7.4.1 二项式定理（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦二项式定理核心知识点，通过观察低次展开式系数规律引导学生抽象出定理内容，系统梳理二项式系数、展开式通项等概念，构建从具体实例到抽象定理再到应用的完整学习支架。 资料以问题链驱动探究，通过观察、猜想培养数学抽象能力，结合计数原理证明定理渗透逻辑推理，设置正用逆用、特定项求解等题型强化数学运算。课中助力教师引导学生主动建构知识，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，提升解决问题能力。

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b,ZxXk.c0m☐ 您身边的互联网+教辅专家 7.4二项式定理 7.4.1二项式定理 【基础落实】 知识点 Ca"+Cla”-b++Cna"-rh+…+Cnb"Cr Cna”-rb 自我诊断 1.(1)×(2)×(3)×(4)V 2.B因为(a十b)"的展开式共有(n十1)项，而(x十2)n的展开式共有11项， 所以n=10,故选B. 3.-4解析：(x-)4的展开式的通项为7+1=C()4(-)=( 1)Cx2-,令12-4k=0,即k=3,得常数项为T4=(一1)3C=一4. 4.60解析：(1一2x)6的展开式的通项Tk+1=C（一2)，当k=2时，T3=C6 (一2)2x2=60x2,所以x2的系数为60. 【典例研析】 【例1】解：(1)(x+2y)4=C44+C4(2y)+Cx2(2y)2+Cx(2y)3+ C4（2y)4=x4+8xy+24x2y2+32xy3+16y. (2)原式=C9(x+1)n+C}(x+1)n-1.(-1)+C(x+1)n-2(-1)2+…+ C(x+1)"-(-1)+十Cn(-1)m=[(x十1)+(-1)]=x 跟踪训练 1.5解析：C3"+C31+…+C-13+C=C310+C3-11+…+C-31m- +C30.1"=(3+1)"=4"=1024=210,即22m=210,解得n=5. 1 12 2.解：法 c:39x)+c°-8r+1ox+54+是+ ·独家授权侵权必究。 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 法二 (3x)+c(3x)勺=是1-12x+4+10sr+81)=-是+s4+10+ X 81x2. 【例2】 解：(3x-)0的展开式的通项是 3x T+1=C10(3VX)0-r(- 2)' 3 =C30(X00(r=0,1,2,…,10. (1)展开式的第4项(r=3)的二项式系数为C。=120. (2)晨开式的第4项的系数为C3(一名)=-77760. 跟踪训练 B(1一2x)"的展开式的通项为Tk+1=C★1"-.（一2x)=（一2）C,又展 开式中x3的系数为-160，则（一2）3C=-160,则C3=20,解得n=6. 1 【例3】 解：二项展开式的第+1项是1+=Cix2(一家)=（一1) Ciax- 1)令r=3,则7=（-1)C3x2-=-220x (2)令12-号=0，则=9，从面常数项为(-1D℃%=-20 4 (3)若求展开式中的有理项，则12-3为整数，即=0,3,6,9,12，故有理 项分别为T=x2,T4=-C12x8=-220x8,T,=Ci2x4=924r,T10=-C32=- 220,T13=x-4 跟踪训练 ·独家授权侵权必究◆ 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b,ZXxk.Com」 您身边的互联网+教辅专家 1. 2n3 解析：二项展开式的通项为=c(2)(一女)=(-子2 C哈”%，二项展开式一共有7项，所以第4项为中间项，即=3,1=(-4 ）326-3C3x2-3x3=- 53 2.4解析： a 6的展开式的通项是T+1=C6x6-.(-Va)x2r=C6x6 3”.(-a)',令6-3r=0,得r=2,即当r=2时，T+1为常数项，即常数项是C a,根据已知得Ca=60,解得a=4. 随堂检测 1.C由二项式定理得(Vx一2)5的展开式的通项T+1=C6(Vx)5-k(一2)= C店(-2)X,令52*=2，得=1，所以万=C5（-2》=-10d,所以 2 的系数为一10，故选C. 2.AS=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1=C9(x-1)4+C4 (x-1)3+C子(x-1)2+C(x-1)+C4=[(x-1)+1]4=x.故选A. 3.C由二项式x一号引民开式的第5项刀=哈(0)(-子=16c天 X 常数项，可得号-6=0解得n=12.故选C. 4解：（①(：子)=(-2x) 所以第3项为T3=Cx8-2(-2x2)2=(-2)2Cxx4=4Cx2=112x2. (2)T+1=C8x8-r(-2x2)r=(-1)2rC8x8-3r, 令8-3r=-1,解得r=3, 所以71=(-1)2C31=-448 ·独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 所以含项的系数为一448。 ·独家授权侵权必究· 7.4.1　二项式定理 课标要求 1.理解二项式定理的相关概念（数学抽象）. 2.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理（逻辑推理）. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题（数学运算）. 　　观察以下各式： 　　（a＋b）1＝a＋b， 　　（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2， 　　（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3， 　　（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4， 　　… 【问题】　（1）它们的系数之间有何规律？ （2）各项系数与我们学过的组合数有何联系？ （3）那么（a＋b）n的展开式又是什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　二项式定理 二项式定理 （a＋b）n＝　　　　　　　　　　　　　　（n∈N*） 二项式系数 　　　（r＝0，1，2，…，n） 二项展开式的通项 ＝　　　 　　提醒：二项展开式的特点：①展开式共有n＋1项；②各项中a，b的次数和都等于二项式的幂指数n；③字母a按降幂排列，次数由n递减到0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）（a＋b）n展开式中共有n项.（　　） （2）在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响.（　　） （3）an－rbr是（a＋b）n展开式中的第r项.（　　） （4）（a－b）n与（a＋b）n的二项式展开式的二项式系数相同.（　　） 2.（x＋2）n的展开式共有11项，则n＝（　　） A.9 B.10 C.11 D.8 3.（x3－）4的展开式中常数项为　　　　. 4.在（1－2x）6的展开式中，x2的系数为　　　　（用数字作答）. 题型一｜二项式定理的正用、逆用 【例1】　（链接教科书第83页例1）（1）求（x＋2y）4的展开式； （2）化简：（x＋1）n－（x＋1）n－1＋（x＋1）n－2－…＋（－1）k（x＋1）n－k＋…＋（－1）n. 通性通法 运用二项式定理解题的策略 （1）正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时要注意二项展开式的特点，前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如（a－b）n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开； （2）逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. 提醒　逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是（a－b）n的形式. 【跟踪训练】 1.已知3n＋3n－1＋3n－2＋…＋3＋＝1 024，则n＝　　　　. 2.求的展开式. 题型二｜二项展开式通项的应用 角度1　二项式系数与项的系数 【例2】　（链接教科书第84页例2）在二项式（3－）10的二项展开式中，求： （1）第4项的二项式系数； （2）第4项的系数. 通性通法 1.二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关. 2.求二项式系数可直接代入求解.求二项展开式某项的系数可以分为两步完成：（1）根据所给出的条件和通项公式，建立方程来确定指数，求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件（n为正整数，r为非负整数，n≥r）；（2）根据所求的指数，求所求解的项或项的系数. 【跟踪训练】 　若（1－2x）n的展开式中x3的系数为－160，则正整数n的值为（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 角度2　二项展开式中的特定项 【例3】　（链接教科书第84页例3）在二项式（x－）12的展开式中，求： （1）第4项；（2）常数项；（3）有理项. 通性通法 求二项展开式特定项的步骤 【跟踪训练】 1.二项式（2x2－）6的展开式的中间项是　　　　. 2.若（x－）6展开式的常数项为60，则常数a的值为　　　　. 1.在（－2）5的展开式中，x2的系数为（　　） A.－5 B.5 C.－10 D.10 2.S＝（x－1）4＋4（x－1）3＋6（x－1）2＋4x－3，则S＝（　　） A.x4 B.x4＋1 C.（x－2）4 D.x4＋4 3.若二项式展开式中的第5项是常数项，则自然数n的值为（　　） A.6 B.10 C.12 D.15 4.在（x－）8的展开式中： （1）求第3项； （2）求含项的系数. 提示：完成课后作业　第七章　7.4　7.4.1 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $