20.2第1课时勾股定理的逆定理 课时分层训练 2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

20.2第1课时 勾股定理的逆定理 知识分点练 夯基础 知识点1 勾股定理的逆定理 1．三角形的三边长为，且满足，则这个三角形是（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】C 【分析】先利用完全平方公式化简原等式得到，利用勾股定理的逆定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴，则， ∵是三角形的三边长， ∴这个三角形是直角三角形． 2．已知的三边长分别为a、b、c，且，则的面积为________． 【答案】30 【分析】根据非负数的性质求出的三边长，再利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，最后根据三角形面积公式计算面积即可． 【详解】解：∵，，，且 ∴，，， 解得，，． ∵，， ∴， 根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，直角边为和， ∴的面积为． 3．在中，所对的边分别为、、．下列所给数据中，不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、因为，，故不是直角三角形； B、因为，所以是直角三角形； C、因为，且， 所以，解得，故是直角三角形； D、因为， 所以设，，，且， 故是直角三角形． 4．如图，阴影部分是某学校八（6）班的班级菜园，经测量，，，，． (1)求证：是直角三角形． (2)八（6）班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要9元，求购买西红柿苗总共需要的费用． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明即可； （2）过作交于，利用勾股定理求出，再根据求出面积，进而得到总费用． 【详解】（1）证明：，，， ， 是直角三角形． （2）解：过作交于， ，， 为中点，， ， ， 是直角三角形， ， ， 则（元）， 答：购买西红柿苗总共需要元． 5．已知a，b，c是的三边长． (1)若，求c的取值范围； (2)若，试判断的形状并说明理由． 【答案】(1)； (2)是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 【分析】（1）先利用完全平方公式将其配方成非负数和的模型，再求出，即可根据三角形的三边关系求解； （2）先将其因式分解得到，则或，再根据等腰三角形的定义以及勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∵， 则， 解得， ∴， ∴； （2）解：是等腰三角形或直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或 ∴或， ∴是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义以及勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，平方式的非负性等知识点，熟练掌握这些知识并灵活运用是解答的关键． 知识点2 勾股数 6．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，3， B．2，4，5 C．6，8，10 D．5，10，15 【答案】C 【分析】勾股数是指满足的三个正整数，需同时满足是正整数且符合勾股定理这两个条件． 【详解】解：A选项：不是正整数，不符合勾股数定义，故A不符合题意； B选项：∵，，，不满足勾股定理，故B不符合题意； C选项：∵，，即，且6、8、10均为正整数，符合勾股数定义，故C符合题意； D选项：∵，，，不满足勾股定理，故D不符合题意． 【点睛】注意勾股数不仅要满足，还要满足三个数为正整数． 7．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为，其中是互质的奇数，则，为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： 根据规律写出第⑦个等式为_____． 【答案】 【分析】通过观察已知等式中各底数的变化规律，分别归纳出第k个等式中三个数的底数表达式，再代入计算得到结果． 【详解】解：观察已知等式可得 第k个等式中，第一个数的底数为，指数为2， 第二个数的底数为，指数为2， 第三个数的底数为，指数为2， 则第k个等式为 当时 ， ， ， 所以第⑦个等式为． 8．毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中，用（n为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数中较小数的表达式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用勾股定理的平方关系，推导勾股数中较小数的表达式，关键是利用勾股数的性质设出中间数并进行代数变形． 【详解】解：题中所给表达式是毕达哥拉斯生成勾股数的一种形式 该类勾股数的三边可表示为、和， 其中最大数为， 另外两个数为和， 当为正整数时，， 所以， 因此，较小数的表达式是 故选：C． 能力综合练 练思维 9．已知三个顶点的坐标为，，，则三角形的形状为________． 【答案】直角三角形 【分析】先计算出三角形三边的平方，再利用勾股定理逆定理判断三角形形状即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形． 10．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若且，则面积为_____． 【答案】 【分析】先用配方法对变形配方，从而求得b，c的值，再将其代入，求出a，再由勾股定理的判定定理得出为直角三角形，进而求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴ 解得， ∵， ∴， 解得或（舍去） ∵， ∴， ∴是以1和为直角边的直角三角形， ∴的面积为：． 11．如图，等腰中，，是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为_____． 【答案】 【分析】连接，由全等三角形性质可得，，，通过勾股定理得，在中，，，，则，所以，然后通过即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴ ， ， ． 12．如果实数，，满足，那么我们称一元二次方程为“勾股”方程．已知①；②；③；④．上述方程是“勾股”方程的有________．(填序号) 【答案】①②④ 【分析】本题考查新定义“勾股”方程的判断，关键是先将方程化为一元二次方程的标准形式，确定每个方程的、、的值，再验证是否满足． 【详解】解：方程①化为标准形式为，其中，，． ∵，， ∴，故①是“勾股”方程； 方程②为标准形式，其中，，． ∵，， ∴，故②是“勾股”方程； 方程③为标准形式，其中，，． ∵，， 又，∴，故③不是“勾股”方程； 方程④整理为标准形式为，其中，，． ∵，， ∴，故④是“勾股”方程； 综上，是“勾股”方程的有①②④， 故答案为：①②④． 13．如图，已知中，，D是上的一点，，，．求的长． 【答案】5 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断，然后在中，根据勾股定理得出，解方程即可． 【详解】解：∵，，． ∴，， ∴， ∴， 在中，， 又， ∴， 解得． 14．如图，四边形中，，，，，． (1)判断的形状； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)是直角三角形 (2)36 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）由勾股定理求出，再由勾股定理逆定理可得，据此即可求得答案； （2）由，代入即可得出结论． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：， ，， ， 是直角三角形． （2）解：在中， ， 在中， ． ． 15．如图，四边形，、、，连接，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1)5 (2) 【分析】(1)根据，，，利用勾股定理求出； (2)如图，过点作交延长线于，利用勾股定理得到是直角三角形，再证明得到，的长，最后，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过点作交延长线于． ∴， 由(1)知，又知， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 拓展探究练 提素养 16．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，是点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长至点，使，连接．根据，可以判定；得出．这样就能把线段、、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围． 【方法提炼】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以通过作“辅助线”，构造以中点所分成两线段为对应边的全等三角形，从而寻求解决问题的方法． 【解决问题】（1）图1中的取值范围是______； （2）如图2，在中，，，是边上的中线，，求的面积； （3）如图3，在中，是边的中点，于点，交于点，交于点，连接，说明：． 【答案】（1），；（2）6；（3）见解析 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，三角形的三边关系，线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长至点，使，连接，由是的中点，可得，结合，根据可证明，可得，最后根据三角形的三边关系即可得到的取值范围； （2）通过延长中线构造全等三角形，将转化到同一个三角形中，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进而求出面积； （3）延长至点，使得，连接，证明，得到，由，，推出垂直平分，得到，最后根据在中，，即可求解． 【详解】解：（1）如图，延长至点，使，连接， 是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， ， ， 故答案为：，； （2）如图，延长到点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ，即， 是直角三角形，， ， ， ， 故的面积为6； （3）如图，延长至点，使得，连接， 是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 垂直平分， ， 在中，， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.2第1课时 勾股定理的逆定理 知识分点练 夯基础 知识点1 勾股定理的逆定理 1．三角形的三边长为，且满足，则这个三角形是（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 2．已知的三边长分别为a、b、c，且，则的面积为________． 3．在中，所对的边分别为、、．下列所给数据中，不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，阴影部分是某学校八（6）班的班级菜园，经测量，，，，． (1)求证：是直角三角形． (2)八（6）班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要9元，求购买西红柿苗总共需要的费用． 5．已知a，b，c是的三边长． (1)若，求c的取值范围； (2)若，试判断的形状并说明理由． 知识点2 勾股数 6．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，3， B．2，4，5 C．6，8，10 D．5，10，15 7．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为，其中是互质的奇数，则，为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： 根据规律写出第⑦个等式为_____． 8．毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中，用（n为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数中较小数的表达式是（  ） A． B． C． D． 能力综合练 练思维 9．已知三个顶点的坐标为，，，则三角形的形状为________． 10．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若且，则面积为_____． 11．如图，等腰中，，是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为_____． 12．如果实数，，满足，那么我们称一元二次方程为“勾股”方程．已知①；②；③；④．上述方程是“勾股”方程的有________．(填序号) 13．如图，已知中，，D是上的一点，，，．求的长． 14．如图，四边形中，，，，，． (1)判断的形状； (2)求四边形的面积． 15．如图，四边形，、、，连接，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 拓展探究练 提素养 16．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，是点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长至点，使，连接．根据，可以判定；得出．这样就能把线段、、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围． 【方法提炼】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以通过作“辅助线”，构造以中点所分成两线段为对应边的全等三角形，从而寻求解决问题的方法． 【解决问题】（1）图1中的取值范围是______； （2）如图2，在中，，，是边上的中线，，求的面积； （3）如图3，在中，是边的中点，于点，交于点，交于点，连接，说明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $