【学霸满分练】第1讲 空间向量概念及运算(复习课)（教用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

第1讲：空间向量的概念及运算 题型一：空间向量的概念 1．（多选）下列说法正确的是（    ） A．设是两个空间向量，则一定共面 B．设是两个空间向量，则 C．设是三个空间向量，则一定不共面 D．设是三个空间向量，则 【答案】ABD 【分析】根据空间向量可平移可判断AC，根据向量数量积定义可判断B，根据向量数量积的运算律可判断D. 【详解】因为空间向量可平移，故任意两个向量均为共面向量，故A正确； ，故B正确； 设是三个空间向量，则可能共面，故C错误； 空间向量数量积满足分配律，故，即D正确. 题型二：空间向量及其加减运算 2．如图，在四面体中，是的中点．设，，，用，，表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算直接得解. 【详解】由是的中点， 可知， 所以， 故选：D. 3．如图，三棱锥中，为的中点，点满足，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的加减法和数乘向量即可以为基底表示向量 【详解】 故选：D 4．如图，在平行六面体中，，，，，，，则用表示及线段的长为分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】用向量的线性运算可直接求得；求整体的模长可平方再开根. 【详解】在平行六面体中，，，，，， ∵， ∴ , ∴． 故选:C． 题型三：空间共线向量定理 5．在平行六面体中，点P在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量基本定理，结合空间向量加法的法则进行求解即可. 【详解】因为， ， 所以有，因此， 故选：C 6．设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】把A、C、D三点共线转化为满足，列方程组，求出即可. 【详解】因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的，使得, 即， 即，解得：. 故选：A. 7．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当和的长度都为最短时，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件确定点M，N的位置，再借助空间向量数量积计算作答. 【详解】因，则，即， 而，则共面，点M在平面内， 又，即，于是得点N在直线上， 棱长为1的正四面体中，当长最短时，点M是点A在平面上的射影，即正的中心， 因此，，当长最短时，点N是点D在直线AC上的射影，即正边AC的中点， ，而，， 所以. 故选：A 题型四：空间共面向量定理 8．下列条件能使点与点一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案. 【详解】设，若，则点共面． 对于A，，由于，故A错误； 对于B，，由于，故B错误； 对于C, ，由于，故C错误； 对于D，，由于，得共面，故D正确. 故选：D. 9．已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题设条件推得，再由四点共面可求得 【详解】因为， 所以由 得， 即， 因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面， 所以，故. 故选：A. 10．已知三棱锥的体积为15，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据题意，由空间向量的运算可得，再由空间向量基本定理可得，即可得到结果. 【详解】 因为，则， 即， 即，所以， 因为，由空间向量基本定理可知，在平面内存在一点， 使得成立，即， 所以，即，则， 又三棱锥的体积为15， 则. 故选：C 题型五：空间向量的数乘运算 11．如图，在三棱柱中，M，N分别是和的中点，且，则实数x，y，z的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意用空间基底向量表示向量，结合空间向量的线性运算求解. 【详解】由题意可得：， 故. 故选：A. 12．如图，空间四边形中，，，，且，，则 ． 【答案】 【分析】利用空间向量加减运算与数乘运算的几何表示即可得解. 【详解】如图，因为，， 所以，， 又因为，，， 所以. 故答案为：. 13．已知直三棱柱，，，点为此直三棱柱表面上一动点，且，当取最小值时，的值为 . 【答案】/ 【分析】首先由可得是在以为球心半径为4的球面上，进而得到其在平面的交线，故取值最小时，，，三点共线，利用平面几何的运算可计算出在上的投影，进而得到答案. 【详解】由可得是在以为球心半径为4的球面上， 由于，， 取值最小时，其在平面内， 其在平面的交线为如图所示的圆弧. 故取值最小时，，，三点共线， 通过点往作垂线，垂足为，则， 则，故， 代入解得，从而， 因此 . 故答案为：. 题型六：空间向量的数量积运算 14．如图，在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，则 ． 【答案】/ 【分析】根据向量线性运算，将转化为，根据向量数量积的定义和运算律可求得结果. 【详解】. 故答案为：. 15．在平行六面体中，，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】由空间向量基本定理得到，平方后得到，得到的长. 【详解】由题意得：， 故 ，故. 故答案为： 16．如图，在平行六面体中，为的中点，若该六面体的棱长都为2，，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，取空间向量的一个基底，再利用空间向量数量积及运算律求出向量的模作答. 【详解】在平行六面体中，令，显然不共面，两两夹角为， 因为为的中点，则， 而，， 所以. 故答案为： 题型七：空间向量基本定理及其应用 17．若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，向量、、共面，则存在实数、使得，根据空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得的值. 【详解】因为向量，，不能构成空间的一个基底， 所以、、共面，故存在实数、使得， 即， 因为是空间的一个基底，则，解得. 故选：D. 18．三棱锥A-BCD中，E，F，H分别为边CD，AD，BC的中点，BE，DH的交点为G，则的化简结果为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得为的重心，由三角形重心的性质可知，由中位线定理可知，再利用向量的加法运算法则即可求出结果． 【详解】解：依题意可得为的重心，，，分别为边，和的中点， ，， ． 故选：D 19．在正方体中，P为的中点，E为的中点，F为的中点，O为EF的中点，直线PE交直线于点Q，直线PF交直线于点R，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先以，，为基底，表示出，然后解向量方程组，用表示出，，，再由，，与的关系可得. 【详解】记，，，则， 解得 又 所以 整理得．故选：B 题型八：空间向量的坐标运算 20．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，，P为的中点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后得出和的坐标，即可得出答案. 【详解】 如图，由已知可得，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系. 则，，，，，. 所以，， 所以. 故选：A. 21．在空间直角坐标系中，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得求出，从而可求出的坐标，进而可求出其模 【详解】因为，，且，所以，得， 所以，所以， 所以， 故选：B 22．设空间两个单位向量与向量的夹角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设，结合空间向量模长、夹角的坐标公式列方程组求得，再由即可求结果. 【详解】由题意可得，则，即， 又，即，且， 所以. 故选：C 题型九：空间向量坐标的平行和垂直问题 23．已知空间向量，，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用空间向量平行的坐标表示即可得解. 【详解】因为，，， 所以，解得， 所以. 故选：A. 24．若点，，，，且，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】求得的坐标，根据，可求得m值，代入求模公式，即可得答案. 【详解】， 因为，所以，解得， 所以， 所以， 故选：C 25．如图，在直三棱柱中，，，分别是棱、和AB的中点，点D是线段AC上的动点不包括端点若，则线段AD的长度是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设出点坐标，求出向量，利用求得点坐标，再求线段AD的长度即可． 【详解】在直三棱柱中，，以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，，，，，， 由于，所以，解得，所以线段AD的长度为. 故选：A 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $