6.3.4 空间距离的计算（教用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦空间距离计算核心知识点，系统梳理点到直线、点到平面、平行直线及平行平面间距离的向量求解方法，构建从距离定义到向量公式推导再到综合应用的完整学习支架，衔接空间向量运算与立体几何度量问题。 该资料以问题驱动引导探究，通过正方体、四棱锥等实例培养直观想象，向量法步骤化教学提升数学运算能力，题型分层设计兼顾基础与综合。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过跟踪训练查漏补缺，深化对空间度量问题的理解与应用。

6.3.4　空间距离的计算 课标要求 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题（数学抽象、直观想象）. 2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用（直观想象、数学运算）. 　　几何学中，经常需要计算两个图形间的距离.一个图形内任一点与另一个图形内任一点的距离中的最小值，通常叫作这两个图形的距离.空间中常见的距离有：两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、相互平行的直线之间的距离、相互平行的平面之间的距离等.计算距离是空间度量最基本的问题. 【问题】　如何用向量方法求解这些距离呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　点P到平面α的距离 如图，P是平面α外一点，PO⊥α，垂足为O，A为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，则点P到平面α的距离d＝　　. 　　提醒：点P到平面α的距离的实质就是平面α的单位法向量与从该点出发的任一条斜线段AP对应的向量的数量积的绝对值. 知识点二　点P到直线l的距离 1.如图，P是直线l外一点，A是l上任意一点，在平面中，取一个与直线l垂直的向量n，则·n＝｜｜｜n｜·cos θ，其中θ＝＜，n＞，从而点P到直线l的距离d＝　　. 2.如图，P是直线l外一点，PO⊥l，O为垂足，A是l上任意一点，设e是直线l的方向向量.记φ＝＜，e＞，则cos φ＝，故点P到直线l的距离d＝　｜｜ sin φ　.或计算在l上的投影向量的长度，再由勾股定理求得d＝＝. 【想一想】 如何求两平行线l1与l2的距离？ 提示：l1上任一点P到l2的距离即为l1与l2的距离. 1.已知平面α的一个法向量n＝（－2，－2，1），点A（－1，3，0）在α内，则P（－2，1，4）到α的距离为（　　） A.10 B.3 C. D. 解析：D　∵＝（－1，－2，4），∴P（－2，1，4）到α的距离为＝＝. 2.已知直线l过定点A（2，3，1），且n＝（0，1，1）为其一个方向向量，则点P（4，3，2）到直线l的距离为（　　） A.　　　 B. C.　　　 D. 解析：A　∵＝（2，0，1），∴cos φ＝＝＝，∴sin φ＝＝，∴d＝｜｜sin φ＝×＝. 题型一｜点到平面的距离 【例1】　（链接教科书第40页例10）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离. 解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（2，0，0），E（0，2，1），F（1，0，2），G（2，1，0），所以＝（0，1，0），＝（－2，1，1），＝（－1，－1，2）. 设n＝（x，y，z）是平面EFG的法向量，点A到平面EFG的距离为d， 则所以 所以令z＝1，此时n＝（1，1，1）， 所以d＝＝＝， 即点A到平面EFG的距离为. 通性通法 求点到平面的距离的方法 （1）作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离； （2）在三棱锥中用等体积法求解； （3）向量法：d＝（n为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段）. 【跟踪训练】 　在三棱锥B-ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离. 解：如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，OC所在直线为x轴、y轴，过O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系， 则A（－，0，0），B（，0，），C（0，，0），D（，0，0）， ∴＝（，，0），＝（，0，），＝（－，，0）， 设n＝（x，y，z）为平面ABC的一个法向量， 则 ∴y＝－x，z＝－x，可取n＝（－，1，3）， 代入d＝，得d＝＝， 即点D到平面ABC的距离是. 题型二｜点到直线的距离 【例2】　如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为（　　） A.2　　　　　 　B.2 C. D.4 解析：A　法一（向量法）　如图，以B为坐标原点，BC，BA，BP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，4，0），P（0，0，4），故＝（2，0，－4），＝（0，4，－4），所以在上的投影向量的长度d＝＝＝2，故点C到直线PA的距离h＝＝＝2，故选A. 法二（几何法）　如图，取PA的中点M，连接BM，CM，因为PB⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PB⊥BC，又因为AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA，因为M是PA的中点，PB＝AB，所以BM⊥PA，又BC⊥PA，BM∩BC＝B，BM，BC⊂平面BCM，所以PA⊥平面BCM，又CM⊂平面BCM，所以CM⊥PA，即CM为点C到直线PA的距离.在等腰直角三角形PAB中，BM＝PB＝2，在Rt△BCM中，CM＝＝＝2.故点C到直线PA的距离为2.故选A. 通性通法 用向量法求点到直线距离的步骤 （1）建立适当的空间直角坐标系； （2）求所求点P与直线上某一点A所构成的向量； （3）若已知直线的方向向量e，则利用公式d＝｜｜·sin＜，e＞求解；若已知直线的法向量n，则利用公式d＝求解. 【跟踪训练】 如图，P为矩形ABCD所在平面外的一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离. 解：如图，分别以AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（3，0，0），D（0，4，0）， ∴＝（3，0，－1），＝（－3，4，0）. 设＜，＞＝φ， ∴cos φ＝＝－， ∴sin φ＝， ∴点P到BD的距离d＝｜｜·sin φ＝. 题型三｜直线到平面、平面与平面的距离 【例3】　（链接教科书第44页练习4题）如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离. 解：∵A1B1∥AB，A1B1⊄平面ABE，AB⊂平面ABE， ∴A1B1∥平面ABE， ∴A1B1到平面ABE的距离就是点A1到平面ABE的距离. 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz， 则A1（1，0，2），A（1，0，0），E（0，，1），C（0，，0）， 过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝，∴B（1，2，0）， ∴＝（0，2，0），＝（－1，－，1）. 设平面ABE的法向量为n＝（x，y，z）， 则即 ∴y＝0，x＝z，不妨取n＝（1，0，1）. ∵＝（0，0，2）， ∴点A1到平面ABE的距离d＝＝＝. ∴直线A1B1与平面ABE的距离为. 通性通法 1.直线到平面、平面到平面的距离都是在它们相互平行条件下定义的，否则不谈距离问题. 2.线面距、面面距均可转化为点到平面的距离问题. 3.用向量方法研究空间距离问题的一般步骤： 第一步，确定法向量； 第二步，选择参考向量； 第三步，确定参考向量到法向量的投影向量； 第四步，求投影向量的长度. 【跟踪训练】 　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离. 解：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则D（0，0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0），D1（0，0，1），＝（0，1，－1），＝（－1，0，－1），＝（－1，0，0）. 设平面A1BD的法向量为n＝（x，y，z）. 则即 令z＝1，得y＝1，x＝－1，所以n＝（－1，1，1）. 所以点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝. 由题意可知平面A1BD∥平面B1CD1，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为. 1.两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A（2，1，1），且两平面的一个法向量n＝（－1，0，1），则两平面间的距离是（　　） A. 　　B. C. 　　D.3 解析：B　∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A（2，1，1），＝（2，1，1），且两平面的一个法向量n＝（－1，0，1），∴两平面间的距离d＝＝＝.故选B. 2.已知Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝3，则点P到AB的距离是. 解析：以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A（4，0，0），B（0，3，0），P，∴＝（－4，3，0），＝（－4，0，3），记φ＝＜，＞，∴cos φ＝＝＝，∴sin φ＝＝＝，∴点P到AB的距离为d＝｜｜sin φ＝5×＝. 3.如图所示，在直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，求点D到平面ACE的距离. 解：取AB的中点O，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，－1，0），E（1，0，0），D（0，－1，2），C（0，1，2），从而＝（0，0，2），＝（1，1，0），＝（0，2，2）. 设平面ACE的法向量为n＝（x，y，z）， 则即令y＝1，则x＝－1，z＝－1， 所以n＝（－1，1，－1）为平面ACE的一个法向量.故点D到平面ACE的距离d＝＝＝. 1.若O为坐标原点，＝（1，1，－2），＝（3，2，8），＝（0，1，0），则线段AB的中点P到点C的距离为（　　） A.　　B.2　　C.　　D. 解析：D　∵＝（＋）＝（4，3，6）＝，＝（0，1，0），∴＝－＝，∴｜｜＝＝. 2.在空间直角坐标系O-xyz中，已知点D（2，1，0）和向量m＝（4，1，2），且m⊥平面DEF，则点O到平面DEF的距离为（　　） A. B. C. D. 解析：B　因为D（2，1，0），所以＝（2，1，0），又向量m＝（4，1，2），m⊥平面DEF，所以m＝（4，1，2）是平面DEF的一个法向量，所以点O到平面DEF的距离为d＝＝＝＝. 3.已知棱长为1的正方体ABCD-EFGH，若点P在正方体内部且满足＝＋＋，则点P到直线AB的距离为（　　） A. B. C. D. 解析：A　建立如图所示的空间直角坐标系，则＝（1，0，0）＋（0，1，0）＋（0，0，1）＝.又＝（1，0，0），记φ＝＜，＞，∴cos φ＝＝＝，∴sin φ＝＝，∴d＝｜｜·sin φ＝. 4.已知△ABC的顶点分别为A（1，－1，2），B（5，－6，2），C（1，3，－1），则AC边上的高BD＝（　　） A.25 B.5 C. D.1 解析：B　法一　设＝λ，∵＝（0，4，－3），∴＝（0，4λ，－3λ），又∵＝（4，－5，0），∴＝－＝（－4，4λ＋5，－3λ）.由·＝0，得4（4λ＋5）＋9λ＝0，解得λ＝－，∴＝（－4，，），∴BD＝｜｜＝5.故选B. 法二　＝（0，4，－3），＝（－4，5，0），故点B到边AC的距离即AC边上的高BD＝＝＝5. 5.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是（　　） A.5 B.8 C. D. 解析：C　以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，12，0），D1（0，0，5）.设AD＝x（x＞0），则B（x，12，0），B1（x，12，5）.设平面A1BCD1的法向量为n＝（a，b，c），由n⊥，n⊥，得n·＝（a，b，c）·（－x，0，0）＝－ax＝0，n·＝（a，b，c）·（0，－12，5）＝－12b＋5c＝0，所以a＝0，b＝c，所以可取n＝（0，5，12）.又＝（0，0，－5），所以点B1到平面A1BCD1的距离为＝.因为B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离为. 6.〔多选〕如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（　　） A.＝（1，0，1） B.平面OBB1的一个法向量为n＝（0，1，－1） C.A1C⊥平面OBB1 D.点A到平面OBB1的距离为 解析：BCD　由题意得O（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，－1，0），A1（0，0，1），B1（1，1，1），所以＝（1，1，1），故A不正确；＝（1，0，0），设平面OBB1的法向量为n＝（x，y，z），则令y＝1，得n＝（0，1，－1），故B正确；＝（0，1，－1）＝n，所以A1C⊥平面OBB1，故C正确；连接OA（图略），＝（0，－1，0），则点A到平面OBB1的距离d＝＝＝，故D正确.故选B、C、D. 7.已知平面α的一个法向量为n＝（－2，－2，1），点A（x，3，0）在平面α内，若点P（－2，1，4）到平面α的距离d＝，则x的值为－1或－11. 解析：连接PA（图略），由题意知＝（x＋2，2，－4），∴d＝＝，即＝，解得x＝－1或x＝－11. 8.在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，则O1到直线AC的距离为. 解析：连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系.则A（2，0，0），O1（0，0，2），C（0，3，0），∴＝（－2，0，2），＝（－2，3，0），记φ＝＜，＞，∴cos φ＝＝＝，∴sin φ＝＝，∴d＝｜｜·sin φ＝2×＝. 9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为a. 解析：由正方体的性质，易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（a，0，0），B（a，a，0），A1（a，0，a），C（0，a，0），＝（a，－a，a），＝（0，－a，0），连接A1C，则A1C⊥B1D1，A1C⊥AB1，所以A1C⊥平面AB1D1，得平面AB1D1的一个法向量为n＝（1，－1，1），则两平面间的距离d＝＝＝a. 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，E为AD的中点，底面ABCD是边长为2的正方形，且二面角P-BE-C的余弦值为. （1）求PD的长度； （2）求点C分别到直线PB和平面PEB的距离. 解：（1）如图所示，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，可得D（0，0，0），B（2，2，0），E（1，0，0）. 设PD＝a，则P（0，0，a）.所以＝（2，2，－a），＝（1，0，－a）. 易知平面CBE的一个法向量为n1＝（0，0，1）. 设平面PBE的法向量为n2＝（x，y，z）， 则有即 取z＝1，则x＝a，y＝－， 即n2＝（ a，－，1）. 由二面角P-BE-C的余弦值为cos＜n1，n2＞＝＝， 解得a＝2， 故PD的长度为2. （2）由（1）得，n2＝（2，－1，1），＝（2，0，0），＝（2，2，－2）， 所以点C到直线PB的距离为＝＝， 点C到平面PEB的距离为＝＝. 11.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为（　　） A. B. C. D.1 解析：A　建立如图所示的空间直角坐标系，则A（，，0），B（0，1，0），B1（0，1，1），C1（0，0，1），则＝（，，－1），＝（0，1，0），＝（0，1，－1）.设平面ABC1的一个法向量为n＝（x，y，1），则有解得n＝（，1，1），则所求距离为＝＝. 12.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为. 解析：如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz，则A（4，0，0），M（2，0，4），D（0，0，0），B（4，4，0），E（0，2，4），F（2，4，4），N（4，2，4）. ∴＝（2，2，0），＝（2，2，0），＝（－2，0，4），＝（－2，0，4），∴＝，＝，∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M.∴平面AMN∥平面EFBD.设n＝（x，y，z）是平面AMN的法向量，则解得取z＝1，则x＝2，y＝－2，得n＝（2，－2，1）.平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离.∵＝（0，4，0），∴平面AMN与平面EFBD间的距离d＝＝. 13.如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点. （1）求点D到平面PEF的距离； （2）求直线AC到平面PEF的距离. 解：（1）建立以D为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示. 则P（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），E，F，D（0，0，0）. 所以＝， ＝，＝， 设平面PEF的法向量n＝（x，y，z）， 则即 取x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝（2，2，3）， 所以点D到平面PEF的距离 d＝＝＝. （2）因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC. 又因为AC⊄平面PEF，EF⊂平面PEF， 所以AC∥平面PEF. 因为＝，所以点A到平面PEF的距离d＝＝＝， 所以直线AC到平面PEF的距离为. 14.如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，∠HDC＝∠FAB＝90°，求四棱锥P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距离. 解：该几何体的直观图如图所示，分别取AD，BC的中点O，M，连接OM，PM，PO， ∵PO＝1，OM＝2，PM＝＝＝， ∴OP2＋OM2＝PM2，∴OP⊥OM， 又∵PO⊥AD，∴由线面垂直的判定定理得出PO⊥平面ABCD， 以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系. 则A（1，0，0），B（1，2，0），C（－1，2，0），D（－1，0，0），P（0，0，1）， 设四棱锥P-ABCD外接球的球心为N（0，1，a）， ∵PN＝NA，∴1＋（1－a）2＝1＋1＋a2，解得a＝0. 设平面PBC的法向量为n＝（x，y，z）， ＝（1，2，－1），＝（－1，2，－1），＝（0，－1，1）， ⇒ 取z＝2，则n＝（0，1，2）， 则四棱锥P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距离d＝＝＝＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $