8.2.3-8.2.4 二项分布与超几何分布（题型专练，5基础3提升题型+培优）高二数学苏教版选择性必修第二册

8.2.3-8.2.4 二项分布与超几何分布 题型一 求二项分布的分布列 1．（25-26高二上·山东日照·月考）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响. (1)设甲击中目标的次数为，求的分布列； (2)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 2．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动1个单位.设移动秒后质点所在位置对应的实数为随机变量，则（    ） A． B． C． D．2 3．（2025·广东清远·一模）甲､乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分．设每局甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为 ．（结果用数字作答） 4．（24-25高二下·全国·课后作业）某人参加射击比赛，他击中目标的概率是． (1)设为他射击6次击中目标的次数，求随机变量的分布列； (2)若他只有6颗子弹，且当他击中目标时，就不再射击；当他未击中目标时，就继续射击，直至子弹打完，求他射击次数的分布列； (3)设为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求的分布列． 题型二 用二项分布性质求均值与方差 1．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知随机变量，随机变量，则 . 2．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·期末）已知随机变量，则 . 3．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知随机变量满足，且，则 . 4．（2025·河北·模拟预测）若随机变量，则 ． 题型三 实际问题中求二项分布的均值与方差 1．（2025·江西·模拟预测）某平台为了研究用户日均观看短视频的时长，随机抽取了200名用户进行调查，得到数据如下表： 日均时长（分钟） [40，50] 频数 30 50 80 30 10 (1)估计这200名用户日均观看时长的第70百分位数； (2)若平台规定“日均观看时长不少于30分钟的用户为潜在高粘性用户”，现从样本中有放回地抽取次，每次抽取1人，记抽到潜在高粘性用户的人数为. （i）当时，求的分布列和数学期望； （ii）若平台希望至少抽到1名潜在高粘性用户的概率不低于，至少需抽取多少次？（参考数据：） 2．（24-25高二下·河北沧州·期末）某地区进行了一次数学联考，现分析成绩，我们假定90分（含90分）以上算及格，对甲、乙两所学校进行统计，甲学校及格率为80％，乙学校及格率为90％．若将两所学校的学生成绩混合放在一起，则及格率为88％． (1)求甲、乙两所学校参加这次考试的学生人数比； (2)从甲、乙两所学校及格的学生成绩中抽取一份，求该份成绩来自乙学校的概率； (3)从甲、乙两所学校的学生成绩中随机抽取3份，用频率估计概率，记这3份成绩来自甲学校的份数为X，求X的分布列和数学期望． 3．（24-25高二下·上海·期末）甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试．笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为（），每道岗位实践题的难度系数均为（），考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束．已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立． (1)当时，求； (2)求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值； (3)已知甲通过了笔试环节，面试时每道题答对的概率是，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望． 4．（24-25高二下·辽宁沈阳·月考）已知甲盒子中有大小和形状完全相同的若干个红球和白球，乙盒子中有大小和形状完全相同的3个红球2个白球． (1)记甲盒子中取到红球的概率为，若有放回地从甲盒子中取球5次，当p为何值时，能使得3次取到红球的概率最大； (2)从乙盒子不放回地取球，若将白球取完则停止取球，记停止取球时取球次数为X，求X的概率分布和期望． 题型四 求超几何分布的分布列 1．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）某市今年举办的创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审某领域有8个项目进入最终角逐，其中科技类项目5个，文创类项目3个.从上述8个项目中随机抽取2个进行路演展示. (1)求抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目的概率； (2)记路演展示项目中抽中的科技类项目的个数为，求的分布列. 2．（2025高二·全国·专题练习）学校要从10名候选人中选2名组成学生会，其中高二（1）班有4名候选人．假设每名候选人都有相同的机会被选中，若X表示高二（1）班的候选人中被选中的人数，写出X的分布列． 3．（24-25高二下·全国·课后作业）若该批产品共有100个产品，合格率为，抽样方案选择的是，即在该批产品中随机抽取5件产品，若不合格品数为0，则该批产品通过检测．若用随机变量表示抽样中合格品的个数，请写出的分布列，并求出该批产品通过检测的概率． 4．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）一个口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取2个球，设X表示取到白球个数，则X的分布列为（    ）. A． B． C． D． 题型五 求超几何分布的均值与方差 1．（25-26高三上·江西鹰潭·月考）为了加强学生的交通安全意识，贵溪一中开展了“安全头盔守护生命”主题教育活动.学校为此次活动准备了10道关于安全头盔重要性､正确佩戴方法及相关法律法规的题目.在活动的知识竞答环节中，会从这10道题目中随机抽取3道让学生回答.已知该校学生小曾同学中午与家长一同认真学习了相关知识，能够准确回答其中的6道题目. (1)求抽到的题目中他能答对的题目数的分布列； (2)求的期望和方差. 2．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）某班组织竞赛活动，规定比赛需要从6道备选题中随机抽取3道题目进行作答．假设在6道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，乙能正确完成其中4道题目且另外2道题不能完成． (1)求甲正确完成其中2道题的概率； (2)设随机变量X表示乙正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望． 3．（24-25高二上·贵州遵义·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球.若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元. (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量.求的分布列与数学期望； (2)顾客消费了1000元： ①顾客获得返现金额为100元的概率是多少？ ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的），则顾客应选择哪种方案更优惠？（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图. (1)根据图中数据，能否判断强化训练后跳水队成绩有提高？试选用两种数字特征加以比较并说明理由. (2)规定学员得分80分以上（含80分）的为“优秀学员”，低于80分的为“非优秀学员”，现采取分层随机抽样的方式，从强化训练后的跳水队中优秀与非优秀学员中共抽取5名，从这5名学员中随机选出3人，求选出这3名队员中优秀人数的分布列. 题型一 求二项分布中的最大概率 1．（25-26高三上·江西抚州·期末）某学校组织“学党史、强信念、跟党走”为主题的知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题作答，先进行组答题，只有组的两道题均答对，方可进行组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学组每道题答对的概率均为，组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3道题才可获得一张奖券. (1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为，求的分布列与数学期望； (2)若甲同学进行了10轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由. 2．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）2025年9月，全国“城超”足球比赛在贵阳举办，比赛期间还开展文旅会客厅、特色市集等活动.其旨为响应国家全民健身战略，契合城市发展，展现贵阳魅力，实现“体育+文旅”多元共赢.为了增进省外观众对贵州文化的了解，从参加配套文旅活动的省外观众中，随机抽取150人，开展贵州文旅知识问答活动，该活动共有，，三道试题，全部答完后，至少答对2道试题，则可获得奖励总决赛门票一张.假设每人答对这3道试题的概率分别为，，，且每人答对各道试题与否互不影响. (1)求观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票的概率； (2)设通过文旅知识问答活动获得总决赛门票有个人的概率为，求取得最大值时的值. 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）为研究不同性别学生对“deep seek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deep seek”，“学生为女生”，据统计， ，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解deep seek的学生的人数为X，则当取得最大值时的（）值为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 4．（24-25高二下·广东广州·期末）某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题，先进行A组答题，只有A组的两道题均答对，方可进行B组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学A组每道题答对的概率均为，B组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一张奖券. (1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X，求X的分布列与数学期望； (2)若甲同学进行了8轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由. 题型二 求超几何分布中的最大概率 1．（2026·重庆九龙坡·一模）某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测. (1)在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望; (2)在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品. 用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取 个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值. 2．（25-26高二上·北京·期末）一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高三上·江苏扬州·月考）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球. (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，判断并说明事件A与B是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，只要白球个数是3个，则获奖，否则不获奖，该同学放置白球的数量n为多少时，参与者获奖的可能性最大? 4．（24-25高二下·河北承德·期末）作为低空经济的主导产业，我国无人机产业近年来呈现出高速发展的态势．某无人机生产厂家的某批次的20件产品中含有件次品，从中一次性随机抽取10件，设这10件产品中的次品数为． (1)若，求的概率； (2)当为何值时，的概率最大？ 题型三 二项分布中组合数/数列计算 1．（2026·湖北·模拟预测）某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知刘翔同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为.为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分.刘翔同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分. (1)若投篮2次，最终得分为X，求随机变量X的分布列和期望； (2)设最终得分为n的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 2．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）甲、乙两位候选人参与选举投票，每张选票仅填写一位候选人（无弃票权）．选票支持甲，则甲得1分，若支持乙，则乙得1分．设每张选票支持甲的概率为，支持乙的概率为，满足，且各张选票的投票结果相互独立．对正整数，记为“统计完张选票后，甲的得票数比乙的得票数至少多1票的概率”，为“统计完张选票后，乙的得票数比甲的得票数至少多1票的概率”． (1)求（用表示）； (2)证明：为定值； (3)证明：对任意正整数，． 3．（2026·陕西西安·一模）2025年12月1日全面实施电动车新国标的相关规定，全面禁售旧国标车，聚焦车辆安全性能升级.据调查拥有电动车的家庭中，的家庭只拥有电动车，的家庭既有电动车也有其他交通工具.对于每个家庭，若只拥有电动车则记1分，若同时拥有其他交通工具则记2分.假设各家庭是否拥有其他交通工具相互独立，且视调查频率为概率. (1)从被调查家庭中随机抽取3户，记这3户的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)从被调查家庭中随机抽取n（）户，记这n户的合计得分恰为的概率为，求. 4．（25-26高三上·广西南宁·月考）某种比赛采用“局胜”制（即累计先赢局者获得本场比赛胜利）．在该比赛中，选手甲对阵选手乙，假设每一局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为（每局比赛结果相互独立，不受之前战局影响，且无平局）． (1)当时，若，结束比赛时，比赛的局数为，求的分布列与数学期望； (2)如果选择以下方案中的一种： 方案一：若采用“5局3胜”制，甲累计先赢3局比赛结束的概率为． 方案二：设甲乙赛满5局比赛，甲至少赢3局比赛的概率为． 比较和的大小； (3)记“局胜”制比赛中甲获得最终胜利的概率为，记“局胜”制比赛中，甲在第一局输的条件下甲获得最终胜利的概率为，证明：． 1．（25-26高三上·重庆·开学考试）甲、乙两名运动员将参加体育考核.考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试.已知6个项目中，有3个是甲擅长的，必定通过测试，另有3个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p 且各次测试相互独立.在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X和 Y. (1)若 分别求出随机变量X和Y的概率分布列，并求它们相应的数学期望. (2)规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”. （i）在（1）的条件下，当运动员甲和乙考核都“达标”时，求甲、乙至少1人考核“优秀”的概率. （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等.求证： 2．（23-24高二下·河北石家庄·期末）端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（    ） A．当时，随机变量服从两点分布 B．随着的增大，减少，增加 C．当时，随机变量服从二项分布 D．随着的增大，增加，减小 3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）甲、乙两人共进行局比赛，假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. (1)设，若全部局比完后，所赢局数多者获胜.甲获胜的概率记为， （i）求； （ii）试比较与的大小，并证明你的结论. (2)设，“局比赛结束后，甲赢得奇数局比赛”的概率记为，证明：. 4．（2025高一·全国·专题练习）甲每次掷骰子，若点数不超过三点，则加1分，若点数超过三点，则减1分．已知甲的初始积分为0分．记甲重复掷骰子n次后的得分为． (1)若，求． (2)证明：若n为偶数，且同奇偶，则越大，k越小． (3)求和． 5．（2025·广东佛山·一模）中秋节期间，某商场组织一场抽奖活动.每次抽奖中奖的概率均为，且每次抽奖相互独立.在商场消费的顾客可以自由选择抽奖次数，如果中奖次数多于抽奖次数的一半，则可获得中秋礼物.记表示“抽奖次，获得礼物的概率”. (1)若，求； (2)若，顾客选择抽3次奖，记中奖次数与不中奖次数之差为，求的期望； (3)若，且规定只能选择抽奇数次奖.一位顾客认为，抽奖次数越多，获得礼物的概率就越大.判断这位顾客的说法是否正确，并证明你的结论. 6．（25-26高三上·山东济南·期中）甲､乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜.假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. (1)时，若两人共进行5局比赛.设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； (2)时，若两人共进行局比赛.记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”.事件表示“甲最终获胜”.请写出的值（直接写出结果即可）； (3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为证明：时，. 7．（25-26高三上·湖北·月考）某企业的生产设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时， （i）求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望； （ii）求； (2)讨论与的大小关系. 8．（25-26高三上·青海西宁·月考）城市生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为. (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为. （i）请写出与的递推关系，并求出； （ii）设，记数列的前项和为，求证：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2.3-8.2.4 二项分布与超几何分布 题型一 求二项分布的分布列 1．（25-26高二上·山东日照·月考）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响. (1)设甲击中目标的次数为，求的分布列； (2)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由题意得到的所有可能取值，根据变量对应的概率和独立重复试验的概率公式，写出对应的概率即可得到分布列； （2）3次射击中甲恰好比乙多击中目标2次，即为甲击中目标2次且乙击中目标0次，甲击中目标3次且乙击中目标1次，分别求出其概率，再相加即可. 【详解】（1）由题可知的所有可能取值为0，1，2，3，且 ，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 （2）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件，甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件， 则， 所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为． 2．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动1个单位.设移动秒后质点所在位置对应的实数为随机变量，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】记质点向右移动的次数为，据题意可得，服从二项分布.分别求得和时对应的的值，由此求得和，从而求得. 【详解】由题意知，质点向左或向右移动1个单位的概率均为，设质点向右移动的次数为，则， 若，则移动6次后质点一共向左移动3次，向右移动3次，所以； 若，则移动6次后质点一共向右移动4次，向左移动2次，所以. 故. 故选：A. 3．（2025·广东清远·一模）甲､乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分．设每局甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为 ．（结果用数字作答） 【答案】 【分析】利用二项分布概率公式来分两类计算即可. 【详解】事件：甲胜5局，得5分，乙得0分，则， 事件：甲胜4局，负1局，得4分，乙得1分，则， 所以五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为 故答案为： 4．（24-25高二下·全国·课后作业）某人参加射击比赛，他击中目标的概率是． (1)设为他射击6次击中目标的次数，求随机变量的分布列； (2)若他只有6颗子弹，且当他击中目标时，就不再射击；当他未击中目标时，就继续射击，直至子弹打完，求他射击次数的分布列； (3)设为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求的分布列． 【答案】(1)分布列见解析； (2)分布列见解析； (3)分布列见解析. 【分析】（1）某人每次的射击是相互独立且互不影响的，相当于多次重复试验．满足二项分布定义，可以用二项分布性质求解． （2）求离散型随机变量的分布列时要注意随机变量的所有可能取值． （3）应用独立重复试验的概率求法求分布列即可. 【详解】（1）因为此人每次击中目标的概率是， 所以他射击6次，击中目标次的概率． 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 （2）的取值为，若，则前次均未击中目标． 则, 所以的分布列为： 1 2 3 4 5 6 （3）由（2）可得， 所以的分布列为： 1 2 3 题型二 用二项分布性质求均值与方差 1．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知随机变量，随机变量，则 . 【答案】 【分析】利用二项分布的方差公式求出，再由方差的性质计算. 【详解】因为，所以， 故. 故答案为：. 2．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·期末）已知随机变量，则 . 【答案】/0.875 【分析】根据二项分布的概率公式求出，再根据即可求解. 【详解】因为随机变量， 所以， 所以. 故答案为：. 3．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知随机变量满足，且，则 . 【答案】/ 【分析】利用二项分布公式，方差性质直接计算即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以. 故答案为：. 4．（2025·河北·模拟预测）若随机变量，则 ． 【答案】 【分析】直接利用公式求解，即随机变量，则有，. 【详解】由于随机变量，故， 因此． 故答案为： 题型三 实际问题中求二项分布的均值与方差 1．（2025·江西·模拟预测）某平台为了研究用户日均观看短视频的时长，随机抽取了200名用户进行调查，得到数据如下表： 日均时长（分钟） [40，50] 频数 30 50 80 30 10 (1)估计这200名用户日均观看时长的第70百分位数； (2)若平台规定“日均观看时长不少于30分钟的用户为潜在高粘性用户”，现从样本中有放回地抽取次，每次抽取1人，记抽到潜在高粘性用户的人数为. （i）当时，求的分布列和数学期望； （ii）若平台希望至少抽到1名潜在高粘性用户的概率不低于，至少需抽取多少次？（参考数据：） 【答案】(1) (2)（i）分布列见解析，；（ii）11次 【分析】（1）第70百分位数为累计频数，第70百分位数落在区间，利用比例求解即可； （2）（i），列出Y的所有可能取值和对应概率，得到分布列，并利用二项分布求期望公式计算出数学期望； （ii）利用对立事件计算出抽到潜在高粘性用户的概率，解不等式得到答案 【详解】（1）将数据按时长升序排列，第70百分位数位置为， 前两组累计频数，前3组累计频数， 故第70百分位数落在区间， 则第70百分位数约为； （2）（i）潜在高粘性用户的频率为，. 易得的可能取值有0，1，2，3， 则， ，. 故的分布列为 0 1 2 3 ； （ii）设至少需抽取次，则，即，. 即， 故至少需抽取11次. 2．（24-25高二下·河北沧州·期末）某地区进行了一次数学联考，现分析成绩，我们假定90分（含90分）以上算及格，对甲、乙两所学校进行统计，甲学校及格率为80％，乙学校及格率为90％．若将两所学校的学生成绩混合放在一起，则及格率为88％． (1)求甲、乙两所学校参加这次考试的学生人数比； (2)从甲、乙两所学校及格的学生成绩中抽取一份，求该份成绩来自乙学校的概率； (3)从甲、乙两所学校的学生成绩中随机抽取3份，用频率估计概率，记这3份成绩来自甲学校的份数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)； (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）设甲学校参加考试的人数为m，乙学校参加考试的人数为n，根据及格率得到方程，求出； （2）设出事件，利用条件概率求解； （3）得到，进而利用二项分布的相关知识求出相应的概率，得到分布列和数学期望. 【详解】（1）设甲学校参加考试的人数为m，因为及格率为80％，所以甲学校及格的人数为， 设乙学校参加考试的人数为n，因为及格率为90％，所以乙学校及格的人数为， 当两所学校参加考试的学生混合在一起后，总人数为，及格率为88％， 所以甲、乙两所学校及格人数为， 根据题意，， 化简得，即， 所以甲、乙两所学校参加这次考试的学生人数比为． （2）设事件“任取一份成绩，该成绩来自乙学校”， 事件“任取一份成绩，该成绩为及格”， 由（1）知，，％，％， 所以所求概率． （3）由（1）知，从甲、乙两所学校的学生成绩中随机抽取一份成绩，该成绩来自甲学校的概率是， 根据题意，X的可能取值为0，1，2，3，且， ，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的数学期望． 3．（24-25高二下·上海·期末）甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试．笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为（），每道岗位实践题的难度系数均为（），考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束．已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立． (1)当时，求； (2)求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值； (3)已知甲通过了笔试环节，面试时每道题答对的概率是，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)最小值为，相应的 (3)分布列见解析， 【分析】（1）由甲笔试得满分的概率为，可得，最后求得即可. （2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试，可得甲能够进入面试的概率，化简得，利用基本不等式求得的最小值及相应的值即可. （3）由题意，甲面试结束时的答题数的可能取值为，求出对应概率，再得到分布列与数学期望即可. 【详解】（1）由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立， 所以甲笔试满分的概率为，则， 又，故. （2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试， 所以甲能够进入面试的概率， 由（1）知，则， 则， 整理得， 因为， ， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以甲能够进入面试的概率的最小值为，相应的值为. （3）由（2）知，面试时每道题的难度系数是， 则甲答对每道面试题的概率， 由题意，甲累计答对3道题或答错3道题，面试结束， 所以甲面试结束时的答题数的可能取值为， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的分布列为： 3 4 5 由期望公式得数学期望为. 4．（24-25高二下·辽宁沈阳·月考）已知甲盒子中有大小和形状完全相同的若干个红球和白球，乙盒子中有大小和形状完全相同的3个红球2个白球． (1)记甲盒子中取到红球的概率为，若有放回地从甲盒子中取球5次，当p为何值时，能使得3次取到红球的概率最大； (2)从乙盒子不放回地取球，若将白球取完则停止取球，记停止取球时取球次数为X，求X的概率分布和期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）5次取球取到红球的次数，利用二项分布可得，利用导数可求解. （2）停止取球时取球次数为X，则，利用独立事件的概率公式与互斥事件的概率加法公可求得分布列，进而求解即可. 【详解】（1）因为每次取球后放回再第二次取球，所以每次取球的概率相同， 故5次取球取到红球的次数， 所以， 令，则可得， 令，则， 所以，因为，解得， 当时，，当时，， 所以时，取最大值， 所以时，能使得3次取到红球的概率最大； （2）停止取球时取球次数为X，则， 则， ， ， ， 所以的分布列为： 2 3 4 5 . 题型四 求超几何分布的分布列 1．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）某市今年举办的创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审某领域有8个项目进入最终角逐，其中科技类项目5个，文创类项目3个.从上述8个项目中随机抽取2个进行路演展示. (1)求抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目的概率； (2)记路演展示项目中抽中的科技类项目的个数为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）至少有一个是文创类项目，可以是一个或者两个文创项目，利用互斥事件加法公式和古典概型公式求解； （2）按照步骤结合超几何分布的性质计算. 【详解】（1）记“抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目”为事件， （2）由题意，的可能取值为. 所以的分布列为 0 1 2 2．（2025高二·全国·专题练习）学校要从10名候选人中选2名组成学生会，其中高二（1）班有4名候选人．假设每名候选人都有相同的机会被选中，若X表示高二（1）班的候选人中被选中的人数，写出X的分布列． 【答案】答案见解析 【分析】由题意随机变量X服从超几何分布，根据超几何分布的公式求解分布列即可． 【详解】由题意随机变量X可取0,1,2， ， ， ， 高二（1）班的候选人中被选中的人数X的分布列如下表． X 0 1 2 P 3．（24-25高二下·全国·课后作业）若该批产品共有100个产品，合格率为，抽样方案选择的是，即在该批产品中随机抽取5件产品，若不合格品数为0，则该批产品通过检测．若用随机变量表示抽样中合格品的个数，请写出的分布列，并求出该批产品通过检测的概率． 【答案】分布列见解析，. 【分析】由题知，的可能取值为2，3，4，5，利用超几何分布求出分布列与通过检测的概率. 【详解】由题合格产品有件，不合格产品有3件， 的所有可能取值为2,3,4,5，， ， ，故的分布列为 2 3 4 5 故该批产品通过检测的概率. 4．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）一个口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取2个球，设X表示取到白球个数，则X的分布列为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据超几何分布的概率公式计算可得. 【详解】由超几何分布概率公式可得 . 故选：A 题型五 求超几何分布的均值与方差 1．（25-26高三上·江西鹰潭·月考）为了加强学生的交通安全意识，贵溪一中开展了“安全头盔守护生命”主题教育活动.学校为此次活动准备了10道关于安全头盔重要性､正确佩戴方法及相关法律法规的题目.在活动的知识竞答环节中，会从这10道题目中随机抽取3道让学生回答.已知该校学生小曾同学中午与家长一同认真学习了相关知识，能够准确回答其中的6道题目. (1)求抽到的题目中他能答对的题目数的分布列； (2)求的期望和方差. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）先求得的取值，然后求得对应的概率，即可求出分布列； （2）根据期望的定义求得，，然后利用方差的期望公式求得即可. 【详解】（1）由题意知：所有可能的取值为， ； ； 的分布列为： 0 1 2 3 （2）期望； 又， ∴方差. 2．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）某班组织竞赛活动，规定比赛需要从6道备选题中随机抽取3道题目进行作答．假设在6道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，乙能正确完成其中4道题目且另外2道题不能完成． (1)求甲正确完成其中2道题的概率； (2)设随机变量X表示乙正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）结合独立重复试验概率公式即可求解； （2）先求对应的值，再结合超几何分布公式求出对应概率，写出分布列，求出期望. 【详解】（1）令事件为甲正确完成其中2道题， 所以； （2）由已知有：的可能取值为， 所以， 所以的分布列为： 所以. 3．（24-25高二上·贵州遵义·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球.若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元. (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量.求的分布列与数学期望； (2)顾客消费了1000元： ①顾客获得返现金额为100元的概率是多少？ ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的），则顾客应选择哪种方案更优惠？（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【答案】(1)答案见解析 (2)①0.108；②打折更划算 【分析】（1）根据超几何分布结合对应的奖金，列出相应的概率即可； （2）消费1000元可知抽奖3次，而抽到100元的可能恰好是抽到20元，30元，50元这种组合；对于打折和抽奖，分别算出每种情况的优惠，然后对比即可. 【详解】（1）设某顾客参加一次抽奖获得返现金额，可能取值为20，30，50， 则，， 则的分布列如下表： 20 30 50 （2）①由题意刚好可以抽三次，分别为50元、30元、20元各一次，则概率为0.108. ②若打九折，需支付金额为：（元）. 由（1）知每次抽中的均值为元，则抽取三次总的均值为：（元）. 因为，故打折更划算. 4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图. (1)根据图中数据，能否判断强化训练后跳水队成绩有提高？试选用两种数字特征加以比较并说明理由. (2)规定学员得分80分以上（含80分）的为“优秀学员”，低于80分的为“非优秀学员”，现采取分层随机抽样的方式，从强化训练后的跳水队中优秀与非优秀学员中共抽取5名，从这5名学员中随机选出3人，求选出这3名队员中优秀人数的分布列. 【答案】(1)强化训练后跳水队成绩有所提高，理由见解析； (2)分布列见解析. 【分析】（1）可以选择平均数、中位数、众数等数字特征中的两种比较即可判断；（2）首先求出优秀与非优秀学员的比例，根据超几何分布求解相应概率即可. 【详解】（1）强化训练后跳水队成绩有所提高，理由如下： 强化训练前：平均数约为， 由题中图1知频率最大的一组是，所以众数约为； 强化训练后：平均数约为， 由题中图2知频率最大的一组是，所以众数约为. 所以强化训练后的平均数与众数均大于强化训练前，即强化训练后跳水队成绩有所提高. (也可以比较中位数，强化训练前的中位数位于区间，强化训练后的中位数位于区间，前者小于后者) （2）由题中图2可知强化训练后的跳水队中优秀学员（得分80分以上（含80分））的频率为， 则非优秀学员的频率为， 从强化训练后的跳水队中共抽取5名，则这5名学员中优秀学员的人数为，非优秀学员的人数为， 从这5名学员中随机选出3人，这3名队员中优秀人数的可能取值为， 且，，， 所以的分布列如下. 1 2 3 题型一 求二项分布中的最大概率 1．（25-26高三上·江西抚州·期末）某学校组织“学党史、强信念、跟党走”为主题的知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题作答，先进行组答题，只有组的两道题均答对，方可进行组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学组每道题答对的概率均为，组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3道题才可获得一张奖券. (1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为，求的分布列与数学期望； (2)若甲同学进行了10轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由. 【答案】(1)分布列见解析， (2)同学获得3张奖券的概率最大，理由见解析 【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式进行计算即可得分布列，再求期望即可； （2）利用获得奖券数是服从二项分布，利用二项分布概率公式来求最大概率即可. 【详解】（1）甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为的可能取值有， 则 所以的分布列为 0 1 2 3 4 故； （2）由于两组题至少答对3道题才可获得一张奖券， 则甲在一轮答题中获得一张奖券的概率为 ， 所以甲同学进行了10轮答题，获得的奖券数， 可得奖券数的概率为，， 假设甲同学获得张奖券的概率最大， 则有： 化简得：， 又因为，所以，即同学获得3张奖券的概率最大. 2．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）2025年9月，全国“城超”足球比赛在贵阳举办，比赛期间还开展文旅会客厅、特色市集等活动.其旨为响应国家全民健身战略，契合城市发展，展现贵阳魅力，实现“体育+文旅”多元共赢.为了增进省外观众对贵州文化的了解，从参加配套文旅活动的省外观众中，随机抽取150人，开展贵州文旅知识问答活动，该活动共有，，三道试题，全部答完后，至少答对2道试题，则可获得奖励总决赛门票一张.假设每人答对这3道试题的概率分别为，，，且每人答对各道试题与否互不影响. (1)求观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票的概率； (2)设通过文旅知识问答活动获得总决赛门票有个人的概率为，求取得最大值时的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型的知识进行求解即可. （2）根据二项分布的概率公式列出不等式方程组，求出最值. 【详解】（1）设“观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票”为事件，则 因此，观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票的概率为. （2）由（1）知，则，， 由题意：，即 解得， 故时，取到最大值为. 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）为研究不同性别学生对“deep seek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deep seek”，“学生为女生”，据统计， ，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解deep seek的学生的人数为X，则当取得最大值时的（）值为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】先根据条件概率公式求得，然后根据二项分布概率公式构造不等式组，求解即可. 【详解】已知， ，抽取男生和女生各50名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令，解得， 因为，所以当时，取得最大值. 故选：B 4．（24-25高二下·广东广州·期末）某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题，先进行A组答题，只有A组的两道题均答对，方可进行B组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学A组每道题答对的概率均为，B组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一张奖券. (1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X，求X的分布列与数学期望； (2)若甲同学进行了8轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由. 【答案】(1)分布列见解析，； (2),理由见解析. 【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式进行计算即可得分布列，再求期望即可； （2）利用获得奖券数是服从二项分布，利用二项分布概率公式来求最大概率即可. 【详解】（1）甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X的可能取值有， 则 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 故； （2）由于两组题至少答对3题才可获得一张奖券， 则甲在一轮答题中获得一张奖券的概率为， 所以甲同学进行了8轮答题，获得的奖券数， 可得奖券数的概率为，， 假设甲同学获得张奖券的概率最大，则有: ,化简得： ，解得， 又因为，所以， 即同学获得张奖券的概率最大. 题型二 求超几何分布中的最大概率 1．（2026·重庆九龙坡·一模）某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测. (1)在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望; (2)在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品. 用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取 个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值. 【答案】(1)的分布列详见解析； (2)66 【分析】（1）根据分布列、数学期望及超几何分布概率计算公式求解即可. （2）根据二项分布求出，比较与1的大小关系，判断数列的单调性，从而找到最大值点. 【详解】（1）的可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列为 0 1 2 数学期望为. （2）由频率估计概率，单次抽到次品的概率为， 则个零件中恰有2件次品的概率为. . 令，即，解得；令，解得. 因此，当时，，当时，，所以​在时取得最大值. 故取得最大值时的值为66. 2．（25-26高二上·北京·期末）一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】设为取出的3个球中黑球的个数，分别求解的值，比较即可得结论. 【详解】设为取出的3个球中黑球的个数，则的取值为， 所以， 故取出的黑球个数为1时，其概率最大． 故选：B. 3．（25-26高三上·江苏扬州·月考）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球. (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，判断并说明事件A与B是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，只要白球个数是3个，则获奖，否则不获奖，该同学放置白球的数量n为多少时，参与者获奖的可能性最大? 【答案】(1)不独立，说明见解析 (2) 【分析】（1）依次求出即可由独立事件的定义分析求解； （2）先由题意得到获奖概率为，接着计算分析与1的大小关系即可求解. 【详解】（1）事件A与B不相互独立，理由如下： 当时，由题可得，， ， 所以，所以事件A与B不相互独立. （2）由题可得从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率为， 则， 又， 所以当时，当时， 所以， 所以当时，参与者获奖的可能性最大. 4．（24-25高二下·河北承德·期末）作为低空经济的主导产业，我国无人机产业近年来呈现出高速发展的态势．某无人机生产厂家的某批次的20件产品中含有件次品，从中一次性随机抽取10件，设这10件产品中的次品数为． (1)若，求的概率； (2)当为何值时，的概率最大？ 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）利用超几何分布概率公式求解即可； （2）由题意先把的表达式写出来，利用函数以及不等式分析求解即可. 【详解】（1）记“抽取的产品中次品数不超过1”为事件， 则 ， 即的概率为． （2）由题可知 ， 设 ， 则． 令， 得， 解得． 故当时，， 当时，， 又，故当时，取得最大值． 所以当时，的概率最大． 题型三 二项分布中组合数/数列计算 1．（2026·湖北·模拟预测）某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知刘翔同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为.为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分.刘翔同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分. (1)若投篮2次，最终得分为X，求随机变量X的分布列和期望； (2)设最终得分为n的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 【答案】(1)分布列见解析， (2)证明见解析， 【分析】（1）由题意可知：最终得分的可能取值为2，3，4，结合二项分布求分布列和期望； （2）根据独立事件概率乘法公式可得，，且，根据等比数列的定义结合累加法求通项公式. 【详解】（1）由题意可知：最终得分X的可能取值为2，3，4， 则，，， 可得随机变量X的分布列为 2 3 4 期望为. （2）由题意可知：，，且， 因为，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以， 当时，则， 累加可得， 则，且时，符合上式， 所以. 2．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）甲、乙两位候选人参与选举投票，每张选票仅填写一位候选人（无弃票权）．选票支持甲，则甲得1分，若支持乙，则乙得1分．设每张选票支持甲的概率为，支持乙的概率为，满足，且各张选票的投票结果相互独立．对正整数，记为“统计完张选票后，甲的得票数比乙的得票数至少多1票的概率”，为“统计完张选票后，乙的得票数比甲的得票数至少多1票的概率”． (1)求（用表示）； (2)证明：为定值； (3)证明：对任意正整数，． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题中的意义求解即可，要注意独立重复试验概率的应用； （2）根据题中的意义分别求出，代入求解即可，或整体求出，作商即可； （3）当时， ，当时，在前次投票的基础上，再进行两次投票，甲比乙至少多得1票可以分三种情况讨论可得的表达式，移项并整理可得结果. 【详解】（1）由题知为“统计完1张选票后，甲的得票数比乙的得票数至少多1票的概率”，即第1张选票支持甲的概率，所以. 为“统计完3张选票后，甲的得票数比乙的得票数至少多1票的概率”，即前3张选票中有3甲或2甲1乙的概率，因为，所以， 所以. （2）方法一：由题意知为“统计完5张选票后，甲的得票数比乙的得票数至少多1票的概率”，即前5张选票中有5甲、4甲1乙或3甲2乙的概率， 所以， 所以. 同理， ， 所以. 所以，为定值. 方法二：因为， 结合（1）中， 得. 又， ， 所以， 所以，即，为定值. 方法三：由题意知 ， 同理， 所以，为定值. （3）当时，由（1）得， 因为，所以， 所以. 当时，在前次投票的基础上，再进行两次投票，甲比乙至少多得1票可以分为以下三种情况： 若前次投票中甲得了票，再进行两次投票甲得两票，则甲比乙多得1票，其概率为； 若前次投票中甲得了票，再进行两次投票甲得两票或一票，则甲比乙至少多得1票，其概率为； 若前次投票中甲得了至少票，再进行两次投票无论结果如何，则甲比乙至少多得1票，其概率为. 可以求得： ， 移项并整理得 ， 因为，所以， 进而. 综上，对任意正整数，. 3．（2026·陕西西安·一模）2025年12月1日全面实施电动车新国标的相关规定，全面禁售旧国标车，聚焦车辆安全性能升级.据调查拥有电动车的家庭中，的家庭只拥有电动车，的家庭既有电动车也有其他交通工具.对于每个家庭，若只拥有电动车则记1分，若同时拥有其他交通工具则记2分.假设各家庭是否拥有其他交通工具相互独立，且视调查频率为概率. (1)从被调查家庭中随机抽取3户，记这3户的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)从被调查家庭中随机抽取n（）户，记这n户的合计得分恰为的概率为，求. 【答案】(1)分布列见解析，； (2). 【分析】（1）运用二项分布的知识求解即可； （2）利用错位相减法解决“等差数列等比数列”的求和模型. 【详解】（1）由题意知，每个家庭“只有电动车”的概率为，“既有电动车又有其他交通工具”的概率为.则X的可能取值为3，4，5，6. ，， ，， 所以X的分布列为 x 3 4 5 6 P 所以. （2）因为这户的合计得分为分，所以其中恰有户为“既有电动车又有其他交通工具”，其余户均为“只有电动车”. 所以， 设， 即 ①， 则 ②， ①②得， 即，所以， 即. 4．（25-26高三上·广西南宁·月考）某种比赛采用“局胜”制（即累计先赢局者获得本场比赛胜利）．在该比赛中，选手甲对阵选手乙，假设每一局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为（每局比赛结果相互独立，不受之前战局影响，且无平局）． (1)当时，若，结束比赛时，比赛的局数为，求的分布列与数学期望； (2)如果选择以下方案中的一种： 方案一：若采用“5局3胜”制，甲累计先赢3局比赛结束的概率为． 方案二：设甲乙赛满5局比赛，甲至少赢3局比赛的概率为． 比较和的大小； (3)记“局胜”制比赛中甲获得最终胜利的概率为，记“局胜”制比赛中，甲在第一局输的条件下甲获得最终胜利的概率为，证明：． 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意，所有可能值为2，3，进而求出对应的概率，再根据期望的公式求解即可； （2）结合二项分布的概率公式分别求出、，即可比较大小； （3）设甲乙进行局比赛，甲赢的局数为，由题意，，可得，再结合全概率公式求得，进而求证即可. 【详解】（1）由题意，，，即采用3局2胜制，所有可能值为2，3， 则. 则的分布列如下， 2 3 所以. （2）由题意，采用“5局3胜”制，甲只要取得3局比赛的胜利，比赛结束且甲获胜， 则； 在甲乙比赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利， 设甲赢的局数为，那么服从二项分布，即， 则， 所以. （3）设甲乙进行局比赛，甲赢的局数为，则， “局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲要获得最终胜利可拆解为： 若第2局甲输，则后续最多局比赛，甲至少胜局， 若第2局甲胜，则后续最多局比赛，甲至少胜局， 由全概率公式得 ， 故. 1．（25-26高三上·重庆·开学考试）甲、乙两名运动员将参加体育考核.考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试.已知6个项目中，有3个是甲擅长的，必定通过测试，另有3个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p 且各次测试相互独立.在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X和 Y. (1)若 分别求出随机变量X和Y的概率分布列，并求它们相应的数学期望. (2)规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”. （i）在（1）的条件下，当运动员甲和乙考核都“达标”时，求甲、乙至少1人考核“优秀”的概率. （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等.求证： 【答案】(1)(1)的分布列见解析，， (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据超几何分布和二项分布，分别求出甲、乙的分布列，计算期望. （2）（i）由（1）中各事件概率，分别求出甲和乙考核都“达标”的概率及甲、乙至少1人考核“优秀”的概率，再根据条件概率公式即可求得结果. （ii）根据甲乙通过项目数的分布列，分别求出甲乙两人合格和优秀时的概率，根据其单调性，列出不等式，即可证明结果. 【详解】（1）甲可能通过项目数，服从超几何分布， 则X的概率分布： ；； ；. X的数学期望． 乙通过项目数符合二项分布，即，， 则Y的概率分布： ，， ，， Y的数学期望． （2）（i）由（1）知： 甲考核“达标”的概率：； 乙考核“达标”的概率：； 甲考核“优秀”的概率：. 乙考核“优秀”的概率：. 因为甲和乙的测试是相互独立的 所以，甲和乙考核都“达标”的概率：. 甲、乙至少1人考核且都“达标”的概率为 =. 由条件概率得， 当运动员甲和乙考核都“达标”且至少1人考核“优秀”的概率为. （ii）甲考核“达标”概率，记乙考核“达标”概率为， 则 则， 当时，，在上单调递增， 又，所以． 甲考核“优秀”概率，记乙考核“优秀”概率为， 则，在上单调递增， 又，所以． 综上，． 2．（23-24高二下·河北石家庄·期末）端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（    ） A．当时，随机变量服从两点分布 B．随着的增大，减少，增加 C．当时，随机变量服从二项分布 D．随着的增大，增加，减小 【答案】B 【分析】由题意可知，从乙礼盒里随机取出个粽子，含有肉粽个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲礼盒里随机取一粽子，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性. 【详解】由题意可知，从乙礼盒里随机取出个粽子，含有肉粽个数服从超几何分布，即. 故A，C错误. 其中，其中，且，. 故从甲礼盒取粽子，相当于从含有个肉粽的个粽子中取1粽子，取到肉粽个数为. 故， 随机变量服从两点分布，所以， 随着的增大，减小； ，随着的增大，增大. 故B正确，D错误. 故选：B. 【点睛】知识点点睛：本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题. 3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）甲、乙两人共进行局比赛，假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. (1)设，若全部局比完后，所赢局数多者获胜.甲获胜的概率记为， （i）求； （ii）试比较与的大小，并证明你的结论. (2)设，“局比赛结束后，甲赢得奇数局比赛”的概率记为，证明：. 【答案】(1)（i）；（ii），证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）（i）由比赛局数和甲赢的局数服从二项分布即可结合互斥事件概率加法公式计算求解； （ii）记事件“甲获胜”，事件“乙获胜”，由甲乙获胜各赢的局数以及每局赢的概率结合没有平局结果的特性即可求解证明； （2）先根据甲赢的局数服从二项分布和二项式定理原理求出的表达式，接着计算差值和，再由不等式性质分析即可比较大小得证. 【详解】（1）（i）当时，比赛局数为局， 则甲获胜的条件是至少赢两局，且甲赢的局数服从二项分布， 所以； （ii），证明： 记事件“甲获胜”，则甲赢的局数，事件“乙获胜”，则乙赢的局数， 因为，所以， 又因为打的局数为奇数，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. 所以，所以， 所以； （2）由题甲赢的局数服从二项分布， 则“局比赛结束后，甲赢得奇数局比赛”的概率 ， 因为， ， 所以， 所以， 同理， 因为，所以，， 所以， 所以，即. 4．（2025高一·全国·专题练习）甲每次掷骰子，若点数不超过三点，则加1分，若点数超过三点，则减1分．已知甲的初始积分为0分．记甲重复掷骰子n次后的得分为． (1)若，求． (2)证明：若n为偶数，且同奇偶，则越大，k越小． (3)求和． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）首先确定成功和失败的次数，再根据独立重复概率公式，即可求解； （2）首先设成功i次，失败次，再写出 ，再根据组合数的性质，即可证明； （3）首先求和，再代入期望和方差公式，即可求解. 【详解】（1）投骰子点数的概率为，记为“成功”，得分．点数的概率为，记为“失败”，得分．． 设成功k次，则失败次． 总得分． ． 即4次中需成功2次，失败2次． 这是一个二项分布问题． （2）n为偶数．．设成功i次，失败次． ．． 因为i是整数，所以必须是偶数．因为n是偶数，所以k也必须是偶数． （成功i）次． 要比较与k的关系，就是比较的大小． 二项式系数在m接近时最大．这里． 当k越小越接近，由于关于对称且在该点取最大值，当时，m越大，越小，这里． 所以，当k增大时，增大且离更远，故减小，因此，k越大，越小． （3）设第i次投掷的得分为随机变量．． ．．． 由于各次投掷相互独立，． ． 5．（2025·广东佛山·一模）中秋节期间，某商场组织一场抽奖活动.每次抽奖中奖的概率均为，且每次抽奖相互独立.在商场消费的顾客可以自由选择抽奖次数，如果中奖次数多于抽奖次数的一半，则可获得中秋礼物.记表示“抽奖次，获得礼物的概率”. (1)若，求； (2)若，顾客选择抽3次奖，记中奖次数与不中奖次数之差为，求的期望； (3)若，且规定只能选择抽奇数次奖.一位顾客认为，抽奖次数越多，获得礼物的概率就越大.判断这位顾客的说法是否正确，并证明你的结论. 【答案】(1) (2) (3)不正确，理由见解析 【分析】（1）由，，利用互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式即可求解； （2）记中奖次数为，则，利用二项分布求数学期望得，又，利用数学期望的性质即可求解； （3）记，则，求和，利用作差法即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以； （2）记中奖次数为，则， 所以， 又因为， 所以； （3）记，则， 当前次抽奖中奖次数超过次，则再抽奖2次定能获得礼物，概率为 ， 当前次抽奖中奖次数为次，则再抽奖2次至少中奖1次即可获得礼物，概率为， 当前次抽奖中奖次数为次，则再抽奖2次都中奖才能获得礼物，概率为， 所以 所以， 所以，     因为，所以， 所以抽奖次数越多获得礼物的概率越小，这位顾客的说法不正确. 6．（25-26高三上·山东济南·期中）甲､乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜.假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. (1)时，若两人共进行5局比赛.设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； (2)时，若两人共进行局比赛.记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”.事件表示“甲最终获胜”.请写出的值（直接写出结果即可）； (3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为证明：时，. 【答案】(1)分布列见解析，； (2)； (3)证明见解析； 【分析】（1）确定的可能取值，利用二项分布计算各取值得概率，列出分布列，根据分布列计算期望； （2）分析前2n-1局甲赢k局后，剩余2局甲需赢多少局才能获胜；根据k的不同范围，判断剩余两局的胜负可能性，当时，剩余2局最多赢2局，总赢局数，无法获胜，求出其概率；当时，需要赢剩余2局，求出其概率；当时，需要赢至少1局，求出其概率；当时，已满足获胜条件，概率为1. （3）利用全概率公式求得，求出，求出，利用基本不等式得证. 【详解】（1）（1）解：的可能取值为. ； . 的分布列为 1 3 5 . （2）当时，剩余2局最多赢2局，总赢局数，无法获胜，其概率为； 当时，需要赢剩余2局，其概率为； 当时，需要赢至少1局，其概率； 当时，已满足获胜条件，概率为. 故. （3）（3）证明：由全概率公式得 . 所以. 当时，. . 因为，所以，即. 7．（25-26高三上·湖北·月考）某企业的生产设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时， （i）求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望； （ii）求； (2)讨论与的大小关系. 【答案】(1)（i）分布列见解析，2；（ii） (2)答案见解析 【分析】（1）（i）由题可得正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3，且符合二项分布，即可求出分布列及期望；（ii）； （2）由表示系统在原来个元件增加2个元件，则至少要有个元件正常工作，可正常工作的元件个数为，然后分原系统中至少有个正常工作、恰好有个新增2个元件中至少有1个正常工作、恰好有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作共三种情况讨论，从而可求解. 【详解】（1）（1）（i）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3，因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以. 所以，， ，. 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为： 0 1 2 3 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为. （ii）. （2）由表示系统在原来个元件增加2个元件，则至少要有个元件正常工作，设备才能正常工作的概率，设原系统中正常工作的元件个数为， 第一类：原系统中至少有个元件正常工作， 其概率为； 第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为. 所以 所以， 所以当时，， 当时，， 当时，， 8．（25-26高三上·青海西宁·月考）城市生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为. (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为. （i）请写出与的递推关系，并求出； （ii）设，记数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)分布列见解析， (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用全概率公式求出单个居民第二天选择路线散步的概率，然后确定4位居民中第二天选择路线散步的人数服从二项分布，最后根据二项分布的概率公式和期望公式计算分布列和期望. （2）（i）根据前一天选择不同路线时第二天选择路线的概率，推导出与的递推关系，再构造等比数列求出的通项公式； （ii）先化简，得其通项公式，然后使用错位相减法求出前项和，即可得证. 【详解】（1）记附近居民第天选择路线分别为事件. 根据题意，，， 则，，， 所以由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率 . 记第二天选择路线散步的人数为，则， 则，， ，， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故的数学期望. （2）（i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率， 当第天选择路线时，第天选择路线的概率， 所以. 由此可得，又， 于是数列是首项为，公比为的等比数列. 因此，所以. （ii）证明：由已知得， 所以，则， 两式相减，得， 所以，又， 所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $