第8章 8.3 正态分布-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（苏教版2019）

第8章 <<< §8.3 正态分布 1.利用实际问题的频率直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义. 2.了解变量落在区间(μ-σ，μ+σ)，(μ-2σ，μ+2σ)，(μ-3σ，μ+3σ)内的概率大小. 3.掌握正态分布与标准正态分布的转换，能利用标准正态分布表求得标准正态分布在某一区间内取值的概率. 学习目标 一所学校同年级的同学的身高，特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右；某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少.生活中这样的现象很多，是否可以用数学模型来刻画呢？ 某乒乓球生产厂家生产一批直径为4.8 cm的乒乓球，如果通过抽样估计得到这批乒乓球的直径的标准差为0.1 cm，则应该怎样来判断这批乒乓球的质量？如果产品中发现一个乒乓球的直径为5.2 cm，则说明了什么情况？ 导 语 一、正态密度曲线及其性质 二、随机变量在三个特殊区间内取值的概率值 课时对点练 三、标准正态分布 随堂演练 内容索引 一 正态密度曲线及其性质 你见过高尔顿板吗？如图所示是一块高尔顿板示意图.在一块木板上钉上若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内. 问题 为了更好地观察随着试验次数的增加，落在各个球槽内的小球分布情况，我们进一步从频率的角度探究一下小球的分布规律，以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率值为纵坐标，可以画出频率直方图如下： 问题 试想随着试验次数的增加，频率直方图会呈现出什么形状？ 提示　随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线. 问题 1.概率密度曲线 对于某一随机变量的频率直方图，如果数据无限 且组距无限 ，那么频率直方图上的折线将趋于一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线. 增多 缩小 知识梳理 2.正态密度曲线 上升 下降 x轴 x=μ 大 小 1 定义 正态密度函数P(x)=(x∈R)的图象称为正态密度 线，这里有两个参数μ和σ，其中σ>0，μ∈R 特征 (1)当x<μ时，曲线 ；当x>μ时，曲线 ；当曲线向左右两边无限延伸时，以 为渐近线. (2)曲线关于直线 对称. (3)σ越 ，曲线越扁平；σ越 ，曲线越尖陡. (4)在曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为___ 知识梳理 3.正态分布 设X是一个随机变量，若对任给区间(a，b］，P(a<X≤b)是____________ 和 所围成的图形的面积，则称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为 . 正态密度曲线 下方 x轴上(a，b］上方 X~N(μ，σ2) 知识梳理 参数μ和σ对正态密度曲线的形状的影响 (1)μ为位置参数 当参数σ取固定值时，正态密度曲线的位 置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移， 如图①，根据随机变量均值的意义，有 E(X)=μ. 注 意 点 <<< 12 (2)σ为形状参数 参数σ的大小决定了曲线的高低和胖瘦，因此σ的变化影响曲线的形状，σ越小，曲线越“瘦高”，表示随机变量的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示随机变量的分布越分散，如图②，根据随机变量方差的意义，有D(X)=σ2. 注 意 点 <<< 13 　　　(1)已知随机变量服从正态分布，其正态密度曲线如图所示，则总体的均值μ=　　，方差σ2=　　.  例 1 20 2 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x=20对称，最大值是，所以μ=20，=，解得σ=，因此总体的均值μ=20，方差σ2=()2=2. 14 (2)已知三条正态密度曲线Pi(x)=·(x∈R，i=1，2，3)如图所示，则下列判断正确的是 A.μ1<μ2=μ3，σ1=σ2>σ3 B.μ1>μ2=μ3，σ1=σ2<σ3 C.μ1=μ2<μ3，σ1<σ2=σ3 D.μ1<μ2=μ3，σ1=σ2<σ3 √ 15 由正态密度曲线关于直线x=μ对称，知μ1<μ2=μ3；σ的大小决定曲线的形状，σ越大，随机变量的分布越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，随机变量的分布越集中，曲线越“瘦高”，则σ1=σ2<σ3. 16 (1)正态密度曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，由此特点结合图象求出μ. (2)正态密度曲线在x=μ处达到峰值，由此特点结合图象可求出σ. 反 思 感 悟 利用正态密度曲线的特点求参数μ，σ 17 　　　　　(1)某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为P(x)=(x∈R)，则下列命题不正确的是 A.该市这次考试的数学平均成绩为80分 B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D.该市这次考试的数学成绩标准差为10 跟踪训练 1 √ 18 由密度函数知，均值μ=80，标准差σ=10，又曲线关于直线x=80对称，故分数为100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B是错误的. 19 (2)(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，)，N(μ2，)，其正态密度曲线f(x)=，x∈R如图所示，则下列说法正确的是 A.甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99 √ √ √ 20 由图象可知甲图象关于直线x=0.4对称，乙图象关于直线x=0.8对称， 所以μ1=0.4，μ2=0.8，μ1<μ2，故A，C正确； 因为甲图象比乙图象更“瘦高”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确； 因为乙图象的最大值为1.99， 即=1.99，σ2≠1.99，故D错误. 21 二 随机变量在三个特殊区间内取值的概率值 随机变量X取值 (1)落在区间(μ-σ，μ+σ)内的概率约为 . (2)落在区间(μ-2σ，μ+2σ)内的概率约为 . (3)落在区间(μ-3σ，μ+3σ)内的概率约为 . 68.3% 95.4% 99.7% 知识梳理 尽管随机变量的取值范围是(-∞，+∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间(μ-3σ，μ+3σ)内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.003，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ-3σ，μ+3σ)中的值. 注 意 点 <<< 24 　　　(课本例1)　已知随机变量Z~N(0，1)，查标准正态分布表，求： (1)P(Z≤1.52)； 例 2 P(Z≤1.52)=0.935 7(如图(1)). 25 (2)P(Z>1.52)； P(Z>1.52)=1-P(Z≤1.52) =1-0.935 7=0.064 3. (3)P(0.57<Z≤2.3)； P(0.57<Z≤2.3)=P(Z≤2.3)-P(Z≤0.57) =0.989 3-0.715 7=0.273 6(如图(2)). 26 (4)P(Z≤-1.49). P(Z≤-1.49)=P(Z≥1.49)=1-P(Z≤1.49) =1-0.931 9=0.068 1(如图(3)). 27 　　　设ξ~N(1，22)，试求： (1)P(-1<ξ<3)； 例 2 ∵ξ~N(1，22)，∴μ=1，σ=2. P(-1<ξ<3)=P(1-2<ξ<1+2) =P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈0.683. 28 (2)P(3<ξ<5). ∵P(3<ξ<5)=P(-3<ξ<-1)， ∴P(3<ξ<5)=［P(-3<ξ<5)-P(-1<ξ<3)］ =［P(1-4<ξ<1+4)-P(1-2<ξ<1+2)］ =［P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)-P(μ-σ<ξ<μ+σ)］ ≈×(0.954-0.683)=0.135 5. 29 若本例条件不变，求P(ξ≥5). P(ξ≥5)=P(ξ≤-3)=［1-P(-3<ξ<5)］ =［1-P(1-4<ξ<1+4)］ =［1-P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)］ ≈×(1-0.954)=0.023. 延伸探究 30 反 思 感 悟 (1)熟记正态密度曲线关于直线x=μ对称，从而在关于x=μ对称的区间上概率相等. (2)P(X<a)=1-P(X≥a)； P(X<μ-a)=P(X>μ+a). 充分利用正态密度曲线的对称性及面积为1的性质求解 　　　　　为了解某省高中男生的身体发育情况，随机抽 取1 000名男生测量他们的体重，测量的结果表明他们的体 重X(单位：kg)服从正态分布N(μ，22)，正态密度曲线如图 所示.若体重落在区间(58.5，62.5)内属于正常情况，则在这1 000名男生中不属于正常情况的人数约是  A.954 B.819 C.683 D.317 跟踪训练 2 √ 由题意可知，μ=60.5，σ=2，故P(58.5<X<62.5)=P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.683，从而不属于正常情况的人数约是1 000×(1-0.683)=317. 32 三 标准正态分布 正态分布 称为标准正态分布. N(0，1) 知识梳理 (1)当X~N(μ，σ2)(μ≠0或σ2≠1)时，Z=服从标准正态分布. (2)Φ(a)=P(x≤a). 注 意 点 <<< 35 　　　(课本例2)　某批待出口的水果罐头，每罐净重X(单位：g)服从正态分布N(184，2.52)，求： (1)随机抽取1罐，其净重超过184.5 g的概率； 例 3 P(X>184.5)=P =P(Z>0.2)=1-P(Z≤0.2) =1-0.579 3=0.420 7. 答　随机抽取1罐，其净重超过184.5 g的概率为0.420 7. 36 (2)随机抽取1罐，其净重在179 g与189 g之间的概率. P(179<X≤189)=P =P(-2<Z≤2) =P(Z≤2)-P(Z≤-2) =P(Z≤2)-P(Z≥2) =P(Z≤2)-[1-P(Z≤2)] =2P(Z≤2)-1 =2×0.977 2-1=0.954 4. 答　净重在179 g与189 g之间的概率为0.954 4. 37 　　　在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩ξ近似服从正态分布N(70，100).已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名. (1)此次参赛的学生总数约为多少人？ 例 3 38 因为ξ~N(70，100)， 所以~N(0，1). 由条件知，P(ξ≥90)=1-P(ξ<90) =1-Φ =1-Φ(2)=1-0.977 2=0.022 8. 这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28%， 所以参赛总人数约为≈526. 39 (2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，则设奖的分数线约为多少分？ 说明：对任何一个正态分布X~N(μ，σ2)来说，通过Z=转化为标准正态分布Z~N(0，1)，从而查标准正态分布表得到P(X<X1)=Φ(Z). 参考数据：可供查阅的(部分)标准正态分布表Φ(Z) 40 x0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.2 0.884 9 0.886 9 0.888 0.890 77 0.892 5 0.894 4 0.896 2 0.898 0 0.899 7 0.901 5 1.3 0.903 2 0.904 9 0.906 6 0.908 2 0.909 9 0.911 5 0.913 1 0.914 7 0.916 2 0.917 7 1.4 0.919 2 0.920 7 0.922 2 0.923 6 0.925 1 0.926 5 0.927 8 0.929 2 0.930 6 0.931 6 1.9 0.977 13 0.971 9 0.972 6 0.973 2 0.973 8 0.974 4 0.975 0 0.975 6 0.976 2 0.976 7 2.0 0.977 2 0.977 8 0.978 3 0.978 8 0.979 3 0.979 8 0.980 3 0.980 8 0.981 2 0.981 7 2.1 0.982 1 0.982 6 0.983 0 0.983 4 0.983 8 0.984 2 0.984 6 0.985 0 0.985 4 0.985 7 41 假定设奖的分数线为x分，则x~N(70，100)， 故~N(0，1). 又P(ξ≥x)=1-P(ξ<x)=1-Φ=≈0.095 1. 即Φ≈0.904 9，查表得≈1.31， 解得x≈83.1. 故设奖的分数线约为83分. 42 反 思 感 悟 (1)任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.即如果X~N(μ，σ2)，则Z=~N(0，1). (2)Φ(a)=P(x≤a)，即标准正态密度曲线与x轴在区间(-∞，a］上的概率. 　　　　　某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况，因此可以把统考成绩作为总体，设平均成绩μ=480，标准差σ=100，总体服从正态分布，若全市重点学校录取率为40%，那么重点学校录取分数线可能划在多少分？(已知Φ(0.25)=0.6) 跟踪训练 3 44 ∵平均成绩μ=480，标准差σ=100，总体服从正态分布， ∴X~N(480，1002). 设重点学校录取分数线可能划在f分， 则P(X≥f)=1-P(X<f)=1-Φ. 又Φ(0.25)=0.6，∴=0.25，∴f=505. 即重点学校录取分数线可能划在505分. 45 1.知识清单： (1)正态密度曲线及其特点. (2)正态分布及随机变量在三个特殊区间内取值的概率值. (3)正态分布与标准正态分布的转化. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：概率区间转化不等价. 课堂小结 46 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X>2)=0.15，则P(0≤X≤1)等于 A.0.85 B.0.70 C.0.35 D.0.15 P(0≤X≤1)=P(1≤X≤2) =0.5-P(X>2)=0.35. √ 2.(多选)下面给出的关于正态密度曲线的4个叙述中，正确的有 A.曲线在x轴上方，且与x轴不相交 B.当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升 C.当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中 D.曲线关于直线x=μ对称，且当x=μ时，位于最高点 1 2 3 4 √ √ √ 1 2 3 4 只有C错误，因为当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散. 3.已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ-σ，μ+σ)，(μ-2σ，μ+2σ)和(μ-3σ，μ+3σ)内取值的概率约为68.3%，95.4%和99.7%.若某校高一年级1 000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90，152)，则此次考试成绩在区间(60，120)内的学生大约有 A.997人 B.972人 C.954人 D.683人 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 依题意可知μ=90，σ=15，故P(60<X<120)=P(90-2×15<X<90+2×15) ≈0.954，1 000×0.954=954，故此次考试成绩在区间(60，120)内的学生大约有954人. 4.设随机变量X~N(2，9)，若P(X>1+c)=P(X<c-1).则： (1)c=　　　；  1 2 3 4 由X~N(2，9)可知，正态密度曲线关于直线x=2对称(如图所示)，又P(X>1+c)=P(X<c-1)， 故有2-(c-1)=(c+1)-2， 解得c=2. 2 (2)P(-4<X<8)≈　　　　.  1 2 3 4 P(-4<X<8)=P(2-2×3<X<2+2×3) ≈0.954. 0.954 课时对点练 五 1.已知正态分布密度函数f(x)=，x∈R，则μ，σ分别是 A.0和4 B.0和2 C.0和8 D.0和 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ f(x)==，故μ=0，σ=2. 2.已知随机变量X~N(μ，σ2)，若随机变量Y=aX+b，则 A.Y~N(aμ，σ2) B.Y~N(0，1) C.Y~N D.Y~N(aμ+b，a2σ2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵随机变量X~N(μ，σ2)， ∴E(X)=μ，D(X)=σ2， ∴E(Y)=aE(X)+b=aμ+b， D(Y)=a2D(X)=a2σ2， ∴Y~N(aμ+b，a2σ2). 3.(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是 A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的均值最小 C.乙科总体的标准差及均值都比甲小，比丙大 D.甲、乙、丙总体的均值不相同 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题中图象可知三科总体的均值相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态密度曲线越“矮胖”，σ越小，正态密度曲线越“瘦高”，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)=0.8，则P(0<ξ<2)等于 A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)， ∴μ=2，对称轴是ξ=2. ∵P(ξ<4)=0.8， ∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2， ∴P(0<ξ<4)=0.6， ∴P(0<ξ<2)=0.3.故选C. 5.某厂生产的零件外径X~N(10，0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9 cm，9.3 cm，则可认为 A.上午生产情况正常，下午生产情况异常 B.上午生产情况异常，下午生产情况正常 C.上午、下午生产情况均正常 D.上午、下午生产情况均异常 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为测量值X为随机变量，又X~N(10，0.04)， 所以μ=10，σ=0.2， 记I=(μ-3σ，μ+3σ)=(9.4，10.6)， 则9.9∈I，9.3∉I.故选A. 6.(多选)设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，则下列结论正确的是 A.P(|ξ|<a)=P(ξ<a)+P(ξ>-a)(a>0) B.P(|ξ|<a)=2P(ξ<a)-1(a>0) C.P(|ξ|<a)=1-2P(ξ<a)(a>0) D.P(|ξ|<a)=1-P(|ξ|≥a)(a>0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为P(|ξ|<a)=P(-a<ξ<a)，所以A错误； 因为P(|ξ|<a)=P(-a<ξ<a)=P(ξ<a)-P(ξ<-a)=P(ξ<a)-P(ξ>a)=P(ξ<a)-［1-P(ξ<a)］=2P(ξ<a)-1，所以B正确，C错误； 因为P(|ξ|<a)+P(|ξ|≥a)=1，所以P(|ξ|<a)=1-P(|ξ|≥a)(a>0)，所以D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知随机变量X~N(2，σ2)，若P(X>5)=0.1，则P(2<X<5)=　　　　，若某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(1，22)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，5)内的概率为　　　　　.  0.4 0.135 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由随机变量X~N(2，σ2)，得对称轴方程为x=2，∵P(X>5)=0.1，∴P(2<X<5)=0.5-P(X>5)=0.4. 设长度误差为随机变量ξ，由正态分布N(1，22)，得P(-1<ξ<3)≈0.683，P(-3<ξ<5)≈0.954， ∴P(3<ξ<5)=≈=0.135 5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，在某项测量中，已知X在(-∞，-1.96］内取值的概率为0.025，则P(|X|<1.96)=　　　　.  0.95 69 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　∵X~N(0，1)， ∴P(|X|<1.96)=P(-1.96<X<1.96) =Φ(1.96)-Φ(-1.96)=1-2Φ(-1.96)=0.95. 方法二　 因为曲线的对称轴是直线x=0，所以由图知 P(X>1.96)=P(X≤-1.96)=Φ(-1.96)=0.025， ∴P(|X|<1.96)=1-0.025-0.025=0.95. 70 9.已知随机变量X~N(μ，σ2)，且其正态密度曲线在(-∞，80)上单调递增，在(80，+∞)上单调递减，且P(72<X<88)≈0.683. (1)求参数μ，σ的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于正态密度曲线在(-∞，80)上单调递增，在(80，+∞)上单调递减，所以正态密度曲线关于直线x=80对称，即参数μ=80. 又P(72<X<88)≈0.683. 结合P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.683，可知σ=8. (2)求P(64<X≤72). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为P(μ-2σ<X<μ+2σ)=P(64<X<96)≈0.954. 又因为P(X≤64)=P(X≥96)，所以P(X≤64)≈×(1-0.954)=×0.046=0.023. 所以P(X>64)=0.977. 又P(X≤72)=［1-P(72<X<88)］≈×(1-0.683)=0.158 5，所以P(X>72)=0.841 5， 所以P(64<X≤72)=P(X>64)-P(X>72)=0.135 5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5，1)；第二条路线较长但不拥挤，X服从N(6，0.16).若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 还有7分钟时： 若选第一条路线，即X~N(5，1)， 能及时到达的概率 P1=P(X≤7)=P(X≤5)+P(5<X≤7) =+P(μ-2σ<X≤μ+2σ). 若选第二条路线，即X~N(6，0.16)， 能及时到达的概率 P2=P(X≤7)=P(X≤6)+P(6<X≤7) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =+P(μ-2.5σ<X≤μ+2.5σ). 因为P1<P2，所以应选第二条路线. 同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线. 11.在某市的高三质量检测考试中，数学成绩服从正态分布N(98，100).已知参加本次考试的全市学生约有9 450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第 A.1 498名 B.1 700名 C.4 500名 D.8 000名 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为数学成绩X服从正态分布N(98，100)，所以P(X≥108)=［1-P(88<X<108)］=［1-P(μ-σ<X<μ+σ)］≈×(1-0.683)=0.158 5，所以0.158 5×9 450≈1 498，故该学生的数学成绩大约排在全市第1 498名. 12.一批电阻的电阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1 000，52)，当电阻值X在(μ-3σ，μ+3σ)内才可以出厂，现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1 011 Ω和982 Ω，可以认为 A.甲、乙两箱电阻均可出厂 B.甲、乙两箱电阻均不可出厂 C.甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D.甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵X~N(1 000，52)，∴μ=1 000，σ=5， ∴μ-3σ=1 000-3×5=985， μ+3σ=1 000+3×5=1 015. ∵1 011∈(985，1 015)，982∉(985，1 015)， ∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂. 13.某品牌的一款纯电动车单次最大续航里程X(千米)服从正态分布N(2 000，102).任选一辆该款电动车，则它的单次最大续航里程恰在1 970(千米)到 2 020(千米)之间的概率约为　　　　　　.(精确到小数点后3位，参考公式：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈0.683，P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈0.954，P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)≈0.997)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0.976 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知X~N(2 000，102)， ∴μ=2 000，σ=10， ∴P(1 970<X<2 020) =P(μ-3σ<X<μ+2σ)=P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)-［P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)-P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)］ ≈0.997-×(0.997-0.954)≈0.976. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知随机变量X~N(2，22)，且aX+b(a>0)服从标准正态分布N(0，1)，则a=　　　，b=　　　.  ∵随机变量X~N(2，22)， ∴E(X)=2，D(X)=22=4. ∴E(aX+b)=aE(X)+b=2a+b=0， D(aX+b)=a2D(X)=4a2=1， 又a>0，∴a=，b=-1. -1 15.(多选)设X~N(μ1，)，Y~N(μ2，)，这两个正态密度曲线如图所示.下列结论中错误的是 A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C.对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t) D.对任意正数t，P(X>t)>P(Y>t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2， ∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A错； P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B错； 当t为任意正数时， 由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t)， 而P(X≤t)=1-P(X>t)， P(Y≤t)=1-P(Y>t)， ∴P(X>t)<P(Y>t)，故C正确，D错. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图. (1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+ 10×0.19+11×0.09+12×0.04=9， s2=(6-9)2×0.03+(7-9)2×0.1+(8-9)2× 0.2+(9-9)2×0.35+(10-9)2×0.19+(11-9)2×0.09+(12-9)2×0.04=1.78. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2. ①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X~N(μ，σ2)，令Y=，则Y~N(0，1)，且P(X≤a)=P. 利用直方图得到的正态分布，求P(X≤10)； 参考数据：≈，0.773 419≈0.007 6. 若Y~N(0，1)，则P(Y≤0.75)=0.773 4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知μ=9，σ2=1.78， ∴X~N(9，1.78)，σ==≈. ∴P(X≤10)=P=P(Y≤0.75) =0.773 4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P(Z≥2)(结果精确到0.000 1)以及Z的均值. 参考数据：≈，0.773 419≈0.007 6. 若Y~N(0，1)，则P(Y≤0.75)=0.773 4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由①知P(X>10)=1-P(X≤10)=0.226 6， 可得Z~B(20，0.226 6)， P(Z≥2)=1-P(Z=0)-P(Z=1) =1-0.773 420-×0.226 6×0.773 419 ≈1-(0.773 4+20×0.226 6)×0.007 6 ≈0.959 7. Z的均值E(Z)=20×0.226 6=4.532. 第一章 <<< $$ ［学习目标］　1.利用实际问题的频率直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间(μ-σ，μ+σ)，(μ-2σ，μ+2σ)，(μ-3σ，μ+3σ)内的概率大小.3.掌握正态分布与标准正态分布的转换，能利用标准正态分布表求得标准正态分布在某一区间内取值的概率. 导语 一所学校同年级的同学的身高，特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右；某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少.生活中这样的现象很多，是否可以用数学模型来刻画呢？ 某乒乓球生产厂家生产一批直径为4.8 cm的乒乓球，如果通过抽样估计得到这批乒乓球的直径的标准差为0.1 cm，则应该怎样来判断这批乒乓球的质量？如果产品中发现一个乒乓球的直径为5.2 cm，则说明了什么情况？ 一、正态密度曲线及其性质 问题　你见过高尔顿板吗？如图所示是一块高尔顿板示意图.在一块木板上钉上若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内. 为了更好地观察随着试验次数的增加，落在各个球槽内的小球分布情况，我们进一步从频率的角度探究一下小球的分布规律，以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率值为纵坐标，可以画出频率直方图如下： 试想随着试验次数的增加，频率直方图会呈现出什么形状？ 提示　随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线. 知识梳理 1.概率密度曲线 对于某一随机变量的频率直方图，如果数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图上的折线将趋于一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线. 2.正态密度曲线 定义 正态密度函数P(x)=(x∈R)的图象称为正态密度曲线，这里有两个参数μ和σ，其中σ>0，μ∈R 特征 (1)当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线. (2)曲线关于直线x=μ对称. (3)σ越大，曲线越扁平；σ越小，曲线越尖陡. (4)在曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1 3.正态分布 设X是一个随机变量，若对任给区间(a，b］，P(a<X≤b)是正态密度曲线下方和x轴上(a，b］上方所围成的图形的面积，则称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X~N(μ，σ2). 注意点： 参数μ和σ对正态密度曲线的形状的影响 (1)μ为位置参数 当参数σ取固定值时，正态密度曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图①，根据随机变量均值的意义，有E(X)=μ. (2)σ为形状参数 参数σ的大小决定了曲线的高低和胖瘦，因此σ的变化影响曲线的形状，σ越小，曲线越“瘦高”，表示随机变量的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示随机变量的分布越分散，如图②，根据随机变量方差的意义，有D(X)=σ2. 例1　(1)已知随机变量服从正态分布，其正态密度曲线如图所示，则总体的均值μ=　　　　，方差σ2=　　　　.  答案　20　2 解析　从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x=20对称，最大值是，所以μ=20，=，解得σ=，因此总体的均值μ=20，方差σ2=()2=2. (2)已知三条正态密度曲线Pi(x)=·(x∈R，i=1，2，3)如图所示，则下列判断正确的是 (　　) A.μ1<μ2=μ3，σ1=σ2>σ3 B.μ1>μ2=μ3，σ1=σ2<σ3 C.μ1=μ2<μ3，σ1<σ2=σ3 D.μ1<μ2=μ3，σ1=σ2<σ3 答案　D 解析　由正态密度曲线关于直线x=μ对称，知μ1<μ2=μ3；σ的大小决定曲线的形状，σ越大，随机变量的分布越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，随机变量的分布越集中，曲线越“瘦高”，则σ1=σ2<σ3. 反思感悟　利用正态密度曲线的特点求参数μ，σ (1)正态密度曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，由此特点结合图象求出μ. (2)正态密度曲线在x=μ处达到峰值，由此特点结合图象可求出σ. 跟踪训练1　(1)某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为P(x)=(x∈R)，则下列命题不正确的是 (　　) A.该市这次考试的数学平均成绩为80分 B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D.该市这次考试的数学成绩标准差为10 答案　B 解析　由密度函数知，均值μ=80，标准差σ=10，又曲线关于直线x=80对称，故分数为100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B是错误的. (2)(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，)，N(μ2，)，其正态密度曲线f(x)=，x∈R如图所示，则下列说法正确的是 (　　) A.甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99 答案　ABC 解析　由图象可知甲图象关于直线x=0.4对称，乙图象关于直线x=0.8对称， 所以μ1=0.4，μ2=0.8，μ1<μ2，故A，C正确； 因为甲图象比乙图象更“瘦高”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确； 因为乙图象的最大值为1.99， 即=1.99，σ2≠1.99，故D错误. 二、随机变量在三个特殊区间内取值的概率值 知识梳理 随机变量X取值 (1)落在区间(μ-σ，μ+σ)内的概率约为68.3%. (2)落在区间(μ-2σ，μ+2σ)内的概率约为95.4%. (3)落在区间(μ-3σ，μ+3σ)内的概率约为99.7%. 注意点： 尽管随机变量的取值范围是(-∞，+∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间(μ-3σ，μ+3σ)内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.003，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ-3σ，μ+3σ)中的值. 例2　(课本例1)　已知随机变量Z~N(0，1)，查标准正态分布表，求： (1)P(Z≤1.52)； (2)P(Z>1.52)； (3)P(0.57<Z≤2.3)； (4)P(Z≤-1.49). 解　(1)P(Z≤1.52)=0.935 7(如图(1)). (2)P(Z>1.52)=1-P(Z≤1.52) =1-0.935 7=0.064 3. (3)P(0.57<Z≤2.3)=P(Z≤2.3)-P(Z≤0.57) =0.989 3-0.715 7=0.273 6(如图(2)). (4)P(Z≤-1.49)=P(Z≥1.49)=1-P(Z≤1.49)=1-0.931 9=0.068 1(如图(3)). 例2　设ξ~N(1，22)，试求： (1)P(-1<ξ<3)；(2)P(3<ξ<5). 解　∵ξ~N(1，22)，∴μ=1，σ=2. (1)P(-1<ξ<3)=P(1-2<ξ<1+2) =P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈0.683. (2)∵P(3<ξ<5)=P(-3<ξ<-1)， ∴P(3<ξ<5)=［P(-3<ξ<5)-P(-1<ξ<3)］ =［P(1-4<ξ<1+4)-P(1-2<ξ<1+2)］ =［P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)-P(μ-σ<ξ<μ+σ)］ ≈×(0.954-0.683)=0.135 5. 延伸探究　若本例条件不变，求P(ξ≥5). 解　P(ξ≥5)=P(ξ≤-3)=［1-P(-3<ξ<5)］ =［1-P(1-4<ξ<1+4)］ =［1-P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)］ ≈×(1-0.954)=0.023. 反思感悟　充分利用正态密度曲线的对称性及面积为1的性质求解 (1)熟记正态密度曲线关于直线x=μ对称，从而在关于x=μ对称的区间上概率相等. (2)P(X<a)=1-P(X≥a)； P(X<μ-a)=P(X>μ+a). 跟踪训练2　为了解某省高中男生的身体发育情况，随机抽取1 000名男生测量他们的体重，测量的结果表明他们的体重X(单位：kg)服从正态分布N(μ，22)，正态密度曲线如图所示.若体重落在区间(58.5，62.5)内属于正常情况，则在这1 000名男生中不属于正常情况的人数约是 (　　) A.954 B.819 C.683 D.317 答案　D 解析　由题意可知，μ=60.5，σ=2，故P(58.5<X<62.5)=P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.683，从而不属于正常情况的人数约是1 000×(1-0.683)=317. 三、标准正态分布 知识梳理 正态分布N(0，1)称为标准正态分布. 注意点： (1)当X~N(μ，σ2)(μ≠0或σ2≠1)时，Z=服从标准正态分布. (2)Φ(a)=P(x≤a). 例3　(课本例2)　某批待出口的水果罐头，每罐净重X(单位：g)服从正态分布N(184，2.52)，求： (1)随机抽取1罐，其净重超过184.5 g的概率； (2)随机抽取1罐，其净重在179 g与189 g之间的概率. 解　(1)P(X>184.5)=P =P(Z>0.2)=1-P(Z≤0.2) =1-0.579 3=0.420 7. (2)P(179<X≤189) =P =P(-2<Z≤2) =P(Z≤2)-P(Z≤-2) =P(Z≤2)-P(Z≥2) =P(Z≤2)-[1-P(Z≤2)] =2P(Z≤2)-1 =2×0.977 2-1=0.954 4. 答　随机抽取1罐，其净重超过184.5 g的概率为0.420 7，净重在179 g与189 g之间的概率为0.954 4. 例3　在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩ξ近似服从正态分布N(70，100).已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名. (1)此次参赛的学生总数约为多少人？ (2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，则设奖的分数线约为多少分？ 说明：对任何一个正态分布X~N(μ，σ2)来说，通过Z=转化为标准正态分布Z~N(0，1)，从而查标准正态分布表得到P(X<X1)=Φ(Z). 参考数据：可供查阅的(部分)标准正态分布表Φ(Z) x0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.2 0.884 9 0.886 9 0.888 0.890 77 0.892 5 0.894 4 0.896 2 0.898 0 0.899 7 0.901 5 1.3 0.903 2 0.904 9 0.906 6 0.908 2 0.909 9 0.911 5 0.913 1 0.914 7 0.916 2 0.917 7 1.4 0.919 2 0.920 7 0.922 2 0.923 6 0.925 1 0.926 5 0.927 8 0.929 2 0.930 6 0.931 6 1.9 0.977 13 0.971 9 0.972 6 0.973 2 0.973 8 0.974 4 0.975 0 0.975 6 0.976 2 0.976 7 2.0 0.977 2 0.977 8 0.978 3 0.978 8 0.979 3 0.979 8 0.980 3 0.980 8 0.981 2 0.981 7 2.1 0.982 1 0.982 6 0.983 0 0.983 4 0.983 8 0.984 2 0.984 6 0.985 0 0.985 4 0.985 7 解　(1)因为ξ~N(70，100)， 所以~N(0，1). 由条件知，P(ξ≥90)=1-P(ξ<90) =1-Φ =1-Φ(2)=1-0.977 2=0.022 8. 这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28%， 所以参赛总人数约为≈526. (2)假定设奖的分数线为x分，则x~N(70，100)， 故~N(0，1). 又P(ξ≥x)=1-P(ξ<x)=1-Φ=≈0.095 1. 即Φ≈0.904 9，查表得≈1.31， 解得x≈83.1. 故设奖的分数线约为83分. 反思感悟　(1)任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.即如果X~N(μ，σ2)，则Z=~N(0，1). (2)Φ(a)=P(x≤a)，即标准正态密度曲线与x轴在区间(-∞，a］上的概率. 跟踪训练3　某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况，因此可以把统考成绩作为总体，设平均成绩μ=480，标准差σ=100，总体服从正态分布，若全市重点学校录取率为40%，那么重点学校录取分数线可能划在多少分？(已知Φ(0.25)=0.6) 解　∵平均成绩μ=480，标准差σ=100，总体服从正态分布， ∴X~N(480，1002). 设重点学校录取分数线可能划在f分， 则P(X≥f)=1-P(X<f)=1-Φ. 又Φ(0.25)=0.6，∴=0.25，∴f=505. 即重点学校录取分数线可能划在505分. 1.知识清单： (1)正态密度曲线及其特点. (2)正态分布及随机变量在三个特殊区间内取值的概率值. (3)正态分布与标准正态分布的转化. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：概率区间转化不等价. 1.已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X>2)=0.15，则P(0≤X≤1)等于 (　　) A.0.85 B.0.70 C.0.35 D.0.15 答案　C 解析　P(0≤X≤1)=P(1≤X≤2) =0.5-P(X>2)=0.35. 2.(多选)下面给出的关于正态密度曲线的4个叙述中，正确的有 (　　) A.曲线在x轴上方，且与x轴不相交 B.当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升 C.当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中 D.曲线关于直线x=μ对称，且当x=μ时，位于最高点 答案　ABD 解析　只有C错误，因为当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散. 3.已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ-σ，μ+σ)，(μ-2σ，μ+2σ)和(μ-3σ，μ+3σ)内取值的概率约为68.3%，95.4%和99.7%.若某校高一年级1 000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90，152)，则此次考试成绩在区间(60，120)内的学生大约有 (　　) A.997人 B.972人 C.954人 D.683人 答案　C 解析　依题意可知μ=90，σ=15，故P(60<X<120)=P(90-2×15<X<90+2×15)≈0.954，1 000×0.954=954，故此次考试成绩在区间(60，120)内的学生大约有954人. 4.设随机变量X~N(2，9)，若P(X>1+c)=P(X<c-1).则： (1)c=　　　；  (2)P(-4<X<8)≈　　　　.  答案　(1)2　(2)0.954 解析　 (1)由X~N(2，9)可知，正态密度曲线关于直线x=2对称(如图所示)，又P(X>1+c)=P(X<c-1)， 故有2-(c-1)=(c+1)-2， 解得c=2. (2)P(-4<X<8)=P(2-2×3<X<2+2×3) ≈0.954. 课时对点练　［分值：100分］ 　　　　　　　　　　　　　　　　 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.已知正态分布密度函数f(x)=，x∈R，则μ，σ分别是 (　　) A.0和4 B.0和2 C.0和8 D.0和 答案　B 解析　f(x)==，故μ=0，σ=2. 2.已知随机变量X~N(μ，σ2)，若随机变量Y=aX+b，则 (　　) A.Y~N(aμ，σ2) B.Y~N(0，1) C.Y~N D.Y~N(aμ+b，a2σ2) 答案　D 解析　∵随机变量X~N(μ，σ2)， ∴E(X)=μ，D(X)=σ2， ∴E(Y)=aE(X)+b=aμ+b， D(Y)=a2D(X)=a2σ2， ∴Y~N(aμ+b，a2σ2). 3.(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是 (　　) A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的均值最小 C.乙科总体的标准差及均值都比甲小，比丙大 D.甲、乙、丙总体的均值不相同 答案　BCD 解析　由题中图象可知三科总体的均值相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态密度曲线越“矮胖”，σ越小，正态密度曲线越“瘦高”，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙. 4.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)=0.8，则P(0<ξ<2)等于 (　　) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 答案　C 解析　∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)， ∴μ=2，对称轴是ξ=2. ∵P(ξ<4)=0.8， ∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2， ∴P(0<ξ<4)=0.6， ∴P(0<ξ<2)=0.3.故选C. 5.某厂生产的零件外径X~N(10，0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9 cm，9.3 cm，则可认为 (　　) A.上午生产情况正常，下午生产情况异常 B.上午生产情况异常，下午生产情况正常 C.上午、下午生产情况均正常 D.上午、下午生产情况均异常 答案　A 解析　因为测量值X为随机变量，又X~N(10，0.04)， 所以μ=10，σ=0.2， 记I=(μ-3σ，μ+3σ)=(9.4，10.6)， 则9.9∈I，9.3∉I.故选A. 6.(多选)设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，则下列结论正确的是 (　　) A.P(|ξ|<a)=P(ξ<a)+P(ξ>-a)(a>0) B.P(|ξ|<a)=2P(ξ<a)-1(a>0) C.P(|ξ|<a)=1-2P(ξ<a)(a>0) D.P(|ξ|<a)=1-P(|ξ|≥a)(a>0) 答案　BD 解析　因为P(|ξ|<a)=P(-a<ξ<a)，所以A错误； 因为P(|ξ|<a)=P(-a<ξ<a)=P(ξ<a)-P(ξ<-a)=P(ξ<a)-P(ξ>a)=P(ξ<a)-［1-P(ξ<a)］=2P(ξ<a)-1，所以B正确，C错误； 因为P(|ξ|<a)+P(|ξ|≥a)=1，所以P(|ξ|<a)=1-P(|ξ|≥a)(a>0)，所以D正确. 7.(5分)已知随机变量X~N(2，σ2)，若P(X>5)=0.1，则P(2<X<5)=　　　　，若某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(1，22)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，5)内的概率为　　　.  答案　0.4　0.135 5 解析　由随机变量X~N(2，σ2)，得对称轴方程为x=2，∵P(X>5)=0.1，∴P(2<X<5)=0.5-P(X>5)=0.4. 设长度误差为随机变量ξ，由正态分布N(1，22)，得P(-1<ξ<3)≈0.683，P(-3<ξ<5)≈0.954， ∴P(3<ξ<5)=≈=0.135 5. 8.(5分)设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，在某项测量中，已知X在(-∞，-1.96］内取值的概率为0.025，则P(|X|<1.96)=　　　　.  答案　0.95 解析　方法一　∵X~N(0，1)， ∴P(|X|<1.96)=P(-1.96<X<1.96) =Φ(1.96)-Φ(-1.96)=1-2Φ(-1.96)=0.95. 方法二　 因为曲线的对称轴是直线x=0，所以由图知 P(X>1.96)=P(X≤-1.96)=Φ(-1.96)=0.025， ∴P(|X|<1.96)=1-0.025-0.025=0.95. 9.(10分)已知随机变量X~N(μ，σ2)，且其正态密度曲线在(-∞，80)上单调递增，在(80，+∞)上单调递减，且P(72<X<88)≈0.683. (1)求参数μ，σ的值；(4分) (2)求P(64<X≤72).(6分) 解　(1)由于正态密度曲线在(-∞，80)上单调递增，在(80，+∞)上单调递减，所以正态密度曲线关于直线x=80对称，即参数μ=80. 又P(72<X<88)≈0.683. 结合P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.683，可知σ=8. (2)因为P(μ-2σ<X<μ+2σ)=P(64<X<96)≈0.954. 又因为P(X≤64)=P(X≥96)，所以P(X≤64)≈×(1-0.954)=×0.046=0.023. 所以P(X>64)=0.977. 又P(X≤72)=［1-P(72<X<88)］≈×(1-0.683)=0.158 5，所以P(X>72)=0.841 5， 所以P(64<X≤72)=P(X>64)-P(X>72)=0.135 5. 10.(10分)某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5，1)；第二条路线较长但不拥挤，X服从N(6，0.16).若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？ 解　还有7分钟时： 若选第一条路线，即X~N(5，1)， 能及时到达的概率 P1=P(X≤7)=P(X≤5)+P(5<X≤7) =+P(μ-2σ<X≤μ+2σ). 若选第二条路线，即X~N(6，0.16)， 能及时到达的概率 P2=P(X≤7)=P(X≤6)+P(6<X≤7) =+P(μ-2.5σ<X≤μ+2.5σ). 因为P1<P2，所以应选第二条路线. 同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线. 11.在某市的高三质量检测考试中，数学成绩服从正态分布N(98，100).已知参加本次考试的全市学生约有9 450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第 (　　) A.1 498名 B.1 700名 C.4 500名 D.8 000名 答案　A 解析　因为数学成绩X服从正态分布N(98，100)，所以P(X≥108)=［1-P(88<X<108)］=［1-P(μ-σ<X<μ+σ)］≈×(1-0.683)=0.158 5，所以0.158 5×9 450≈1 498，故该学生的数学成绩大约排在全市第1 498名. 12.一批电阻的电阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1 000，52)，当电阻值X在(μ-3σ，μ+3σ)内才可以出厂，现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1 011 Ω和982 Ω，可以认为 (　　) A.甲、乙两箱电阻均可出厂 B.甲、乙两箱电阻均不可出厂 C.甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D.甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 答案　C 解析　∵X~N(1 000，52)，∴μ=1 000，σ=5， ∴μ-3σ=1 000-3×5=985， μ+3σ=1 000+3×5=1 015. ∵1 011∈(985，1 015)，982∉(985，1 015)， ∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂. 13.(5分)某品牌的一款纯电动车单次最大续航里程X(千米)服从正态分布N(2 000，102).任选一辆该款电动车，则它的单次最大续航里程恰在1 970(千米)到2 020(千米)之间的概率约为　　　　　　.(精确到小数点后3位，参考公式：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈0.683，P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈0.954，P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)≈0.997)  答案　0.976 解析　由题意知X~N(2 000，102)， ∴μ=2 000，σ=10， ∴P(1 970<X<2 020) =P(μ-3σ<X<μ+2σ)=P(μ-3σ<ξ<μ+3σ) -［P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)-P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)］≈0.997-×(0.997-0.954)≈0.976. 14.(5分)已知随机变量X~N(2，22)，且aX+b(a>0)服从标准正态分布N(0，1)，则a=　　　，b=　　　.  答案　　-1 解析　∵随机变量X~N(2，22)， ∴E(X)=2，D(X)=22=4. ∴E(aX+b)=aE(X)+b=2a+b=0， D(aX+b)=a2D(X)=4a2=1， 又a>0，∴a=，b=-1. 15.(多选)设X~N(μ1，)，Y~N(μ2，)，这两个正态密度曲线如图所示.下列结论中错误的是 (　　) A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C.对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t) D.对任意正数t，P(X>t)>P(Y>t) 答案　ABD 解析　由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2， ∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A错； P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B错； 当t为任意正数时， 由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t)， 而P(X≤t)=1-P(X>t)， P(Y≤t)=1-P(Y>t)， ∴P(X>t)<P(Y>t)，故C正确，D错. 16.(12分)某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图. (1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；(4分) (2)由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2. ①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X~N(μ，σ2)，令Y=，则Y~N(0，1)，且P(X≤a)=P. 利用直方图得到的正态分布，求P(X≤10)；(4分) ②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P(Z≥2)(结果精确到0.000 1)以及Z的均值.(4分) 参考数据：≈，0.773 419≈0.007 6.若Y~N(0，1)，则P(Y≤0.75)=0.773 4. 解　(1)=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.09+12×0.04=9， s2=(6-9)2×0.03+(7-9)2×0.1+(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.35+(10-9)2×0.19+(11-9)2×0.09+(12-9)2×0.04=1.78. (2)①由(1)知μ=9，σ2=1.78， ∴X~N(9，1.78)，σ==≈. ∴P(X≤10)=P=P(Y≤0.75) =0.773 4. ②由①知P(X>10)=1-P(X≤10)=0.226 6， 可得Z~B(20，0.226 6)， P(Z≥2)=1-P(Z=0)-P(Z=1) =1-0.773 420-×0.226 6×0.773 419 ≈1-(0.773 4+20×0.226 6)×0.007 6 ≈0.959 7. Z的均值E(Z)=20×0.226 6=4.532. 学科网（北京）股份有限公司 $$