9.1.2 第2课时 非线性回归模型及拟合效果的判断（课时跟踪检测）（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

第2课时　非线性回归模型及拟合效果的判断 1.甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2如下表： 甲 乙 丙 丁 R2 0.98 0.78 0.50 0.85 则回归模型拟合效果最好的是（　　） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 2.某样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）的经验回归方程为＝0.5x＋0.7，当x＝8时，y的实际值为4.5，则当x＝8时，预测值与实际值的差值为（　　） A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 3.已知变量y关于变量x的经验回归方程为＝bln x＋0.24，其一组数据如表所示： x e e3 e4 e6 e7 y 1 2 3 4 5 若x＝e10，则y的值大约为（　　） A.4.94 B.5.74 C.6.81 D.8.04 4.如图一组实验数据的散点图，拟合方程为y＝＋c（x＞0），令t＝，则y关于t的经验回归直线过点（2，5），（12，25），则当y∈（1.01，1.02）时，x的取值范围是（　　） A.（0.01，0.02） B.（50，100） C.（0.02，0.04） D.（100，200） 5.〔多选〕某研究小组采集了5组数据，作出如图所示的散点图.若去掉D（3，10）后，下列说法正确的是（　　） A.样本相关系数r变小 B.决定系数R2变大 C.残差平方和变大 D.自变量x与因变量y的相关性变强 6.〔多选〕某种商品的价格x（单位：元/kg）与日需求量y（单位：kg）之间的对应数据如下表所示： x 10 15 20 25 30 y 11 10 8 6 5 根据表中的数据可得经验回归方程＝x＋14.4，则以下说法正确的是（　　） A.样本相关系数r＞0 B.＝－0.32 C.若该商品的价格为35元/kg，则日需求量大约为3.2 kg D.第四个样本点对应的残差为－0.4 7.在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的周围，令z＝ln y，求得经验回归方程为＝0.25x－2.58，则该模型的回归方程为　　　　. 8.某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）的相关性，在生产过程中收集了对应数据如下表所示，根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为＝0.6x＋.据此计算出在样本（4，3）处的残差为－0.15，则表中m＝　　　　. x 3 4 5 6 y 2 3 4 m 9.“绿水青山就是金山银山”的理念推动了新能源汽车产业的迅速发展.以下表格和散点图反映了近几年我国某新能源汽车的年销售量情况. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 某新能源汽车年销售量y/万辆 1.5 5.9 17.7 32.9 55.6 （1）请根据散点图判断，y＝bx＋a与y＝cx2＋d中哪一个更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型.（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测2025年我国该新能源汽车的年销售量.（精确到0.1） 参考数据：＝22.72，（wi－）2＝374，（wi－）·（yi－）＝851.2（其中wi＝）. 10.假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下： x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4 y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2 若由最小二乘法计算得经验回归方程＝0.29x＋34.7. （1）计算各组残差，并计算残差平方和； （2）求R2，并说明回归模型拟合效果的好坏. 11.某企业坚持以市场需求为导向，合理配置生产资源，不断改革、探索销售模式.下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量x（单位：t）与相应的生产总成本y（单位：万元）的五组对照数据. 产量x/t 1 2 3 4 5 生产总成本y/万元 3 7 8 10 12 （1）根据上表数据，若用最小二乘法进行线性模拟，试求y关于x的经验回归方程＝x＋. （2）记第（1）问中所求y与x的经验回归方程＝x＋为模型①，同时该企业科研人员利用计算机根据数据又建立了y与x的回归模型②：＝x2＋1.其中模型②的残差图（残差＝实际值－估计值）如图所示. 请完成模型①的残差表与残差图，并根据残差图，判断哪一个模型更适宜作为y关于x的回归方程，并说明理由. （3）根据模型①中y与x的经验回归方程，预测产量为6 t时生产总成本为多少万元. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　非线性回归模型及拟合效果的判断 1.A　决定系数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好. 2.B　当x＝8时，y的预测值＝4.7，4.7－4.5＝0.2.故选B. 3.C　令t＝ln x，则＝bt＋0.24.由题意得，＝4.2，＝3，由线性经验回归直线过样本的中心点，有b＝，所以＝·ln x＋0.24，将x＝e10代入得≈6.81.故选C. 4.D　根据题意可得y＝bt＋c（t＞0），由y关于t的经验回归直线过点（2，5），（12，25）可得：解得所以y＝2t＋1，由y∈（1.01，1.02）可得1.01＜2t＋1＜1.02，所以0.005＜t＜0.01，所以0.005＜＜0.01，所以100＜x＜200，故选D. 5.BD　根据散点图可知，去掉点D（3，10）后，y与x的线性相关性加强，且为正相关，样本相关系数r变大，则A错，D对；去掉点D（3，10）后，残差平方和变小，则R2变大，B对，C错.故选B、D. 6.BCD　对于A、B，由题表中的数据，得＝＝20，＝＝8，将，代入＝x＋14.4得＝－0.32，所以A选项说法错误，B选项说法正确；对于C，将x＝35代入＝－0.32x＋14.4，得＝3.2，所以日需求量大约为3.2 kg，所以C选项说法正确；对于D，第四个样本点对应的残差为y4－＝6－（－0.32×25＋14.4）＝－0.4，所以D选项说法正确.故选B、C、D. 7.＝e0.25x－2.58　解析：由z＝ln y，＝0.25x－2.58，得ln ＝0.25x－2.58，所以＝e0.25x－2.58.故该模型的回归方程为＝e0.25x－2.58. 8.4.8　解析：∵样本（4，3）处的残差为－0.15，且y关于x的经验回归方程为＝0.6x＋，∴3－（0.6×4＋）＝－0.15，解得＝0.75，故经验回归方程为＝0.6x＋0.75，∵＝＝4.5，＝＝，∴＝0.6×4.5＋0.75，解得m＝4.8. 9.解：（1）根据散点图可知，y＝cx2＋d更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型. （2）令w＝x2，则＝w＋. 易知＝11，＝＝≈2.28， ＝－≈22.72－2.28×11＝－2.36， 所以＝2.28w－2.36， 所以y关于x的回归方程为＝2.28x2－2.36. 令x＝6，得＝79.72≈79.7. 故预测2025年我国该新能源汽车的年销售量为79.7万辆. 10.解：（1）由＝xi＋，可以算得＝yi－. 分别为＝0.35，＝0.718，＝－0.5，＝－2.214，＝1.624， 所以残差平方和为（）2≈8.43. （2）由表中数据得＝43.5，（yi－）2＝50.18， 故R2＝1－≈1－≈0.832. 所以回归模型的拟合效果较好. 11.解：（1）计算＝（1＋2＋3＋4＋5）＝3， ＝（3＋7＋8＋10＋12）＝8， ＝12＋22＋32＋42＋52＝55， xiyi＝1×3＋2×7＋3×8＋4×10＋5×12＝141， ＝＝＝2.1， ＝－＝8－2.1×3＝1.7， 因此，经验回归方程为＝2.1x＋1.7. （2）模型①的残差表为 x 1 2 3 4 5 y 3 7 8 10 12 3.8 5.9 8 10.1 12.2 －0.8 1.1 0 －0.1 －0.2 画出残差图，如图所示： 结论：模型①更适宜作为y关于x的回归方程，理由1：模型①的5个样本点的残差点落在的带状区域比模型②的带状区域更窄； 理由2：模型①的5个样本点的残差点比模型②的残差点更贴近x轴.（写出一个理由即可） （3）根据模型①中y与x的经验回归方程，计算x＝6时，＝2.1×6＋1.7＝14.3， 所以预测产量为6吨时生产总成本为14.3万元. 学科网（北京）股份有限公司 $