6.3.2 第2课时 空间向量与垂直关系（课时跟踪检测）（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

第2课时　空间向量与垂直关系 1.C　因为a⊥b，所以a·b＝0，即－2×3＋2×（－2）＋m＝0，解得m＝10. 2.C　设正方体的棱长为2a.对于A，M（0，2a，2a），N（2a，0，2a），O（a，a，0），P（0，2a，a），则＝（2a，－2a，0），＝（－a，a，a），则·＝－4a2，故A错误；对于B，M（0，2a，2a），N（2a，2a，0），O（a，a，0），P（0，0，a），则＝（2a，0，－2a），＝（－a，－a，a），则·＝－4a2，故B错误；对于C，M（2a，2a，2a），N（0，2a，0），O（a，a，0），P（0，0，a），则＝（－2a，0，－2a），＝（－a，－a，a），则·＝0，即MN⊥OP，故C正确；对于D，M（0，0，2a），N（0，2a，0），O（a，a，0），P（2a，a，2a），则＝（0，2a，－2a），＝（a，0，2a），则·＝－4a2，故D错误. 3.D　由｜a｜＝2，得x2＋4＋4＝24，解得x＝±4.∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝x＋6＋2y＝0.当x＝4时，得y＝－5；当x＝－4时，得y＝－1. 4.B　∵⊥，∴·＝3＋5－2z＝0，解得z＝4.∴＝（3，1，4）.∵BP⊥平面ABC，∴⊥，⊥.∴化为解得 ∴x＝，y＝－，z＝4.故选B. 5.ABC　·＝2×（－1）＋（－1）×2＋（－4）×（－1）＝－2－2＋4＝0，∴⊥，即AP⊥AB，故A正确；·＝4×（－1）＋2×2＋0＝0，∴⊥，即AP⊥AD，故B正确；∵AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，∴是平面ABCD的一个法向量.又BD⊂平面ABCD，∴⊥，故C正确，D错误. 6.AC　以{，，}为正交基底，建立空间直角坐标系（图略）.设正方体的棱长为2a，则M（0，0，a），A（2a，0，0），C（0，2a，0），E（a，a，0），N（0，a，2a）.∴＝（－a，－a，a），＝（0，a，a），＝（－2a，2a，0）.∴·＝0，·＝0，∴EM⊥AC，EM⊥MN.EM和AA1显然不垂直.故A、C正确，B、D错误. 7.0　解析：因为a·b＝（0，1，1）·（1，1，0）＝1≠0.a·c＝（0，1，1）·（1，0，1）＝1≠0，b·c＝（1，1，0）·（1，0，1）＝1≠0，所以a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直. 8.垂直　解析：根据题意建立空间直角坐标系，如图所示.∵A（0，0，0），B（1，1，1），C（1，，1），D（，1，1），E（1，1，），∴＝（1，1，1），＝（，－，0），＝（，0，－），∴·＝0，·＝0，∴AB⊥DC，AB⊥DE，又DC∩DE＝E，DC，DE⊂平面CDE，∴AB⊥平面CDE. 9.（－2，4，1）或（2，－4，－1）　解析：据题意，得＝（－1，－1，2），＝（1，0，2）.设n＝（x，y，z），∵n与平面ABC垂直，∴即可得∵｜n｜＝，∴＝，解得y＝4或y＝－4.当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝2，z＝－1.∴n的坐标为（－2，4，1）或（2，－4，－1）. 10.证明：如图，连接OP，OQ，取O为坐标原点，以OA，OC所在直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz（如图所示）. 则A（1，0，0），C（0，0，1）， B. ∵P为AC的中点，∴P. ∴＝， 由已知，可得＝ ＝（－，，0）. 又＝＋＝， ∴＝－＝. ∵·＝0，∴⊥，即PQ⊥OA. 11.B　建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.设正方体的棱长为1，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1），E，∴＝（，－，1），＝（－1，1，0），＝（－1，－1，0），＝（－1，0，－1），＝（0，0，－1）.∵·＝×（－1）＋×（－1）＋1×0＝0.∴CE⊥BD. 12.2　解析：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，a，0），C（1，a，0）.设Q（1，y，0），P（0，0，z），则＝（1，y，－z），＝（－1，a－y，0）.由·＝0，得－1＋y（a－y）＝0，即y2－ay＋1＝0.当Δ＝a2－4＝0，即a＝2时，满足条件的点Q只有一个. 13.（－，，1）　（4，4，4）（答案不唯一，满足（4k，4k，3k＋1）（k≠0）即可） 解析：设M（x，y，z）.∵＝（1，－1，0），＝（2，1，－4），＝（x，y，z－1），＝（x－1，y－2，z＋3），∴由题意，得∴∴点M的坐标为（－，，1）.设平面ABC的法向量为n＝（x1，y1，z1），则n·＝x1－y1＝0，n·＝2x1＋y1－4z1＝0.令x1＝1，则y1＝1，z1＝.∴n＝（1，1，）.设点N的坐标为（a，b，c），则＝（a，b，c－1）.由题知，∥n，即＝＝.∴点N的坐标满足（4k，4k，3k＋1），其中k≠0. 14.证明：根据题意建立如图所示的空间直角坐标系. 设A1A＝AC＝BC＝2， 则C（0，0，0），B1（0，2，2），E（1，1，0），F（2，0，1）， 所以＝（1，－1，1），＝（0，2，2），＝（－1，1，2）. 设平面B1CE的法向量为n＝（x，y，z）， 则 令z＝－1，则y＝1，x＝－1，即n＝（－1，1，－1）， 显然∥n，所以EF⊥平面B1CE. 15.解：（1）证明：由题意知，DA， DC，DP两两垂直. 如图，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，则D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E（a，，0），P（0，0，a），F（，，），＝，＝（0，a，0）， 因为·＝0，所以⊥， 从而得EF⊥CD. （2）存在.理由如下：假设存在满足条件的点G， 设G（x，0，z），则＝（x－，－，z－）， 若使GF⊥平面PCB，则由·＝·（a，0，0）＝a＝0，得x＝； 由·＝（x－，－，z－）·（0，－a，a）＝＋a＝0，得z＝0， 所以G点坐标为， 故存在满足条件的点G，且点G为AD的中点. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　空间向量与垂直关系 1.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝（－2，2，1），b＝（3，－2，m），若l1⊥l2，则m＝（　　） A.－2　　　 B.2　　　 C.10　　　 D.6 2.如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是（　　） 3.已知平面α与β的一个法向量分别是a＝（x，2，2），b＝（1，3，y），若α⊥β，且｜a｜＝2，则y＝（　　） A.－5 B.－1 C.4或－4 D.－5或－1 4.已知＝（1，5，－2），＝（3，1，z），若⊥，＝（x－1，y，－3），且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z的值分别为（　　） A.，－，4 B.，－，4 C.，－2，4 D.4，，－15 5.〔多选〕已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，且＝（2，－1，－4），＝（4，2，0），＝（－1，2，－1）.则（　　） A.AP⊥AB B.AP⊥AD C.是平面ABCD的一个法向量 D.∥ 6.〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线EM（　　） A.和AC垂直 B.和AA1垂直 C.和MN垂直 D.与AC，MN都不垂直 7.已知a＝（0，1，1），b＝（1，1，0），c＝（1，0，1）分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有　　　　对. 8.已知点A（0，0，0），B（1，1，1），C（1，，1），D（，1，1），E（1，1，），则直线AB与平面CDE的位置关系是　　　　. 9.在△ABC中，A（1，－2，－1），B（0，－3，1），C（2，－2，1）.若向量n与平面ABC垂直，且｜n｜＝，则n的坐标为　　　　　　. 10.如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1，设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA. 11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于（　　） A.AC B.BD C.A1D D.A1A 12.如图所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q，满足PQ⊥QD，则a的值等于　　　　. 13.已知空间三点A（－1，1，1），B（0，0，1），C（1，2，－3）.若直线AB上存在一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为　　　　；若空间中点N满足BN⊥平面ABC，则符合条件的一个点N的坐标是　　　　　　. 14.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F分别为线段AB，A1A的中点，A1A＝AC＝BC，∠ACB＝90°.求证：EF⊥平面B1CE. 15.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点. （1）求证：EF⊥CD； （2）在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $