7.3 第2课时 组合数的性质及应用（教用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦组合数的性质及应用核心知识点，在组合数定义基础上，通过篮球比赛选队员情境抽象出性质1（C(n,m)=C(n,n-m)）和性质2（C(n,m)+C(n,m-1)=C(n+1,m)），构建从概念到性质再到应用的学习支架，系统梳理有限制条件组合问题的解决方法。 该资料以现实情境引入，引导学生用数学眼光观察问题，通过性质推导与例题解析（如“至少1名女运动员”的直接法与间接法）培养数学思维，结合分层练习强化数学语言表达。课中助力教师引导学生从具体到抽象，课后帮助学生通过练习查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

第2课时　组合数的性质及应用 假如我们年级将在月底进行一场篮球比赛.包括体育委员在内，班上篮球运动员有8人，按照篮球比赛规则，比赛时一个球队的上场队员是5人. 【问题】　可以形成多少种队员上场方案？又可以形成多少种队员不上场方案？这两种方案有什么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　组合数的性质 1.＝　　. 2.＝＋　　（n，m∈N*，并且m≤n）. 　　提醒：（1）性质1，体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想.两边下标相同，上标之和等于下标；（2）性质2，下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数. 1.若方程＝，则x＝（　　） A.2 B.3 C.4 D.2或3 解析：D　由方程＝和组合数性质可得，在两个组合数下标相同的情况下，当两个组合数上标和等于下标时，两个组合数相等，即x＋2＝5，x＝3；当两个组合数上标相同时，两个组合数相等，即x＝2.故x＝2或3. 2.计算：－＝120. 解析：－＝－＝－＝120. 3.计算＋＋＝126. 解析：原式＝＋＝＝＝＝126. 题型一｜组合数的性质及应用 【例1】　（链接教科书第81页习题10题）（1）＋＋＋…＋＝7 315； （2）已知－＝，则n＝14. 解析：（1）因为＝，所以＋＋＋…＋＝（＋）＋＋…＋＝（＋）＋＋…＋＝…＝＝＝7 315. （2）由－＝得＝＋，由组合数的性质，可得＝，故8＋7＝n＋1，解得n＝14. 通性通法 应用组合数性质解题的一般思路 （1）当中的m＞时，常利用组合数的性质1来进行转化，减少计算量； （2）性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明.应用时要注意公式的正用、逆用和变形用.正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形＝－，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用. 【跟踪训练】 　计算：（1）（＋）÷； （2）＋＋…＋. 解：（1）原式＝（＋）÷＝÷＝÷＝1÷＝. （2）法一　原式＝＋－＋－＋…＋－＝＝330. 法二　原式＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝…＝＋＝＝330. 题型二｜有限制条件的组合问题 【例2】　（链接教科书第76页例4）某运动队有男运动员6名，女运动员4名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员. 解：（1）第1步：选3名男运动员，有种选法；第2步：选2名女运动员，有种选法，故共有×＝120（种）选法. （2）法一（直接法）　“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男. 由分类计数原理知共有×＋×＋×＋×＝246（种）选法. 法二（间接法）　不考虑条件，从10人中任选5人，有种选法，其中全是男运动员的选法有种，故“至少有1名女运动员”的选法有－＝246（种）. 通性通法 有限制条件的组合问题分类 （1）“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数； （2）“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏. 【跟踪训练】 1.某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：①任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；②任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭.则每天午餐不同的搭配方法共有（　　） A.210种 B.420种 C.56种 D.22种 解析：A　由分类计数原理知，两类午餐的搭配方法之和即为所求，所以每天午餐的不同搭配方法共有＋＝210（种）. 2.甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法有（　　） A.27种 B.18种 C.36种 D.48种 解析：A　当甲选生物，乙不选生物时，甲、乙的选法有＝9（种）；当甲不选生物，乙随便选时，甲、乙的选法有＝18（种），则甲、乙总的选法共有9＋18＝27（种）. 1.一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这2个球同色的不同取法有（　　） A.27种 B.24种 C.21种 D.18种 解析：C　分两类：一类是2个白球有＝15（种）取法，另一类是2个黑球有＝6（种）取法，所以共有15＋6＝21（种）取法. 2.＋＝5 006. 解析：＋＝＋×1＝＋＝56＋4 950＝5 006. 3.某医院从10名医疗专家中抽调6名组成医疗小组到社区义诊，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家.问： （1）抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？ （2）至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？ 解：（1）首先从4名外科专家中任选2名，有种选法，再从除外科专家外的6名专家中选取4名，有种选法，所以共有＝90（种）抽调方法. （2）至多有2名外科专家的抽调方法有＋＋＝115（种）. 1.从2位女生，4位男生中选3人参加比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有（　　） A.12种 B.16种 C.20种 D.24种 解析：B　选3人分两种情况：若选1女2男，则有＝12（种）选法；若选2女1男，则有＝4（种）选法，根据分类计数原理可得，共有12＋4＝16（种）选法.故选B. 2.5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有（　　） A.种　　 B.种 C.58种　　 D.85种 解析：B　由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以只要选出5个不同的盒子即可.故共有种不同的放法. 3.方程＝的解为（　　） A.4或9　　 B.4 C.9　　 　 D.其他 解析：A　当x＝3x－8时，解得x＝4；当28－x＝3x－8时，解得x＝9. 4.＋＋＋＋…＋＝（　　） A. B. C. D. 解析：D　原式＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝…＝＋＝＝. 5.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有（　　） A.12种 B.18种 C.36种 D.54种 解析：B　先将1，2捆绑后放入信封中，有种放法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有（种）放法，所以共有＝18（种）放法. 6.〔多选〕在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（　　） A.若任意选科，选法总数为 B.若化学必选，选法总数为 C.若政治和地理至多选一门，选法总数为＋ D.若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为＋ 解析：ABC　对于A中，先从物理和历史中，任选1科，再从剩余的四科中任选2科，根据分步计数原理，可得选法总数为种，所以A正确；对于B中，先从物理、历史中选1门，有种选法，若化学必选，再从生物、政治、地理中再选1门，有种选法，由分步计数原理，可得选法共有种，所以B正确；对于C中，先从物理和历史中选1门，有种选法，若从政治和地理中只选1门，再从化学和生物中选1门，有种选法，若政治和地理都不选，则从化学和生物中选2门，只有1中选法，由分类计数原理，可得共有＋，所以C正确；对于D中，若物理必选，只有1种选法，若化学、生物只选1门，则在政治、地理中选1门，有种选法，若化学、生物都选，则只有1种选法，由分类计数原理，可得选法总数为＋1，所以D错误.故选A、B、C. 7.＋＋＋＋＋的值为32. 解析：法一　原式＝1＋5＋＋＋5＋1＝32. 法二　原式＝2（＋＋）＝2（＋）＝2×＝32. 8.现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有55种不同的选派方案（用数字作答）. 解析：根据题意，分两种情况讨论：①甲、乙两位同学只有一人入选，只需从剩余的6人中再选出3人，有＝40（种）选派方案；②甲、乙两位同学都没有入选，只需从剩余的6人中选出4人，有＝15（种）选派方案.则共有40＋15＝55（种）选派方案. 9.某人某天运动的总时长需要大于等于60分钟，现有如下表所示的五项运动可以选择，则共有23种运动组合方式. A运动 B运动 C运动 D运动 E运动 7点～8点 8点～9点 9点～10点 10点～11点 11点～12点 30分钟 20分钟 40分钟 30分钟 30分钟 解析：若使运动总时长大于等于60分钟，则至少要选择两项运动，并且选择两项运动的情况中，AB，DB，EB的组合方式是不符合题意的，选择三项、四项、五项运动均满足总时长大于等于60分钟，因此组合方式共有＋＋＋－3＝23（种）. 10.计算：（1）＋×； （2）－. 解：（1）原式＝＋×1＝＋＝35＋1 225＝1 260. （2）原式＝－＝1＋－＝1. 11.从10名大学毕业生中选3人担任村民委员会主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（　　） A.28 B.49 C.56 D.85 解析：B　依题意得，满足条件的不同选法的种数为＋＝49. 12.某书店有11种杂志，其中2元1本的有8种，1元1本的有3种.小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是266（用数字作答）. 解析：10元钱刚好用完有两种情况：5种2元1本的；4种2元1本的和2种1元1本的.分两类完成： 第1类，买5种2元1本的，有种不同买法；第2类，买4种2元1本的和2种1元1本的，有×种不同买法.根据分类计数原理，可得不同买法的种数是＋×＝266. 13.已知＝，则＋＋＋＋＝120. 解析：∵＝，∴m＝11，∴＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝＝＝120. 14.课外活动小组共有13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定1名队长，现从中选5人参加某项活动，依下列条件，各有多少种不同的选法？ （1）只有1名女生； （2）2名队长当选； （3）至少有1名队长当选； （4）至多有2名女生当选. 解：（1）1名女生，4名男生，故共有＝350种不同的选法. （2）将2名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有＝165种不同的选法. （3）法一（直接法）　至少有1名队长含有两类：有1名队长和2名队长，故共有＋＝825种不同的选法. 法二（间接法）　－＝825. （4）至多有2名女生含有3类：有2名女生，只有1名女生，没有女生，故共有＋＋＝966种不同的选法. 15.规定＝，其中x∈R，m∈N*且＝1.这是组合数（n，m∈N*且m≤n）的一种推广. （1）求的值； （2）组合数的两个性质为：①＝；②＋＝.问：是否都能推广到（x∈R，m∈N*）？若能推广，则写出推广的形式，并给出证明，若不能，请说明理由. 解：（1）＝ ＝－＝－11 628. （2）性质①不能推广，例如：当x＝时有定义，但C无意义. 性质②能推广，其推广形式为＋＝，x∈R，m∈N*. 证明：当m＝1时，有＋＝x＋1＝成立. 当m≥2时，＋ ＝＋ ＝（＋1） ＝· ＝＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $