5.5 数学归纳法（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦数学归纳法这一核心知识点，从“稻草原理”“多米诺骨牌效应”等生活情境导入，通过思考问题区分不完全归纳法与完全归纳法，系统梳理数学归纳法的两个关键步骤，并结合等式、几何、不等式证明的例题与跟踪训练构建应用支架。 该资料以生活现象为切入点，引导学生用数学眼光抽象递推思想，通过对比分析培养推理意识（数学思维），例题规范证明步骤强化数学语言表达。课中助力教师引导学生理解原理，课后即时练与练习题帮助学生巩固，有效查漏补缺。

*5.5　数学归纳法 新课导入 学习目标 　　往一匹健壮的马身上放一根稻草，马毫无反应；再添加一根稻草，马还是丝毫没有感觉……一直往马身上添加稻草，当最后一根轻飘飘的稻草放到了马身上后，马竟不堪重负瘫倒在地．这在社会学里，取名为“稻草原理”．这也是多米诺骨牌效应的一个体现，其中更蕴含着一种递推的数学思想，下面我们来学习一下这种数学思想． 1.了解数学归纳法的原理． 2．能用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题． 思考1　如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？ 提示：不能. 通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法．不完全归纳法得到的结论不一定正确. 思考2　在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？ 提示：要保证任意相邻两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块倒下，这样，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下．像这样以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的推理方法叫做数学归纳法．它是一种完全归纳的方法，虽有“归纳”这两个字，但其结论是正确的． [知识梳理] 一个与自然数有关的命题，如果 (1)当n＝n0时，命题成立； (2)在假设n＝k(其中k≥n0)时命题成立的前提下，能够推出n＝k＋1时命题也成立． 那么，这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立． [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．(　　) (2)应用数学归纳法证明数学命题时n0＝1.(　　) (3)用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，缺一不可．(　　) (4)推证n＝k＋1时可以不用n＝k时的假设.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步应验证n＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C.边数最少的凸n边形是三角形． 3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，从“k到k＋1”左边需要增加的代数式是________________． 解析：分别把n＝k和n＝k＋1代入等式左边可得： 12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，① 12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，② 由②－①得(k＋1)2＋k2. 答案：(k＋1)2＋k2 数学归纳法概念的理解 (1)与正整数有关的恒等式、不等式、数列的通项公式及前n项和等问题都可以用数学归纳法证明．但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决． (2)第一个值n0是命题成立的第一个正整数，并不是所有的第一个值n0都是1. (3)利用数学归纳法证明问题时要注意两点：一是要准确表述当n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由当n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设． [例1] (对接教材例1)用数学归纳法证明：＋＋…＋＝1－(n∈N＋). 【证明】　(1)当n＝1时，左边＝，右边＝1－＝，显然等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立， 即＋＋…＋＝1－， 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝1－＋＝1－＋＝1－， 故当n＝k＋1时，等式也成立， 由(1)(2)可得，＋＋…＋＝1－(n∈N＋)成立． 用数学归纳法证明等式的方法 [跟踪训练1] 用数学归纳法证明：当n∈N＋时，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2. 证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，则当n＝k＋1时，有1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2. 故当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对任何n∈N＋，原等式都成立． [例2] 平面内有n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明：这n个圆把平面分成了n2－n＋2个区域． 【证明】　(1)当n＝1时，1个圆将平面分为2个区域，12－1＋2＝2，显然命题成立． (2)假设当n＝k(k≥1)时，k个圆将平面分为k2－k＋2个区域， 当n＝k＋1时，第个圆Ck＋1与前k个圆交于2k个点，这2k个点把这个圆分为2k段弧，每段弧把它所经过的区域分成两部分，因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k个部分，即k2－k＋2＋2k＝k2＋k＋2＝2－＋2，即当n＝k＋1时，命题成立．根据数学归纳法可得，平面内有n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，这n个圆把平面分成了n2－n＋2个区域． 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k增加到k＋1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k与k＋1之间的递推关系. [跟踪训练2] 求证：n棱柱中过侧棱的对角面(即过棱柱的两条不相邻的侧棱的截面)的个数是f(n)＝n(n－3)，其中n≥4，n∈N＋. 证明：(1)当n＝4时，四棱柱有2个对角面， 此时f(4)＝×4×(4－3)＝2，命题成立． (2)假设当n＝k(k≥4，k∈N＋)时，命题成立． 即k棱柱中过侧棱的对角面有 f(k)＝k(k－3)个． 当n＝k＋1时， 对于(k＋1)棱柱A1A2…Ak＋1－B1B2…Bk＋1，棱Ak＋1Bk＋1与其余和它不相邻的(k－2)条棱共增加了(k－2)个对角面，而面A1B1BkAk变成了对角面．因此对角面的个数为f(k)＋(k－2)＋1＝k(k－3)＋k－1＝(k－2)(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3]，即f(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3]成立． 由(1)(2)可知，原结论成立． [例3] 用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2(n∈N＋). 【证明】　(1)当n＝1时，则＝1<2×＝2成立． (2)假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，1＋＋…＋<2成立，令n＝k＋1，则1＋＋…＋＋<2＋＝<＝2， 所以当n＝k＋1时不等式也成立． 由(1)(2)知，1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)恒成立． 用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点 [跟踪训练3] 设x>0，n∈N＋，且n≥2，用数学归纳法证明：(1＋x)n>1＋nx. 证明：(1)当n＝2时，左边＝1＋2x＋x2，右边＝1＋2x，因为x>0，所以x2>0，故左边>右边，原不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥2)时，不等式成立， 即(1＋x)k>1＋kx， 则当n＝k＋1时，因为x>0， 所以1＋x>0， 在不等式(1＋x)k>1＋kx两边同乘以1＋x得 (1＋x)k(1＋x)>(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x，所以(1＋x)k＋1>1＋(k＋1)x.即当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对任何n≥2，n∈N＋，不等式(1＋x)n>1＋nx都成立． 1．(教材P55T6改编)用数学归纳法证明3n≥n3，第一步应验证 (　　) A．当n＝4时，不等式成立 B．当n＝3时，不等式成立 C．当n＝2时，不等式成立 D．当n＝1时，不等式成立 解析：选B.由题意知n的最小值为3，所以第一步应验证当n＝3时，不等式成立．故选B. 2．(多选)下列结论能用数学归纳法证明的是　(　　) A．ex≥x＋1 B.1＋2＋3＋…＋＝ C.1＋＋＋…＋＝2－n－1 D．sin ＝sin αcos β＋cos αsin β 解析：选BC.数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，由此可知B，C能用数学归纳法证明．故选BC. 3．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<n(n∈N＋，n>1)，从n＝k到n＝k＋1时，不等式左边需增加的代数式为___________． 解析：当n＝k时，不等式为1＋＋＋…＋<k， 当n＝k＋1时，不等式为1＋＋＋…＋＋＋<k＋1.故不等式左边需增加的代数式为＋. 答案：＋ 4．(教材P55习题5－5A T2改编)用数学归纳法证明(1－)(1－)(1－)·…·(1－)＝. 证明：(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝，等式成立． (2)假设当n＝k时等式成立，即 ·…·＝， 则当n＝k＋1时， ·…· ＝＝＝＝， 所以当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)可知，对于任意n∈N＋，等式都成立． 1．已学习：数学归纳法的概念，用数学归纳法证明等式、不等式及平面几何问题． 2．须贯通：(1)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时，式子项数的变化，这是应用数学归纳法成功证明问题的保障； (2)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则就不是数学归纳法证明． 3．应注意：(1)对题意理解不到位导致n0的取值出错；(2)推证当n＝k＋1时忽略n＝k时的假设． 学科网（北京）股份有限公司 $