5.2.1 第1课时 等差数列的定义（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学等差数列的定义、通项公式、与一次函数的关系及判定方法，通过哈雷彗星出现时间、鞋号等生活实例引入，观察数列特征抽象出定义，再用累加法和迭代法推导通项公式，结合一次函数理解单调性，形成从具体到抽象的学习支架。 该资料以生活实例导入培养“数学眼光”，通过公式推导和判定证明发展“数学思维”，例题与跟踪训练提升“数学语言”表达。课中辅助教师引导学生探究，课后借助即时练和母题探究帮助学生巩固知识，查漏补缺。

5．2　等差数列 5．2.1　等差数列 第1课时　等差数列的定义 新课导入 学习目标 　　彗星是指进入太阳系内亮度和形状会随日距变化而变化的绕日运动天体，其中著名的短周期彗星之一为哈雷彗星．在过去300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的大概时间：1682，1758，1834，1910，1986.通过这一组数据呈现的规律，你能预测哈雷彗星下一次出现的时间吗？ 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题． 3．体会等差数列与一次函数的关系． 4．掌握等差数列的判定与证明方法． 　 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． (1)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的中国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45，44，43，42，41，40，…； (2)为增强学生体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10. 思考　以上数列有什么共同特征？ 提示：对于(1)，我们发现44－45＝－1，43－44＝－1，….该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．对于(2)，10－10＝0，…，有同样的取值规律(从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数). [知识梳理] 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差． [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)数列1，1，1，1，1是等差数列．(　　) (2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　) (3)等差数列至少有三项．(　　) (4)等差数列的公差是相邻两项的差．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．(多选)下列数列是等差数列的是(　　) A．0，0，0，0，0，… B．1，11，111，1 111，… C．－5，－3，－1，1，3，… D．，，1，，，… 解析：选ACD.根据等差数列的定义可知A，C，D是等差数列．故选ACD. 3．若数列1，3，a＋3，b是等差数列，则a＝__________，b＝__________． 解析：由a＋3－3＝3－1，所以a＝2，公差d＝3－1＝2，所以b＝5＋2＝7. 答案：2　7 关于等差数列的理解 (1)等差数列的代数表示：an＋1－an＝d. (2)定义中强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项． (3)注意作差顺序，且差必须是同一个常数． (4)公差可以是正数、负数、零． 思考　试根据等差数列定义中的递推关系：an－an－1＝d(n≥2)，推导数列{an}的通项公式． 提示：方法一(累加法)：因为{an}是等差数列， 所以当n≥2时，an－an－1＝d， an－1－an－2＝d， an－2－an－3＝d， … a2－a1＝d， 上述式子等号两边分别相加得 an－a1＝(n－1)d， 所以an＝a1＋(n－1)d(n≥2). 当n＝1时，上式也成立． 所以an＝a1＋(n－1)d. 方法二(迭代法)：因为{an}是等差数列， 所以an＝an－1＋d＝an－2＋d＋d＝an－2＋2d＝an－3＋d＋2d＝an－3＋3d＝…＝a1＋(n－1)d(n≥2). 当n＝1时，上式也成立． 所以an＝a1＋(n－1)d. [知识梳理] 以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d． 点拨　通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋). [例1] (对接教材例4、例5)在等差数列{an}中， (1)已知a2＝31，a7＝76，求a1，d； (2)已知a3＝7，a6＝16，求a10. 【解】　(1)在等差数列{an}中，由a2＝31，a7＝76得，解得a1＝22，d＝9. (2)方法一：设等差数列{an}的公差为d，由a3＝7，a6＝16得，解得a1＝1，d＝3，所以a10＝a1＋9d＝28. 方法二：设等差数列的公差为d, a6＝a3＋3d＝16，由a3＝7，得d＝3，所以a10＝a3＋7d＝28. 母题探究1　本例的中，若a1＋a6＝12，a4＝7，求an. 解：设等差数列的公差为d，由a1＋a6＝12，a4＝7得，解得所以an＝a1＋d＝2n－1. 母题探究2　本例的中，若a1＝9，公差d＝－2，an＝－15，求n. 解：由an＝a1＋d，得－15＝9－2，解得n＝13. 等差数列通项公式的求法与应用技巧 (1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． (2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个参数，那么就可以由通项公式求出第四个参数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”． [跟踪训练1] (1)已知在等差数列{an}中，a4＝8，a5＝a2＋a3，则a1＝ (　　) A．－2 B．1 C．2 D．4 解析：选C.设等差数列{an}的公差为d，则解得a1＝d＝2.故选C. (2)已知数列{an}是等差数列，且a1＋a4＝2(a2＋1)，则{an}的公差为________． 解析：设等差数列{an}的公差为d，由已知a1＋a4＝2(a2＋1)，即a1＋(a1＋3d)＝2(a1＋d＋1)，解得d＝2. 答案：2 思考　我们已经了解到数列是一种特殊的函数，根据等差数列的通项公式，你认为它与哪一类函数有关？ 提示：一次函数．由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，所以当d≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)当x＝n时的函数值， 即an＝f(n)，点(n，an)则是函数f(x)＝dx＋(a1－d)图象上的均匀分布的孤立的点，而d是直线f(x)＝dx＋(a1－d)的斜率． [知识梳理] 在等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d＝nd＋a1－d，如果记f(x)＝dx＋a1－d，则an＝f(n). (1)当公差d＝0时，f(x)是常数函数，数列{an}是常数列； (2)当公差d≠0时，f(x)是一次函数，而且f(x)的增减性依赖于公差d的符号，当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列． [例2] 已知(2，－1)，(4，－7)是等差数列{an}的图象上的两点． (1)求数列{an}的通项公式； (2)画出数列{an}的图象； (3)判断数列{an}是递增数列还是递减数列． 【解】　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 因为(2，－1)，(4，－7)是等差数列{an}的图象上的两点， 所以a2＝－1，a4＝－7，即解得 因此an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋5. (2)等差数列{an}的图象是均匀分布在直线y＝－3x＋5上的一系列离散的点，如图所示． (3)因为公差d＝－3＜0，所以等差数列{an}为递减数列． 等差数列的单调性 熟练掌握等差数列是关于n的一次函数这一结构特征，并且公差d是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性：当d>0时，数列{an}为递增数列；当d＝0时，数列{an}为常数列；当d<0时，数列{an}为递减数列． [跟踪训练2] 已知等差数列{an}的通项公式为an＝2n－7. (1)求首项a1和公差d，并判断数列是递增数列还是递减数列； (2)画出数列的图象． 解：(1)等差数列{an}的通项公式为an＝2n－7，所以首项a1＝2×1－7＝－5， 公差d＝an＋1－an＝2(n＋1)－7－(2n－7)＝2. 因为公差d＝2>0，所以an＋1>an， 所以数列是递增数列． (2)数列的图象，如图． [例3] 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 【解】　(1)证明：因为数列{an}满足a1＝2， an＋1＝. 两边取倒数可得，＝2＋， 即－＝2， 所以数列是等差数列，首项为＝，公差为2. (2)由(1)可得，＝＋2(n－1)＝， 解得an＝. 用定义法证明数列{an}是等差数列的基本步骤 (1)作差：an＋1－an； (2)变形：化简an＋1－an； (3)下结论：若化简结果是与n无关的常数，则{an}为等差数列，否则不是等差数列． [跟踪训练3] (1)(2025·德州月考)已知数列{an}满足an＋an＋2＝2an＋1(n∈N＋)，且a3＝2，a5＝8，则a7＝(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 解析：选C.由an＋an＋2＝2an＋1得an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以数列{an}为等差数列，设公差为d，所以解得 所以a7＝a1＋6d＝－4＋18＝14. (2)已知a1＝2，若an＋1＝2an＋2n＋1，证明为等差数列，并求{an}的通项公式． 解：由于an＋1＝2an＋2n＋1， 所以－＝1，又＝1， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列． 所以＝1＋(n－1)×1＝n. 所以an＝n·2n. 　 1．已知点(1，5)，(2，3)是等差数列{an}图象上的两点，则数列{an}为(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．以上选项都不对 解析：选B.等差数列{an}的图象所在直线的斜率k＝＝－2＜0，则直线呈下降趋势，故数列{an}为递减数列．故选B. 2．(多选)下列数列中是等差数列的有(　　) A．a－d，a，a＋d B．2，4，6，8，…，2(n－1)，2n C．a－2d，a－d，a＋d，a＋2d(d≠0) D．an－1＝an－(n∈N＋，n＞1) 解析：选ABD.对于A选项，由于(a＋d)－a＝a－(a－d)＝d，故是等差数列，故A正确； 对于B选项，2，4，6，8，…，2(n－1)，2n中，2n－2(n－1)＝2，是等差数列，故B正确； 对于C选项，因为a－d－(a－2d)＝d，(a＋d)－(a－d)＝2d，又d≠0，即第3项与第2项的差不等于第2项与第1项的差，不是等差数列，故C错误； 对于D选项，由an－1＝an－(n∈N＋，n＞1)得an－an－1＝(n∈N＋，n＞1)，满足等差数列定义，故D正确．故选ABD. 3．(教材P21T1改编)已知数列是等差数列，a1＝1，a2＋a7＝7，则a8＝________． 解析：因为数列是等差数列，设公差为d，所以a2＋a7＝a1＋d＋a1＋6d＝2＋7d＝7，解得d＝，所以a8＝a1＋7d＝6. 答案：6 4．已知数列{an}是等差数列(n∈N＋)，若a1＝2，a5＝－14. (1)求{an}的通项公式； (2)证明{an＋1＋an}是等差数列． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，a1＝2，a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4d＝－14，解得d＝－4， 所以an＝2＋(－4)×(n－1)＝－4n＋6，n∈N＋. (2)证明：因为(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝an＋2－an＝[a1＋(n＋1)d]－[a1＋(n－1)d]＝2d＝2×(－4)＝－8， 所以{an＋1＋an}是公差为－8的等差数列． 1．已学习：等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差数列的判定与证明． 2．须贯通：(1)应用等差数列的通项公式可以将an，a1，n，d四个元素互求，可以知三求一，体现方程思想； (2)证明等差数列的方法有定义法，而判断等差数列的方法还有通项公式法． 3．应注意：在等差数列的定义中，应该把握好三个关键，即“第二项”“后项与前项的差”“同一个常数”．在证明中应注意验证“第一项”也满足条件． 学科网（北京）股份有限公司 $