5.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学等差数列前n项和公式这一核心知识点，从高斯算法类比推导公式，系统梳理首项、末项、项数及首项、公差、项数两种求和公式，构建五个量“知三求二”的应用框架，衔接等差数列定义与通项公式，形成完整知识脉络。 该资料以天坛圜丘石板问题情境导入，用数学眼光发现现实数量关系，推导过程通过问题链引导推理，培养数学思维，例题与分层练习设计强化模型意识，课中助力教师引导推导，课后帮助学生巩固公式应用及查漏补缺，提升学习效果。

5．2.2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和公式 新课导入 学习目标 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．试想，文中所提到的石板一共有多少块？本节课我们一起来探究． 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程． 2．掌握等差数列的前n项和公式，熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个． 3．了解等差数列前n项和的函数特征． 　 思考1　据说，200多年前，高斯的算术老师提出了这个问题：1＋2＋3＋…＋100等于多少？ 提示：5 050. 思考2　高斯在求和过程中利用了什么方法？其方法利用了数列的什么性质？ 提示：(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050. 设an＝n，在计算中利用了等差数列的性质：若m＋n＝s＋t，则am＋an＝as＋at. 思考3　试求解Sn＝1＋2＋3＋…＋n. 提示：Sn＝1＋2＋3＋…＋n，Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋1，两式相加，2Sn＝(1＋n)＋(1＋n)＋…＋(1＋n)＝n(1＋n)，得Sn＝. 思考4　类比上述方法，试推导等差数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an的公式． 提示：Sn＝a1＋a2＋…＋an，① Sn＝an＋an－1＋…＋a1，② ①＋②得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)＝n(a1＋an)，由此得等差数列{an}的前n项和公式为Sn＝(公式一). 将an＝a1＋(n－1)d代入公式一中，得Sn＝na1＋(公式二). [知识梳理] 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 公式 Sn＝ Sn＝na1＋d [即时练] 1．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝(　　) A．230 B．420 C．450 D．540 解析：选B.S20＝20×2＋×2＝420.故选B. 2．已知等差数列{an}中，a2＝4，a8＝10，则数列{an}的前9项和S9＝(　　) A．64 B． C．63 D．28 解析：选C.在等差数列{an}中，a2＝4，a8＝10， 所以数列{an}的前9项和S9＝＝＝9×7＝63.故选C. 3．计算：1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝____________． 解析：由题意，易得数列{3n－2}为等差数列，所以1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝＝. 答案： 4．已知数列{an}中，an＋1＝an对∀n∈N＋恒成立，且a3＝2，则该数列的前5项和S5＝____________． 解析：由an＋1＝an对∀n∈N＋恒成立知数列{an}为常数列，故an＝2，所以S5＝5a3＝10. 答案：10 Sn＝与Sn＝na1＋d均为等差数列前n项和公式，注意灵活选择、应用．当已知a1，an时，多用Sn＝；当已知a1，d时，多用Sn＝na1＋d. [例1] (对接教材例1、例2)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn. (1)若a1＝，d＝－，Sm＝－15，求m及am； (2)若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d. 【解】　(1)因为Sm＝ma1＋d＝m－×＝－15， 所以整理得m2－7m－60＝0， 解得m＝12或m＝－5(负值舍去)， 所以am＝a12＝a1＋11d＝＋11×＝－4. (2)因为Sn＝(a1＋an)＝×(1－512)＝－1 022， 所以n＝4，又因为an＝a4＝a1＋3d＝1＋3d＝－512，所以d＝－171. 求等差数列的基本量的方法 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． [跟踪训练1] (1)(多选)在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1＝(　　) A．－1 B．3 C．5 D．7 解析：选AB.由题意知a1＋(n－1)×2＝11，① Sn＝na1＋×2＝35，② 由①②解得或故选AB. (2)等差数列的前n项和记为Sn，且S5＝10，S10＝50，则S15＝__________． 解析：设等差数列的首项为a1，公差为d， 由题意得 解得 则S15＝15×＋×＝120. 答案：120 三　利用等差数列前n项和公式判断等差数列 [例2] 已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n2＋3n，试判断数列{an}是不是等差数列． 【解】　Sn＝2n2＋3n， 则当n＝1时，a1＝S1＝5， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n－2(n－1)2－3(n－1)＝4n＋1. 又a1＝5适合an＝4n＋1， 所以数列{an}的通项公式是an＝4n＋1(n∈N＋). 当n≥2时，an－an－1＝4n＋1－[4(n－1)＋1]＝4， 故数列{an}是首项为5，公差为4的等差数列． 母题探究　本例的条件“Sn＝2n2＋3n”变为“Sn＝2n2＋3n－1”，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列． 解：当n＝1时，a1＝S1＝4， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2＋3n－1－2(n－1)2－3(n－1)＋1＝4n＋1. 又a1＝4不满足an＝4n＋1， 所以数列{an}的通项公式是 an＝ 因为a2－a1＝9－4＝5，a3－a2＝13－9＝4， 所以数列{an}中从第2项起，每一项与前一项的差不是同一个常数， 所以数列{an}不是等差数列． (1)若等差数列{an}的前n项和Sn＝na1＋d可化为Sn＝ n2＋n，令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn，当d＝0时，Sn＝na1；当d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数；反之，若数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(其中A，B都是常数)，则数列{an}一定为等差数列；若Sn＝An2＋Bn＋C(C≠0)，则{an}不是等差数列． (2)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错，务必验证n＝1是否满足an(n≥2)的情形． [跟踪训练2] 记数列的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝3n2＋n. (1)求数列的通项公式； (2)证明：数列{an}是等差数列． 解：(1)当n＝1时，2S1＝3＋1＝4，故a1＝S1＝2， 因为对任意正整数n, 2Sn＝3n2＋n，① 所以当n≥2时，2Sn－1＝32＋n－1，② 两式相减得2an＝3n2－32＋1＝6n－2，故an＝3n－1， 又当n＝1时，a1＝2满足上式， 故数列{an}的通项公式为an＝3n－1. (2)证明：当n≥2时，an－an－1＝3n－1－[3(n－1)－1]＝3， 故数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列． [例3] 若等差数列{an}的首项a1＝13，公差d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn. 【解】　因为a1＝13，d＝－4，所以an＝17－4n. 令an＝17－4n≥0，得n≤， 又因为n∈N＋，所以n≤4， 则当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝13n＋×(－4)＝15n－2n2； 记等差数列{an}的前n项和为Sn. 当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn＝2×－(15n－2n2)＝56＋2n2－15n. 所以Tn＝ 已知等差数列{an}，求{|an|}的前n项和的步骤 (1)确定通项公式an； (2)根据通项公式确定数列{an}中项的符号，即判断数列{an}是先负后正，还是先正后负； (3)去掉数列{|an|}中各项的绝对值，转化为{an}的前n项和求解，转化过程中有时需添加一部分项，以直接利用数列{an}的前n项和公式； (4)将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式． [跟踪训练3] 在等差数列{an}中，a1＝8，a4＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求T10. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 则有 解得d＝－2， 所以an＝8－2(n－1)＝－2n＋10. (2)因为当n≤5时，an≥0；当n≥6时，an＜0， 所以T10＝|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5－(a6＋a7＋…＋a10)＝8＋6＋4＋2＋0＋(2＋4＋6＋8＋10)＝50. 1．(教材P27练习AT4改编)等差数列－，0，，…前10项的和为(　　) A．25 B．30 C．35 D．40 解析：选C.由题意，a1＝－，d＝， 所以a10＝a1＋(10－1)d＝8， S10＝×10＝35.故选C. 2．(多选)已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a7＝5，S7＝21，则(　　) A．a1＝1 B．d＝－ C．a2＋a12＝10 D．S10＝50 解析：选AC.由a7＝5，S7＝21 可得 解得d＝，a1＝1，故A正确，B错误； a2＋a12＝2a1＋12d＝10，故C正确； S10＝10a1＋45d＝40，D错误．故选AC. 3．(教材P27练习AT5改编)在等差数列中，已知a1＝3，d＝－1，Sn＝－4，则n＝________． 解析：根据题意，Sn＝na1＋＝3n＋×＝－n2＋n＝－4， 整理得n2－7n－8＝0， 解得n＝8或n＝－1(舍去). 答案：8 4．设等差数列的前n项和为Sn.已知a1＝－7，S3＝－15.求： (1)Sn； (2)数列{|an|}的前16项和T16. 解：(1) 设等差数列的公差为d. 由题意，得S3＝3a1＋3d＝－15. 由a1＝－7，得d＝2. 所以的通项公式为an＝2n－9， 所以Sn＝＝n2－8n. (2) 当1≤n≤4时，an＜0； 当n≥5时，an＞0， T16＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋a5＋a6＋…＋a16＝－S4＋(S16－S4)＝S16－2S4＝(162－8×16)－2×(42－8×4)＝160. 1．已学习：等差数列前n项和公式的推导过程、前n项和有关的基本运算以及前n项和公式的应用． 2．须贯通：(1)利用公式求和要会灵活选择求和公式；(2)等差数列，求的前n项和体现了分类讨论思想． 3．应注意：(1)由Sn求通项公式时，忽略对n＝1的验证；(2)等差数列的前n项和Sn与二次函数的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $