【学霸满分练】第2讲 空间角及距离(复习课)（教用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第2讲：空间角及距离 题型一：异面直线所成的角 1.如图，在正方体1BCD-4BCA中，P为体对角线BD上一点，且DP=2P8,则异面直线D和 CP所成角的余弦值为() D C A P D B A.0 83 4 C.5 D. 【答案】A 【分析】以点D为坐标原点，DA、DC、D0所在直线分别为、”、：轴建立空间直角坐标系，设 正方体MBCD-AB,CD的棱长为3，利用空间向量法可求得异面直线D和CP所成角的余弦值。 【详解】以点D为坐标原点，D1、DC、D0所在直线分别为、)、：轴建立如下图所示的空间直 角坐标系， 1/31 草学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 D B D A 设正方体1BCD-4BCD的楼长为3， 则43,00、D00,3、C0,30、D0.0,0、B(3,33), cp=0+Dm=cm+2D=-(0-3.0+3333=2-l2, AD=(-3,0,3)，所以， 如哥隔 因此，异面直线 D和CP所成角的余弦值为. 故选：A. 2.直三棱柱 ABC-AB C 如图所示， AB=4,BC=3AC=5,D为棱B的中点，三棱柱的各顶点在同一球 面上，且球的表面积为61，则异面直线4P和BC所成的角的余弦值为(） D B B 2/31 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3W2 2 4v2 16v2 A.5 B.5 C.5 D.25 【答案】A 【分析】先根据已知条件求出侧棱长，然后建立空间直角坐标系，求出直线4D和BC的方向向量， 从而可求解. 【详解】因为在直三棱柱ABC48C中，所以球心到底面的距离d= 2 又因为=4BC-A4C-5,所以4B+RC=AC,所以AR LRC,所以底面外接因半径 R=V6] 又因为球的表面积为61π，所以 2, 而R2=r2+d2,所以BB=6, C D B A C B 以B为原点，BC为轴，BA为'轴， BB为轴建立空间直角坐标系，则 B(0,0,0)A(0,4,0)C3,0,6)D0,2,6) .BC=(3,0,6),4D=(0,-2,6) 3/31 eg.? 科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 BC=35,4D=210,B,C.4D=36 设直线4P和B 所成的角为°，则 36 cos0 cos(B,C,AD) BC.AD =32 BC.AD 3vV5×2W105 故选：A. 题型二：线面角 图，在四棱锥P-4BCD中，PA平面4BCD2∠BAD=90,PA=AB=BC=)1D,BC 2 己知Q是棱PD上靠近点P的四等分点，则CQ与平面PAB所成角的正弦值为（)· A D 5 25 2V29 A.5 B.5 C.29 D. 6 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，写出相应点C、Q的坐标，求出平面PAB的法向量，最后求出CQ与 平面PAB所成角的正弦值， 4/31 草学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 0 A 【详解】 D ·PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°， :以A为坐标原点，AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系，则C(,10, oo-（到 易知平面PAB的法向量n=(1,0,0) 设CQ与平面PAB所成角为O, Co.n 则sin6=cos(Co,n Γ2 2√29 co 9 29. 16 故选：C. 4.如图，点E在△ABC内，DE是三棱锥D-ABC的高，△ABC是边长为6的正三角形， DB=DC=5,AD=√7 5/31 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 】 (I)求DE的长度； ②若4G-号C,求直线EG与平面CD所成角的正弦值. 【答案】(I)DE=2 2i (2)14 【分析】(I)取BC的中点F,连接EF,DF,由DE是三棱锥D-ABC的高，可得DE⊥BC,再由等 腰三角形的性质可得DF⊥BC,然后由线面垂直的判定可得BC⊥平面DEF,则BC⊥EF,再利用等 面积法可求得结果， (2)以E为坐标原点， EF,ED 的方向分别为，？轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利 用空间向量求解即可. 【详解】(I)取BC的中点F,连接EF,DF 因为DE是三棱锥D-ABC的高，即DEL平面ABC, 因为BCc平面ABC,所以DE⊥BC. 因为DB=DC,F为BC的中点，所以DF⊥BC, 6/31 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 因为EnDF=D,DE.DFC平面DG,所C1平面EP. DEF 因为EFc平面DEF,所以BC⊥EF. 又因为BC⊥AF,所以点E在AF上， 因为△ABC是边长为6的正三角形，DB=DC=5, 所以AF=3N5,DF=VBD2-BF=4 所以os∠ADr=4D+FAF:-V5 2AD.DF 14, 3√21 因为ADF,所以nMDF 14 14 因为AADr的面积为4D-DFsn∠ADF=号F,DE, 万x4x3万-x35D 所以2 142 E,解得DE=2. (2)以E为坐标原点，示，D的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A-V50,0,B25,-3,0,C25,30,D0,02), AC=3√3,3,0，BD=-2V3,3,2,BC=(0,6,0) 7/31 草学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 设平面BCD的法向量为m=(xy, m.BD=-2V3x+3y+2z=0 则1m.BC=6y=0 ，取x=V5’则m=5,0,3): 因为6=+号C=5,20. 所以cos(BG,m= EG.m 3 √21 EG 3+9×√3+414. 故直线rG与平面BCD所成角的正弦值为 14 题型三：二面角 5.已知斜三棱柱8C-AC,∠BCA=90,4C=BC=2,A在底面4BC上的射影恰为4C的中点D, BA⊥AC 又知 8/31 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A 7C1 B D月 ABC (1)求证： 4G上平面4 A-AB-C (2)求二面角 的大小. 【答案】(1)证明见解析 7 (2)arccos- 7 【分析】1)建立空间直角坐标系，利用向量法证得1G1平面48C (2)利用向量法求得面角-A8-C的大小 【详解】(I)取AB的中点E,连接DE,因为D为AC的中点 则DE为△ABC中位线，得出DEIIBC, 因为BC⊥AC,所以DE⊥AC, 又4D平面BC,DE,CDc平面4BC,所以4DLDE,4D1CD 所以DE,CD,AD 两两垂直， 9/31 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 以DE,DC DA为轴建立空间坐标系，设 DA =1,1>0 则10-10，C01,0,B2,l0,40,0,G0,2, AC=(03,1,BA=(-2,-1,CB=(2,0,0) 由4C-CB=0,知4C1BC, 依题意行BA14C,BCABA=B,BC,BAC平面ABC 从而1G平面48C 孙 A D (2)由C丽=-3+=0，得=5 设平面41B的一个法向量为=(x火列， AA·i=y+V3z=0 因为A4=0,1V3，AB=(2,20,所以1AB元=2x+2y=0, 设：=1，则i=5,5,利， 10/31