6.3.2 第1课时 空间向量与平行关系（教用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦空间向量与平行关系核心知识点，系统梳理利用方向向量、法向量表示线线、线面、面面平行的判定方法，搭建从向量工具到空间几何证明的学习支架，为后续空间垂直、空间角等内容学习奠定基础。 该资料以旗杆与平台等生活实例引入问题，培养直观想象素养，通过表格清晰呈现向量关系，结合正方体、长方体模型的例题与跟踪训练，强化逻辑推理与数学运算能力。课中助力教师高效授课，课后分层练习题帮助学生巩固知识，查漏补缺，提升空间几何证明能力。

第1课时　空间向量与平行关系 课标要求 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系（直观想象、逻辑推理）. 2.能用向量方法证明直线、平面的平行与垂直关系（数学运算、逻辑推理）. 　　观察图片，旗杆底部的平台和地面平行、旗杆所在的直线和护旗战士所在的直线平行. 【问题】　旗杆所在直线的方向向量和护旗战士所在直线的方向向量有什么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　空间线、面关系的向量表示 　设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则 平行 垂直 l1与l2 e1∥e2 e1⊥e2 l1与α1 e1⊥n1 e1∥n1 α1与α2 n1∥n2 n1⊥n2 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两条直线的方向向量垂直，则这两条直线垂直.（　√　） （2）直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直.（　√　） （3）若两个平面平行，则这两个平面的法向量一定平行.（　√　） 2.若两个不重合平面α，β的法向量分别为u＝（1，2，－1），v＝（－3，－6，3），则（　　） A.α∥β B.α⊥β C.α，β相交但不垂直 D.以上均不正确 解析：A　∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β. 3.已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为a＝（3λ＋1，0，2λ），b＝（1，λ－1，λ），若l1⊥l2，则λ的值为－1或－. 解析：由题意知，a⊥b，∴3λ＋1＋2λ2＝0，∴λ＝－1或－. 4.已知直线l的一个方向向量为u＝（2，0，－1），平面α的一个法向量为v＝（－2，1，－4），则l与α的位置关系为l∥α或l⊂α. 解析：∵u·v＝（2，0，－1）·（－2，1，－4）＝－4＋0＋4＝0，∴u⊥v，∴l∥α或l⊂α. 第1课时　空间向量与平行关系 题型一｜直线和直线平行 【例1】　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS. 证明：法一　设＝a，＝b，＝c， 则＝＋＋＝c－a＋b， ＝＋＋＝b－a＋c， ∴＝，∴∥， 又∵R∉MN， ∴MN∥RS. 法二　如图所示，建立空间直角坐标系A-xyz，则根据题意得M，N（0，2，2），R（3，2，0），S. ∴＝，＝， ∴＝. ∴∥.∵M∉RS，∴MN∥RS. 通性通法 证明直线平行的两种思路 【跟踪训练】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点.求证：四边形AEC1F是平行四边形. 证明：以点D为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A（1，0，0），E， C1（0，1，1），F， ∴＝，＝， ＝，＝， ∴＝，＝，∴∥，∥， 又∵F∉AE，F∉EC1， ∴AE∥FC1，EC1∥AF， ∴四边形AEC1F是平行四边形. 题型二｜直线和平面平行 【例2】　（链接教科书第33页例5）（1）用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 已知：直线AB∥直线CD，AB⊄平面α，CD⊂平面α. 求证：AB∥α. 证明：设平面α的法向量为n，则·n＝0. 因为∥，所以存在λ∈R，使＝λ， 则·n＝λ·n＝0，所以AB∥α. （2）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点.求证：MN∥平面A1BD. 证明：不妨设正方体的棱长为1，以{，，}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则可求得M（0，1，），N，D（0，0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0）. 于是＝，＝（1，0，1），＝（1，1，0）. 设平面A1BD的法向量为n＝（x，y，z）， 则得 取x＝1，得y＝－1，z＝－1，∴n＝（1，－1，－1）. ∵·n＝·（1，－1，－1）＝0，∴⊥n. 又∵MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD. 通性通法 利用空间向量证明线面平行的三种方法 （1）证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示； （2）证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证； （3）先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，最后说明所证直线不在该平面内. 【跟踪训练】 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，且点M和点N分别为B1C和D1D的中点.求证：MN∥平面ABCD. 证明：如图，以A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，依题意可得A（0，0，0），C（2，0，0），D（1，－2，0），B1（0，1，2），D1（1，－2，2）. 因为M，N分别为B1C，D1D的中点， 所以M（1，，1），N（1，－2，1）. 依题意，可得n＝（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量， 又＝（0，－，0），则·n＝0， 又直线MN⊄平面ABCD，所以MN∥平面ABCD. 题型三｜平面和平面平行 【例3】　证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 已知：如图，a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α. 求证：α∥β. 证明：如题图，取平面α的法向量n，直线a，b的方向向量u，v. 因为a∥α，b∥α，所以n·u＝0，n·v＝0. 因为a⊂β，b⊂β，a∩b＝P， 所以对任意点Q∈β，存在x，y∈R，使得＝xu＋yv. 从而n·＝n·（xu＋yv）＝xn·u＋yn·v＝0. 所以向量n也是平面β的法向量.故α∥β. 通性通法 证明面面平行的方法 （1）利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行； （2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明. 【跟踪训练】 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点.试用向量方法证明：平面AA1D1D∥平面FCC1. 证明：因为AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中点，所以BF＝BC＝CF，所以△BCF为正三角形. 因为ABCD为等腰梯形，AB＝4，BC＝CD＝2，所以∠BAD＝∠ABC＝60°， 取AF的中点M，连接DM， 则DM⊥AB，所以DM⊥CD. 以D为原点，DM所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），D1（0，0，2），A（，－1，0），F（，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，2）， 所以＝（0，0，2），＝（，－1，0），＝（，－1，0），＝（0，0，2），所以∥，∥， 所以DD1∥CC1，DA∥CF， 又DD1∩DA＝D，CC1∩CF＝C，DD1，DA⊂平面AA1D1D，CC1，CF⊂平面FCC1， 所以平面AA1D1D∥平面FCC1. 1.已知向量a＝（2，4，5），b＝（3，x，y）分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则（　　） A.x＝6，y＝15　　　　　B.x＝3，y＝ C.x＝3，y＝15 D.x＝6，y＝ 解析：D　由题意得，＝＝，∴x＝6，y＝. 2.已知l∥α，且l的方向向量为a＝（2，m，1），平面α的法向量为n＝，则m＝－8. 解析：∵l∥α，∴a⊥n，即a·n＝2＋m＋2＝0，∴m＝－8. 3.已知平面α内的三点A（0，0，1），B（0，1，0），C（1，0，0），平面β的一个法向量为n＝（－1，－1，－1），且β与α不重合，则β与α的位置关系是α∥β. 解析：∵＝（0，1，－1），＝（1，0，－1），n·＝（－1，－1，－1）·（0，1，－1）＝－1×0＋（－1）×1＋（－1）×（－1）＝0，n·＝（－1，－1，－1）·（1，0，－1）＝－1×1＋0＋（－1）×（－1）＝0，∴n⊥，n⊥.∴n也为α的一个法向量，又α与β不重合，∴α∥β. 4.如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点.直线AD上是否存在点F，使得AE∥CF？ 解：不存在，理由如下. ＝＋，＝＋， 因为，不共线，所以不存在实数λ使＋＝λ（－＋），即不存在实数λ，使＝λ，所以，不共线， 故直线AD上不存在点F，使得AE∥CF. 1.在空间直角坐标系中，已知A（1，2，3），B（－2，－1，6），C（3，2，1），D（4，3，0），则直线AB与CD的位置关系是（　　） A.垂直 B.平行 C.异面 D.相交但不垂直 解析：B　由题意得，＝（－3，－3，3），＝（1，1，－1），∴＝－3，∴与共线，又AB与CD没有公共点.∴AB∥CD. 2.已知平面α的一个法向量为（1，2，－2），平面β的一个法向量为（－2，－4，k），若α∥β，则k＝（　　） A.2 B.－4 C.4 D.－2 解析：C　因为α∥β，所以＝＝，所以k＝4. 3.已知a为直线l的一个方向向量，，为平面α内两个向量，则下列说法正确的是（　　） A.若a＝，则l∥α B.若a＝k（k∈R），则l∥α C.若a＝p＋λ（p，λ∈R），则l∥α D.以上均不一定推出l∥α 解析：D　选项A、B、C都能推出l∥α或l⊂α，但不能确定一定是l∥α. 4.已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则“m·n＝0”是“l∥α”的（　　） A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件 解析：D　若m·n＝0，则l∥α或l⊂α；另一方面，若l∥α，则m·n＝0.因此，“m·n＝0”是“l∥α”的必要不充分条件.故选D. 5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，＝λ，且EF∥平面ACD1，则实数λ的值为（　　） A.　　　　B. C.　　　 D. 解析：B　建立如图所示的空间直角坐标系，设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则A（a，0，0），C（0，b，0），D1（0，0，c），E（ a，b，），B1（a，b，c），所以＝（－a，b，0），＝（－a，0，c），＝（－a，－b，0）.因为＝λ，所以＝（－λa，－λb，0），所以F（（1－λ）a，（1－λ）b，c），所以＝（ －λa，－λb，）.设平面ACD1的法向量为n＝（x，y，z），则当x＝bc时，y＝ac，z＝ab，则n＝（bc，ac，ab）.因为EF∥平面ACD1，所以⊥n，所以·n＝－λabc－λabc＋＝0，解得λ＝. 6.〔多选〕已知空间中两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则下列说法中正确的是（　　） A.若直线l的一个方向向量为a＝（1，－1，2），直线m的一个方向向量为b＝（2，－2，4），则l∥m B.若直线l的方向向量为a＝（0，1，－1），平面α的法向量为n＝（1，－1，－1），则l∥α C.若平面α，β的法向量分别为n1＝（0，1，3），n2＝（1，0，2），则α∥β D.若平面α经过三个点A（1，0，－1），B（0，－1，0），C（－1，2，0），向量n＝（1，u，t）是平面α的一个法向量，则u＋t＝ 解析：AD　对于A，b＝2a，则a∥b，∴l∥m，故A中说法正确；对于B，a·n＝0×1＋1×（－1）＋（－1）×（－1）＝0，则a⊥n，∴l∥α或l⊂α，故B中说法错误；对于C，若n1＝λn2（λ≠0），则（0，1，3）＝λ（1，0，2），得此方程组无解，∴α∥β不成立，故C中说法错误；对于D，＝（－1，－1，1），＝（－1，3，0），∵n＝（1，u，t）是平面α的法向量，∴解得∴u＋t＝，故D中说法正确.故选A、D. 7.直线l的方向向量s＝（－1，1，1），平面α的法向量为n＝（2，x2＋x，－x），若直线l∥平面α，则实数x的值为±. 解析：∵直线l的方向向量s＝（－1，1，1），平面α的法向量为n＝（2，x2＋x，－x），直线l∥平面α，∴x2－2＝0，解得x＝±. 8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点，则OP与BD1的位置关系是平行. 解析：如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，设正方体的棱长为1，则O（，，0），P（0，0，），B（1，1，0），D1（0，0，1）.则＝（－，－，），＝（－1，－1，1），所以＝，∥，所以OP∥BD1. 9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，M，N分别为A1B，AC的中点.求证：MN∥B1C. 证明：如图，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B（2，2，0），B1（2，2，2），M（2，1，1），N（1，1，0），所以＝（－1，0，－1），＝（－2，0，－2）.所以＝2.所以∥，所以MN∥B1C. 10.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1. 证明：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系. 设正三棱柱的底面边长为a（a＞0），侧棱长为b（b＞0），则A（0，0，0），B（a，，0）， B1（a，，b），C1（0，a，b），D（0，，0）， ∴＝（a，，b），＝（－a，0，0）， ＝（0，，b）. 设平面DBC1的法向量为n＝（x，y，z）， 则∴ 不妨令y＝2b，则n＝（0，2b，－a）. 由于·n＝ab－ab＝0，因此⊥n. 又AB1⊄平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1. 11.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，以CD，CB，CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，若AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为（　　） A.（1，1，1） B. C. D. 解析：C　由已知得A（，，0），B（0，，0），D（，0，0），E（0，0，1）.设M（x，x，1），则＝（x－，x－，1），＝（，－，0），＝（0，－，1）.设平面BDE的一个法向量为n＝（a，b，c），则即所以取b＝1，则n＝（1，1，）.又AM∥平面BDE，所以n·＝0，即2（x－）＋＝0，得x＝，所以M.故选C. 12.〔多选〕已知四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝1，E是PB的中点，F是PC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法中正确的是（　　） A.平面ADE的一个法向量是（0，－1，1） B.直线AE∥平面PCD C.直线EF∥平面PAD D.直线DF∥平面PAB 解析：AC　由题图得D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0，1），E（，，），F（0，，），所以＝（1，0，0），＝（，，），设平面ADE的法向量为n＝（x，y，z），则令z＝1，得y＝－1，x＝0，所以n＝（0，－1，1），故A正确；因为PD⊥AD，AD⊥CD，PD∩CD＝D，又PD，CD⊂平面PCD，所以AD⊥平面PCD，所以平面PCD的一个法向量为＝（1，0，0）.又因为＝（－，，），·＝－≠0，所以与不垂直，即AE与平面PCD不平行，故B不正确；易知平面PAD的一个法向量为＝（0，1，0），又＝（－，0，0），·＝0，所以EF⊥DC，又EF⊄平面PAD，所以直线EF∥平面PAD，故C正确；设平面PAB的法向量为m＝（x1，y1，z1），又＝（0，1，0），＝（1，0，－1），由令x1＝1，得m＝（1，0，1），又＝（0，，），所以·m＝≠0，所以直线DF与平面PAB不平行，故D不正确.故选A、C. 13.已知直线l的一个方向向量为a＝（1，－1，2），平面α的一个法向量为b＝（x，0，z）.若l∥α，｜b｜＝2｜a｜，则b＝（，0，－）或（－，0，）. 解析：因为l∥α，所以x＋2z＝0，又因为｜b｜＝2｜a｜，所以x2＋z2＝4（1＋1＋4）＝24，解得或 14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证： （1）FC1∥平面ADE； （2）平面ADE∥平面B1C1F. 证明：如图所示建立空间直角坐标系D-xyz，则有D（0，0，0），A（2，0，0），C1（0，2，2），E（2，2，1），F（0，0，1），B1（2，2，2）. 所以＝（0，2，1），＝（2，0，0），＝（0，2，1），＝（2，0，0）. （1）设n1＝（x1，y1，z1）是平面ADE的一个法向量，则n1⊥，n1⊥， 即得 令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝（0，－1，2）. 因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1. 又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE. （2）设n2＝（x2，y2，z2）是平面B1C1F的一个法向量. 由n2⊥，n2⊥，得 得 令z2＝2，得y2＝－1. 所以n2＝（0，－1，2），因为n1＝n2， 所以平面ADE∥平面B1C1F. 15.四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点.若SD⊥平面PAC，问侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，请说明理由. 解：连接BD，设AC交BD于点O，连接SO，由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示. 设底面边长为a，则OD＝OC＝OB＝a，SO＝a，于是S， B，D，C（0，a，0）， 则＝，＝， ＝. 假设在侧棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC. 由题意知是平面PAC的一个法向量， 设＝t，则＝＋＝＋t＝. 由·＝0，得－＋a2t＝0，解得t＝. 即当SE∶EC＝2∶1时，⊥， 又BE⊄平面PAC，所以BE∥平面PAC. 故侧棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC，且SE∶EC＝2∶1. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $