5.2.1 第2课时 等差数列的性质（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦等差数列的性质这一核心知识点，前承等差数列概念，通过等差中项概念、下标和性质（若s+t=p+q则aₛ+aₜ=aₚ+a_q）及实际应用构建学习支架，为后续数列综合应用奠定基础。 该资料以正整数数列分奇偶实例导入，培养用数学眼光观察现实世界的意识，通过性质推导（如例1用等差中项法证明数列等差）发展数学思维，结合海拔气温等问题强化数学语言表达。例题与跟踪训练呼应，课中助教师高效授课，课后助学生巩固查漏。

第2课时　等差数列的性质 新课导入 学习目标 　　同学们，前面我们学习了等差数列的概念，在学习过程中，我们发现了一件非常有意思的事情，比如说an＝n，这是一个正整数数列，如果我们把其中的偶数拿出来，即2，4，6，8，10…容易发现这也是一个等差数列，同样，如果我们把所有的奇数拿出来，也能构成一个新的数列，今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质． 1.能理解等差中项的概念． 2．能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质． 3．能运用等差数列的性质简化计算． 4．能运用等差数列解决实际问题． 思考　若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列吗？反之，是不是也成立？ 提示：若a，b，c满足2b＝a＋c， 即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列． 反之，若a，b，c成等差数列，则有2b＝a＋c成立． [知识梳理] 如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项．根据等差中项与等差数列的定义可知A－x＝y－A，因此A＝. 点拨　任意两个实数都有等差中项，且唯一． [例1] (1)已知a，m∈R，m是a和10－a的等差中项，则m的值为________． (2)已知数列满足2an＋an－1＝nan＋a1，证明：数列为等差数列． 【解】　(1)因为m是a和10－a的等差中项，故2m＝a＋(10－a)＝10，则m＝5.答案为5. (2)证明：依题意，2an＋an－1 ＝nan＋a1， 以n＋1替换n得2an＋1＋nan＝an＋1＋a1， 两式相减并整理得an＋1－an ＝an－an－1， 由于n≥2，所以an＋1－an＝an－an－1， 即2an＝an＋1＋an－1， 所以数列为等差数列． 等差中项法证明等差数列 在等差数列{an}中，有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)，即an＝，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项． [跟踪训练1] (1)已知数列{an}是等差数列，且a2＋1是a1和a4的等差中项，则{an}的公差为________． 解析：设等差数列{an}的公差为d， 由已知条件，得a1＋a4＝2(a2＋1)， 即a1＋(a1＋3d)＝2(a1＋d＋1)，解得d＝2. 答案：2 (2)若，，成等差数列，求证：，，也成等差数列． 证明：因为，，成等差数列， 所以＝＋， 因此2·－－ ＝(＋)(a＋c)－－－－ ＝2－b(＋)＝0， 所以，，也成等差数列． [知识梳理] 一般地，如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq．特别地，如果2s＝p＋q，则2as＝ap＋aq． 点拨　(1)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同，可以推广为：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az. (2)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1＋an＝a2＋an－1＝…(n∈N＋). [例2] (1)已知在等差数列中，a2＋a10＝16，a5＝4，则a7＝(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 (2)已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝(　　) A．32 B．27 C．24 D．16 (3)若关于x的方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0(m≠n)的四个根可组成首项为的等差数列，则|m－n|的值是________． 【解析】　(1)方法一：设等差数列{an}的公差为d，则解得 所以a7＝a1＋6d＝12. 方法二：在等差数列中，a5＋a7＝a2＋a10＝16，得a7＝12，故选D. (2)方法一：设等差数列{an}的公差为d， 则a3＋a6＝2a1＋7d＝8， 所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24. 方法二：在等差数列中，m＋n＝p＋q， 则am＋an＝ap＋aq， 所以a2＋a6＝a3＋a5＝2a4， 所以5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7. 又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5. 所以5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24. (3)设a，b为方程x2－2x＋m＝0的两根，则a＋b＝2，c，d为方程x2－2x＋n＝0的两根，则c＋d＝2，而四个根可组成一个首项为的等差数列， 现假定a＝，则b＝2－＝. 根据等差数列的四项中，第一项与第四项的和等于第二项与第三项的和， 所以这个等差数列为，c，d，，则c＝，d＝， 所以m＝ab＝，n＝cd＝. 所以|m－n|＝＝. 【答案】　(1)D　(2)C　(3) 等差数列运算的两种常用思路 (1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量． (2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar. [跟踪训练2] (1)已知数列{an}是等差数列，且a2＋2a3＋a8＝32，则a4＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：选C.由题设a2＋2a3＋a8＝2a3＋2a5＝4a4＝32，故a4＝8.故选C. (2)在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝________． 解析：在等差数列{an}中，a5＋a6＝4， 所以a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4， 所以log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log2(2a1＋a2＋…＋a10)＝(a1＋a2＋…＋a10)log22＝4×5＝20. 答案：20 [例3] (对接教材例7)在通常情况下，从海平面到10 km高空，海拔每增加1 km，气温就下降一固定数值．如果海拔1 km高空的气温是9 ℃，海拔5 km高空的气温是－15 ℃，那么海拔8 km高空的气温是多少？ 【解】　设海拔n km高空的气温为an(1≤n≤10)，则{an}成等差数列，且a1＝9，a5＝－15， 设公差为d， 则d＝＝＝－6， 所以an＝－6n＋15， 所以a8＝－6×8＋15＝－33， 所以海拔8 km高空的气温是－33 ℃. 解答等差数列实际问题的基本步骤 [跟踪训练3] 某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，那么从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 解：设第n年的利润为an万元，则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N＋)，所以每年的利润构成一个等差数列{an}，设公差为d，从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损．所以由an＝220－20n＜0，得n＞11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损． 　 1．在等差数列中，若a7＋a17＝12，则a12＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 解析：选B.在等差数列中，2a12＝a7＋a17＝12，所以a12＝6.故选B. 2．(多选)已知在等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则(　　) A．公差d＝－4 B．a2＝7 C．数列{an}为递增数列 D．a3＋a4＋a5＝84 解析：选BC.因为a1＋a2＋a3＝21，所以3a2＝21，所以a2＝7.因为a1＝3，所以d＝4.所以数列{an}为递增数列，a4＝a2＋2d＝15.所以a3＋a4＋a5＝3a4＝45.故选BC. 3．(教材P21T2改编)若2a＋1是a－1与4a－2的等差中项，则实数a的值为________． 解析：由题意知，2(2a＋1)＝a－1＋4a－2， 则a＝5. 答案：5 4．(教材P22练习BT4改编)假设体育场一角看台的座位从第2排起每一排都比前一排多相等数目的座位．若第3排有10个座位，第9排有28个座位，则第12排有________个座位． 解析：由题意可知，体育场该角看台的座位数成等差数列，设为{an}，则a3＝10，a9＝28. 由通项公式可得解得 所以a12＝4＋(12－1)×3＝37. 故体育场该角看台的第12排有37个座位． 答案：37 1．已学习：等差中项的概念，等差数列的性质及实际应用． 2．须贯通：灵活利用等差数列的性质，可以减少运算量，该思路运用了整体代换的思想． 3．应注意：(1)对等差数列的性质不理解而致错； (2)忽略基本方法如方程(组)法的应用，过分强调性质的作用． 学科网（北京）股份有限公司 $