8.2.2 第2课时 离散型随机变量的方差与标准差（课时跟踪检测）（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第2课时离散型随机变量的方差与标准差 1.CE(X)反映了X取值的平均水平，D(X)反映了X取值的离散程度. 2.A由题可得，E()=吉×(1十2十3)=2，D(5)=[(1-2)2+ (2-2)2+(3-2)2]=号，D(35十5)=32×D(5)=6,故选A. 3.AE(X1)=E(X2)=1.1,DX1)=(0-1.1)2×0.2+(1-1.1)2× 0.5+(2-1.1)2×0.3=0.49,D(X2)=(0-1.1)2×0.3+(1-1.1)2× 0.3+(2-1.1)2×0.4=0.69,.DX1)<D(X2),即甲比乙得分稳定， 选甲参加较好， 4.D由题意知这些商品的价格如果按人民币计算，价格是按美元计算的价格 的7倍，故按人民币计，则平均数和方差分别为7×30=210,72×60=2940. 故选D。 5.D由题可得，P(5=0)=1-p,P(ξ=1)=p,E(5)=0×(1-p)+1 ×p=p,D(5)=(1-p)2×p十(0-p)2×(1-p)=p(1-p),故选D. 6.BD设取球次数为5，则ξ的可能取值为1,2,3，则P(5=1)=,P(5= 2)=号×=品，P(=3)=号×幸=品.对于A选项，抽取2次后停止取球 的概率为P(传=2)=品，A选项错误；对于B选项，停止取球时，取出的白 球个数不少于黑球的概率为P(5=1)十P(5=2)=十品=品，B选项正 确；对于C选项，取球次数的均值为E()=1×+2×品十3×品=是，C 选项错误；对于D选项，取球次数的方差为D(5)=(1一)2×+(2 号)2×品+(3-)2×0=易，D选项正确. 7.8解析：由题意，D(X)=EX2)一(E(X))2=6一4=2，故D(Y) =D(2X-1)=22D(X)=8. 8.号解析：设P(5=1)=p,则P(5=2)=青-p,从而由E(5)=0×言十 1×p+2×(待-p)=1,得p=号.故D(5)=(0-1)2×吉+(1-1)2× +(2-1)2×吉=号， ◆独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2.解析：由概率分布的性质可得a十b=青，Px=1)- cd =号，所以n =2,又P=0)-得-专=0，所以6=台，诗丙可得E0=号+2b=1, 故DX)=(0-1)2a+(1-1)2X号+(2-1)2b=a十b=青， 10.解：(1)：E(n)=0×专+10×号+20×十50×十60×元=16， .D(m)=(0-16)2×青+(10-16)2×号+(20-16)2×+(50-16) 2×是+(60-16)2×=384. n的标准差o=VD()=8V6. (2)Y=2m-E(m), .D(Y)=D[2m-E(n)]=22D(n)=4X384=1536. 11.A因为E(51)=P1,E(52)=p2,所以E(51)<E(52).又因为D (51)=p1(1-p1),D(52）=p2(1-p2）,D(51)-D(52）=(p1-p2) ·(1-卫1-p2)<0,所以D(5)<D(52),故选A. 12.解析：由题意得P(X=0)=青(1一p)(1一)=立，解得p=, 所以PCX=1)=青，PCX=2)=最，P(CX=3)=吉，故E(X)=号，所以 DCX)=02×克+12×+22×品+32×合-（号）2=0 13.解：若按“项目一”投资，设获利X1万元， 则X1的概率分布为 X 300 -150 P 6 号 ∴.E(X1)=300×日+(-150)×号=200（万元）. D(X1)=(300-200)2×号+(-150-200)2×号=35000， 若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的概率分布为 X2 500 -300 0 P 市 .EX2)=500×号+(-300)×青+0×元=200（万元）. ◆独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 D(X2)=(500-200)2×是+(-300-200)2×青+(0-200)2×元=140 000, EX)=E(X2),D(X1)<DX2), 这说明虽然项目一、项目二获利均值相等，但项目一更稳妥· 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资。 14品解析：由题意知X的可能取值有0,1,2,3，则PCX=0)=圣 器，Px=1)=梁-得，PX=2》-婴-品，PCx=3)=-点故 ECX0=0×得+1×器+2×品+3×年=是，DX)=(0-星)2×器+ (1-星)2×器+(2-是)2×品+(3-)2×年=最×得+品×器+器× 品+器×品=品 15.解：(1)，A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付 款”，可知A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”， .P（A)=(1-0.2)3=0.512,.P(A)=1-P(A)=1-0.512=0.488. (2)根据顾客采用的付款期数的概率分布对应于1的可能取值为200元，300 元，400元，得到n对应的事件的概率， P(n=200)=P(ξ=1)=0.2 P(η=300)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.3+0.3=0.6， P(η=400)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=0.1+0.1=0.2， 故n的概率分布为 n 200 300 400 P 0.2 0.6 0.2 .期望E(n)=200×0.2+300×0.6+400×0.2=300. ∴.方差D(n)=(200-300)2×0.2+(300-300)2×0.6+(400-300)2× 0.2=4000. ◆独家授权侵权必究· 第2课时　离散型随机变量的方差与标准差 1.下列说法中正确的是（　　） A.离散型随机变量X的均值E（X）反映了X取值的概率的平均值 B.离散型随机变量X的方差D（X）反映了X取值的平均水平 C.离散型随机变量X的均值E（X）反映了X取值的平均水平 D.离散型随机变量X的方差D（X）反映了X取值的概率的平均值 2.已知随机变量ξ的概率分布为P（ξ＝k）＝，k＝1，2，3，则D（3ξ＋5）＝（　　） A.6 B.9 C.3 D.4 3.以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中的得分情况为 X1（甲得分） 0 1 2 P（X1＝xi） 0.2 0.5 0.3 X2（乙得分） 0 1 2 P（X2＝xi） 0.3 0.3 0.4 现有一场比赛，派哪位运动员参加较好（　　） A.甲 B.乙 C.甲、乙均可 D.无法确定 4.在郑州举行的第七届全球跨境电子商务大会期间，小郑同学购买了几件商品，这些商品的价格如果按美元计，则平均数为30，方差为60.如果按人民币计（汇率按1美元等于7元人民币），则平均数和方差分别为（　　） A.30，60 B.30，420 C.210，420 D.210，2 940 5.设随机变量ξ的概率分布为P（ξ＝k）＝pk（1－p）1－k（k＝0，1），则E（ξ），D（ξ）的值分别是（　　） A.0和1 B.p和p2 C.p和1－p D.p和p（1－p） 6.〔多选〕袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则（　　） A.抽取2次后停止取球的概率为 B.停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为 C.取球次数ξ的均值为2 D.取球次数ξ的方差为 7.设X，Y为随机变量，且E（X）＝2，E（X2）＝6，Y＝2X－1，则D（Y）＝　　　　. 8.随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ＝0）＝，E（ξ）＝1，则D（ξ）＝　　　　. 9.已知盒子中装有n（n＞1，n∈N*）个一等品和2个二等品，从中任取2个产品（取到每个产品都是等可能的），用随机变量X表示取到一等品的个数，X的概率分布如下表所示，则D（X）＝　　　　. X 0 1 2 P a b 10.已知η的概率分布为 η 0 10 20 50 60 P （1）求η的方差及标准差； （2）设Y＝2η－E（η），求D（Y）. 11.已知随机变量ξi，满足P（ξi＝1）＝pi，P（ξi＝0）＝1－pi，i＝1，2.若0＜p1＜p2＜，则（　　） A.E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） B.E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2） C.E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） D.E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2） 12.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P（X＝0）＝，则随机变量X的方差为　　　　. 13.某投资公司在2025年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和； 项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 14.某旅游公司为三个旅游团提供了a，b，c，d四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择a线路的旅游团数X的方差D（X）＝　　　　. 15.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的概率分布为 ξ 1 2 3 4 5 P 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 商场经销一件该商品，顾客采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为300元；分4期或5期付款，其利润为400元，η表示经销一件该商品的利润. （1）求事件A：“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”的概率P（A）； （2）求η的概率分布、期望和方差. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $