6.3.1二项式定理 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版 选择性必修 第三册 6.3.1二项式定理 第六章 计数原理 2. 组合数公式： 1. 排列数公式： 其中m，n∈N* 且 m≤n，规定 3. 组合数性质： 知识回顾 1.掌握二项式定理及其展开式的通项公式； 2.解决与二项式定理有关的简单问题. 学习目标 自学指导 阅读课本29--30页，完成以下问题： 问题1：二项式定理。 问题2：二项式系数与系数。 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 (a＋b)4＝ …… (a＋b)n＝_____________________________________________ 探究 我们知道， (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3. (1) 观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律? (2) 根据你发现的规律，你能写出(a＋b)4的展开式吗? (3) 进一步地，你能写出(a＋b)n的展开式吗? a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 —此公式叫做通项公式. 上述公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式， 它一共有 n＋1 项，其中各项的系数 叫做二项式系数. 二项展开式中的 叫做二项展开式的通项，用 来表示，即通项为展开式第k＋1项，即 教师点拨 二项式定理 1. 系数规律： 2. 指数规律： (1)各项的次数均为n； (2)各项里a的指数由n降到0，b的指数由0升到n. 3. 项数规律： 两项和的n次幂的展开式共有n+1个项 . 4. 通项公式: 二项展开式中的指数、项数、系数的变化，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项、特定项系数、以及数、式的整除方面有广泛应用 . 定理的特征： 教师点拨 二项式定理 注意： (1) 展开式的第k+1项(通项)为 其中 叫做二项式系数，它与第k+1项的系数是两个不同的概念 . (2) 它可表示二项展开式中的任意项，只要n与k确定，该项也随即确定； (3) 表示的是第k+1项，而不是第k项； (4) 中a, b的位置不能颠倒, 且它们指数和一定为 n. (5) 二项式定理对任意的数a, b都成立，若设a＝1, b＝x，则有 小组互助 例1 求 的展开式 . 小组互助 小组互助 例2 小组互助 D -15 小组互助 (1)n的值; (2)展开式中含x3的项. 小组互助 (1)n的值; (2)含x2的项的系数; (3)展开式中所有的有理项. 小组互助 D 小组互助 A 小组互助 例5： (1)(x+y)(2x+y)5的展开式中x3y3的系数为(　　) A.80 B.120 C.240 D.320 (2)若(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a= .  B 3 小组互助 变式5 已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a等于(　　) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 D 1. 二项式定理： 2. 通项公式： 3. 二项式系数： 课后反思 81x2-108x+54- 变式1 求的展开式. 变式2 (1)求的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数; (2)求的展开式中x3的系数. 例3 已知展开式中第3项的系数比第2项的系数大162,求: 变式3 已知在的展开式中,第6项为常数项.求: 例4：若(x2-a)的展开式中x6的系数为30,则a等于(　　) A. B. C.1 D.2 变式4若(x+2)展开式的常数项等于-80,则a等于(　　) A.-2 B.2 C.-4 D.4 $