8.2.4 超几何分布（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本高中数学讲义聚焦超几何分布核心知识点，系统梳理其概念、记法、“不放回抽样、两类对象、古典概型”三大特点及均值公式，衔接古典概型基础，对比二项分布差异，通过问题导入、分层题型及对比辨析构建学习支架。 资料以自主招生答题、摸球等实例驱动，渗透数学建模与数学运算素养，通过辨析题强化概念理解，母题探究深化应用能力。课中助力教师引导学生抽象建模，课后学生可借跟踪训练查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

8.2.4　超几何分布 课标要求 1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值（数学抽象）. 2.能用超几何分布解决简单的实际问题（数学建模、数学运算）. 　　某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个. 【问题】　如何求出甲通过自主招生初试的概率？若记甲答对试题的个数为X，那么如何构建适当的概率模型刻画其分布？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　超几何分布 1.超几何分布 （1）概念：一般地，若一个随机变量X的分布列为P（X＝r）＝，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，r＝m，m＋1，m＋2，…，l，m＝max{0，n－N＋M}，l＝min{n，M}，则称X服从超几何分布； （2）记法：X服从超几何分布，记为　　　　　，并将P（X＝r）＝　　　　记为H（r；n，M，N）； （3）在H（r；n，M，N）中，r，n，M，N的含义： 　　提醒：超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型. 2.超几何分布的均值 当X～H（n，M，N）时，E（X）＝kPk＝　　　　（其中l＝min{n，M}）. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）超几何分布的总体里只有两类物品.（　　） （2）超几何分布的模型是不放回抽样.（　　） （3）超几何分布与二项分布的期望值都为np.（　　） （4）将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X服从超几何分布.（　　） （5）盒中有4个白球和3个黑球，有放回地摸取3个球，黑球的个数X服从超几何分布.（　　） （6）某射手的命中率为0.8，现对目标射击3次，命中目标的次数X服从超几何分布.（　　） 2.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，用X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄数，则X服从超几何分布，其参数为（　　） A.N＝15，M＝7，n＝10 B.N＝15，M＝10，n＝7 C.N＝22，M＝10，n＝7 D.N＝22，M＝7，n＝10 3.袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是红球的概率是（　　） A.　　　B.　　　C.　　　D. 题型一｜超几何分布的辨析 【例1】　下列问题中，哪些属于超几何分布问题，并说明理由： （1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列； （2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列； （3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红球的个数记为X，求X的分布列. 通性通法 判断一个随机变量是否服从超几何分布的方法 （1）总体是否分为两类明确的对象； （2）是否为不放回抽样； （3）随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 【跟踪训练】 　〔多选〕下列随机变量中，服从超几何分布的有（　　） A.在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X B.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数 C.一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的次数为随机变量X D.从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X 题型二｜超几何分布的概率 【例2】　（链接教科书第131页例1）某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数.求至少有2名男生参加数学竞赛的概率. 通性通法 　　超几何分布的概率计算公式给出了求解这类问题的方法，可以直接运用公式求解，但是不能机械地记忆公式，要在理解公式意义的前提下进行记忆. 【跟踪训练】 　在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率. 题型三｜超几何分布的概率分布 【例3】　（链接教科书第132页练习1题）一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球，记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的概率分布. 【母题探究】 1.（变设问）在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的概率分布. 2.（变条件）将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次，每次抽取1个球”，其他条件不变，结果又如何？ 通性通法 1.求超几何分布的概率分布的步骤 2.二项分布与超几何分布的区别与联系 区别 （1）二项分布不需要知道总体容量，超几何分布需要； （2）二项分布是“有放回”抽取（独立重复），超几何分布是“不放回”抽取 联系 在n次不放回试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，那么此时超几何分布可以近似为二项分布 【跟踪训练】 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品. （1）若从10件产品中任意抽取1件，设取到一等品的件数为ξ，求ξ的分布列； （2）若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件.每次抽取后都放回，设取到一等品的件数为η，求η的分布列； （3）若从这10件产品中随机抽取3次，每次抽取1件且每次抽取后都不放回，设取到一等品的件数为X，求X的分布列. 题型四｜超几何分布的均值与方差 【例4】　（链接教科书第131页例2）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）. （1）求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率； （2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的概率分布及均值. 通性通法 求超几何分布的均值与方差的步骤 （1）先判断随机变量是否服从超几何分布，若服从，则找出参数N，M，n的值； （2）利用公式P（X＝r）＝，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，r＝m，m＋1，m＋2，…，l，m＝max{0，n－N＋M}，l＝min{n，M}求出分布列； （3）利用均值与方差的定义求出均值E（X）和方差D（X），也可应用E（X）＝＝np求均值. 【跟踪训练】 　在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： （1）不放回抽样时，抽取次品数X的均值； （2）放回抽样时，抽取次品数Y的均值与方差. 1.〔多选〕一个袋中有3个同样大小的黑球，编号为1，2，3，还有2个同样大小的白球，编号为4，5，现从中任取2个球，下列变量服从超几何分布的是（　　） A.X表示取出的最大号码 B.X表示取出的两个号码的差的绝对值 C.取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的2个球的总得分 D.X表示取出的黑球个数 2.盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率是（　　） A.　 　B. C.　 　D. 3.某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取　　　　时，对应的概率为. 4.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的均值. 提示：完成课后作业　第八章　8.2　8.2.4 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2.4　超几何分布 【基础落实】 知识点 1.（2）X～H（n，M，N）　　2. 自我诊断 1.（1）√　（2）√　（3）√　（4）×　（5）× （6）× 2.A　由超几何分布的概念可知A正确. 3.B　取出的红球的个数服从超几何分布，故P＝＝. 【典例研析】 【例1】　解：（1）（2）中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题. （3）符合超几何分布的特征，样本分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布. 跟踪训练 　ABD　依据超几何分布模型定义可知，A、B、D中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布. 【例2】　解：依题意，得随机变量X服从超几何分布，且N＝10，M＝6，n＝4， P（X＝2）＝＝， P（X＝3）＝＝， P（X＝4）＝＝， ∴P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＋P（X＝4）＝＋＋＝. 跟踪训练 　解：设摸出红球的个数为X， 由题意得X～H（5，10，30）， 则中奖的概率为P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＋P（X＝5）＝＋＋ ≈0.159 99＋0.029 47＋0.001 77＝0.191 23. 【例3】　解：由题意知X＝0，1，2，3. P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝. 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 母题探究 1.解：由题意可知η＝0，1，服从两点分布.又P（η＝1）＝＝，所以η的概率分布为 η 0 1 P 2.解：由题意知，X服从二项分布， 则X～B（3，），由P（X＝k）＝（1－）3－k·（）k求出各式概率， 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 跟踪训练 　解：（1）若只抽取1件，则只有抽到一等品与抽不到一等品两种情况，故X的取值只有0和1两种情况，服从两点分布， P（ξ＝1）＝，则P（ξ＝0）＝1－P（ξ＝1）＝1－＝. 因此随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 P （2）若每次抽取后都放回，则每次抽到一等品的概率均为，η服从二项分布， 因此η～B（3，），所以P（η＝0）＝（）0（）3＝， P（η＝1）＝（）1（）2＝， P（η＝2）＝（）2（）1＝， P（η＝3）＝（）3（）0＝. 因此随机变量η的分布列为 η 0 1 2 3 P （3）若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取1次但1次抽取了3件，因此一等品的件数X服从超几何分布H（3，3，10）， 所以从10件产品中任取3件，其中恰有m件一等品的概率为P（X＝m）＝，m＝0，1，2，3. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 【例4】　解：（1）设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P（A）＝＝. 所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为. （2）依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且随机变量X的可能取值为0，1，2，3. P（X＝r）＝（r＝0，1，2，3）， 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 所以随机变量X的均值E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝（或E（X）＝＝）. 跟踪训练 　解：（1）法一　由题意知X的可能取值为0，1，2. P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝. ∴随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 P E（X）＝0×＋1×＋2×＝. 法二　由题意知P（X＝r）＝，r＝0，1，2， ∴随机变量X服从超几何分布， n＝3，M＝2，N＝10， ∴E（X）＝＝＝. （2）由题意知，抽取1次取到次品的概率为＝， 随机变量Y服从二项分布Y～B（3，）， ∴E（Y）＝3×＝， D（Y）＝3××（1－）＝. 随堂检测 1.CD　A，B中的变量不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，即A，B中的变量不服从超几何分布；C、D中的变量符合超几何分布的定义，将黑球视作次品，白球视作正品，则可以用超几何分布的数学模型计算概率，故选C、D. 2.C　设取出红球的个数为X，易知X服从超几何分布.∴P（X＝2）＝＝，故选C. 3.3　解析：由题意可知，X服从超几何分布，由概率值中的可以看出“从5名三好学生中选取了3名”. 4.解：由题意，X的可能取值为0，1，2， P（X＝r）＝，r＝0，1，2. X的概率分布为 X 0 1 2 P 所以E（X）＝0×＋1×＋2×＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $