20.2第2课时勾股定理逆定理的应用 课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

20.2第2课时勾股定理逆定理的应用 知识分点练 夯基础 知识点 勾股定理的逆定理的应用 1．据记载古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子的一部分分成等长的12段，一个人将绳子的第1个结和第13个结握在一起，另两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，且直角顶点在第4个结处．这样推理的依据是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理的逆定理 C．勾股定理 D．直角三角形两锐角互余 2．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是，甲客轮用到达处，乙客轮用到达处．若，两处的直线距离为，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（   ） A．北偏西30° B．南偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60° 3．如图，一块四边形地，已知，，，，，则这块地的面积为（    ） A． B． C． D． 4．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5千米，12千米，13千米，问这块沙田面积有多大？则该沙田的面积为（　　）平方千米． A．15 B．30 C．75 D．60 5．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为（   ） A． B． C． D． 6．如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地，测得，，，，，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 7．如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准． 8．如图，一工厂位于点处，河边原有两个取水点，，其中，由于从工厂到取水点的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点（点，，在一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)请判断是否为从工厂到河边最近的一条路（即与是否垂直）？并说明理由． (2)求的长． 能力综合练 练思维 9．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东40°方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即BA=30），问另一艘轮船的航行的方向是（    ） A．北偏西50° B．南偏西50° C．南偏东40° D．北偏西40° 10．如图，在中，，，，和的平分线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮．经测量，，，，，则空地的面积为____________． 12．如图，某小区有一块四边形空地ABCD，为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，其中，，，，．    （1）连接AC，则__________m． （2）这块草坪的面积为__________． 拓展探究练 提素养 13．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 14．综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端，间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，． 问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端，之间的距离． 15．【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    16．综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，，，，，在CD上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离为，就可以快速确定的度数． (1)施工人员测量的是点________与点________之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为120元，求建造绿化地的费用． (3)若，，，管道铺设费用为65元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道方案中，哪一种方案所需的费用最少． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.2第2课时勾股定理逆定理的应用 知识分点练 夯基础 知识点 勾股定理的逆定理的应用 1．据记载古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子的一部分分成等长的12段，一个人将绳子的第1个结和第13个结握在一起，另两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，且直角顶点在第4个结处．这样推理的依据是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理的逆定理 C．勾股定理 D．直角三角形两锐角互余 【答案】B 【分析】本题先计算出绳子围成三角形的三边长，再判断得到直角三角形的推理依据，用到勾股定理的逆定理的知识点． 【详解】解：设每段绳子的长度为单位1， ∵三角形三边长分别为，，， 又∵，满足三角形两边的平方和等于第三边的平方， ∴依据勾股定理的逆定理可判定该三角形是直角三角形，直角在第4个结处． 因此推理的依据是勾股定理的逆定理． 2．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是，甲客轮用到达处，乙客轮用到达处．若，两处的直线距离为，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（   ） A．北偏西30° B．南偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60° 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 根据速度和时间计算甲、乙行驶路程，利用勾股定理逆定理判断两路线垂直，再根据甲的方向推导乙的可能方向. 【详解】∵甲行驶路程：， 乙行驶路程：， 又∵，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵甲航行方向为北偏东， ∴乙航行方向与甲垂直，可能为北偏西或南偏东， 选项中南偏东对应C， ∴乙客轮航行方向可能为南偏东. 故答案为：C． 3．如图，一块四边形地，已知，，，，，则这块地的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，连接，由，，利用勾股定理可求出的长，再根据，，利用勾股定理的逆定理可证为直角三角形，然后即可求出这块地的面积． 【详解】解：连接， ，，， ∴， ， ，， ∴，， ，则为直角三角形，且， 这块地的面积为． 故选：B． 4．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5千米，12千米，13千米，问这块沙田面积有多大？则该沙田的面积为（　　）平方千米． A．15 B．30 C．75 D．60 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用和三角形面积的计算，关键是根据三边关系确定直角三角形． 通过勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再利用直角三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴该三角形为直角三角形，直角边为5千米和12千米， ∴面积（平方千米）． 故选：B． 5．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理与三角形面积公式，解题关键是先判定直角三角形，再利用面积法求点到直线的最短距离．先通过勾股定理的逆定理判断的形状，再利用三角形面积公式求出点到 （公路）的最短距离（即高）． 【详解】解：∵，， ∴． ∴是直角三角形，． 点到公路的最短距离是中边上的高，根据三角形面积公式： 解得：． 故选：C． 6．如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地，测得，，，，，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ，，， ， ∵，， ，， ， 是直角三角形， ， ∴四边形的面积的面积的面积， ， 这块菜地的面积为， 故选：B． 7．如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准． 【答案】符合 【分析】先在中利用勾股定理求出，然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】解：在中，，dm，dm， 由勾股定理，得 因为dm，dm， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准． 8．如图，一工厂位于点处，河边原有两个取水点，，其中，由于从工厂到取水点的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点（点，，在一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)请判断是否为从工厂到河边最近的一条路（即与是否垂直）？并说明理由． (2)求的长． 【答案】(1)是从工厂到河边最近的一条路，理由见解析； (2)的长为千米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （）根据勾股定理的逆定理判断即可； （）设的长为千米，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：是从工厂到河边最近的一条路，理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴与垂直， 即是从工厂到河边最近的一条路； （2）解：设的长为千米，则千米， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：的长为千米． 能力综合练 练思维 9．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东40°方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即BA=30），问另一艘轮船的航行的方向是（    ） A．北偏西50° B．南偏西50° C．南偏东40° D．北偏西40° 【答案】A 【分析】根据题意可得海里，海里，然后利用勾股定理的逆定理求出，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：（海里），（海里）， ，， ， ， ， 另一艘轮船的航行的方向是：北偏西， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，方向角，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 10．如图，在中，，，，和的平分线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理逆定理，可以得出是直角三角形，，根据平分，平分，即可得出答案． 【详解】∵在中，，，， ∴， ∴ ∴ ∵平分，平分， ∴， ∴ 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，角平分线的定义，熟练掌握性质灵活运用是本题的关键． 11．了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮．经测量，，，，，则空地的面积为____________． 【答案】114 【分析】连接对角线分割成两个直角三角形．先在中用勾股定理求出 BD 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形，最后分别计算两个三角形的面积并求和，得到四边形的面积． 【详解】解：如图，连接．在中，， ． ，，， ． 为直角三角形，且．． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式。解题关键是通过连接对角线将不规则四边形分割为两个直角三角形，从而用勾股定理及其逆定理求解面积． 12．如图，某小区有一块四边形空地ABCD，为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，其中，，，，．    （1）连接AC，则__________m． （2）这块草坪的面积为__________． 【答案】 5 36 【分析】（1）利用勾股定理解即可求解；（2）利用勾股定理的逆定理可得为直角三角形，即可求解． 【详解】解：（1）如图：    ∵，， ∴ 故答案为：5 （2）∵，， ∴ 故为直角三角形 ∴这块草坪的面积为： 故答案为：36 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．熟记定理内容是解题关键． 拓展探究练 提素养 13．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 14．综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端，间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，． 问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端，之间的距离． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）根据勾股定理的逆定理，即可求解； （2）根据勾股定理进行计算即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， 在中，，，， ∴， ∴． ∴是直角三角形． （2）∵是直角三角形，在同一直线上， ∴， ∴． 即池塘两端，之间的距离为． 15．【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    【答案】问题初探：（1）；（2）；（3）见解析；问题再探：见解析；问题拓展：9 【分析】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理的证明，三角形的面积的计算，全等三角形的性质． 问题初探：（1）根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义得到； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形的面积，于是得到结论． 问题再探：如图，过点P作直线于点F交直线a于点E，截取，，连接即可； 问题拓展：过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，证明，得，根据勾股定理得，然后代入三角形面积公式即可解决问题． 【详解】解：问题初探：（1）； 证明：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；, （2）∵， ， 故答案为：；, （3）证明：∵四边形的面积 ， ∴四边形的面积 ， ∴， 即． 问题再探：解：如图，即为所求；    问题拓展：解：如图，过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，     ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积 ． 故答案为：9． 16．综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，，，，，在CD上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离为，就可以快速确定的度数． (1)施工人员测量的是点________与点________之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为120元，求建造绿化地的费用． (3)若，，，管道铺设费用为65元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道方案中，哪一种方案所需的费用最少． 【答案】(1)A，C (2) (3)铺设管道所需的最少费用为910元． 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算，，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵，，， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为， ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为910元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $