d＝－1，故S7＝－7. (2)由(1)可得＝－7＋(n－1)×1＝n－8，故Sn＝n2－8n， 所以Sn－n＝n2－9n＝(n－)2－， 因为n∈N＋，所以当n＝4或n＝5时， Sn－n的值最小． 等差数列的性质的应用 (1)项的性质：如下标和相等性质，利用此性质可以在有关基本量的计算时达到简化运算的目的． (2)前n项和的性质、奇偶项和性质、函数特性等，利用这些性质能够快速解决数列中的选择题、填空题． [例1] 已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n. (1)求a2，a3； (2)证明数列{}是等差数列，并求{an}的通项公式． 【解】　(1)由已知，得a2－2a1＝4，则a2＝4＋2a1， 又因为a1＝1，所以a2＝6. 由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3×6，所以a3＝15. (2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n， 得＝2，即－＝2， 又＝1，所以数列{}是首项为1，公差为2的等差数列，则＝1＋2(n－1)＝2n－1. 所以an＝2n2－n. 等差数列的判定与证明的方法 [跟踪训练1] 已知数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且＝－(n≥2)，则数列{an}的第100项为(　　) A． B． C． D． 解析：选B.因为＝－(n≥2)，所以＋＝(n≥2)，所以{}为等差数列，首项为＝，第2项为＝1，所以公差d＝，所以＝＋99d＝＋99×＝50，则a100＝. 1．已知在数列{an}中，a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)，则a2 026＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选A.由题意得a3＝a2－a1＝－1，a4＝a3－a2＝－2，a5＝a4－a3＝－1，a6＝a5－a4＝1，a7＝a6－a5＝2，a8＝a7－a6＝1，…，则{an}是以6为周期的周期数列，所以a2 026＝a337×6＋4＝a4＝－2. 2．已知在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N＋)，则an＝____________． 解析：由题得an＋1－an＝2n－1，因为an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－3)＝(n－1)2(n≥2)，且a1＝0满足上式，所以an＝(n－1)2. 答案：(n－1)2 3．若a1＝1，an＋1＝2nan，则通项公式an＝____________. 解析：由an＋1＝2nan，得＝2n－1(n≥2)，所以an＝··…··a1＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2(n≥2).又a1＝1满足上式，故an＝2. 答案：2 由递推关系求数列的通项公式的常用方法 注意　根据累加法、累乘法求出an之后，注意检验a1是否满足an. [例2] 已知公差不为0的等差数列{an}满足a3＝a5a8，a6＝1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记数列{an}的前n项和为Sn，求使Sn<an成立的最大正整数n. 【解】　(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， 由得 解得所以an＝－9＋2(n－1)＝2n－11. (2)由(1)得Sn＝＝n2－10n， 若Sn<an，即n2－10n<2n－11， 即n2－12n＋11<0，解得1<n<11，所以使Sn<an成立的最大正整数n为10. 解答等差数列综合问题的策略 (1)灵活应用等差数列的定义构造新的等差数列； (2)以“基本量法”为根本，重视公差和首项的计算； (3)树立“目标意识”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意解题的目标； (4)重视方程、分类讨论等思想在解决数列综合问题中的应用． [跟踪训练2] 在等差数列{an}中，已知首项a1>0，前n项和为Sn，公差d＝2，ak＝10，Sk＝30(k∈N＋). (1)试求a1和k； (2)求数列{a2n}的前n项和Tn. 解：(1)由 解得或 因为a1>0， 所以a1＝2，k＝5. (2)因为a1＝2，d＝2， 所以an＝2n， 则a2n＝4n，且{a2n}为等差数列， 所以Tn＝＝＝2n2＋2n. 学科网（北京）股份有限公司 $