第6章 6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（苏教版2019）

6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量 ［学习目标］　理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量． 导语 我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素．因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示直线和平面．本节我们就来研究如何用空间向量表示空间中的直线和平面． 一、直线的方向向量 知识梳理 把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫作直线l的方向向量． 注意点： (1) 空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． 例1　(1)已知直线l的一个方向向量为m=(2，-1，3)，且直线 l 过 A(0，y，3)和B(-1，2，z)两点，则y-z等于 (　　) A．0　B．1　C．　D．3 答案　A 解析　∵A(0，y，3)和B(-1，2，z)， ∴=(-1，2-y，z-3)， ∵直线l的一个方向向量为m=(2，-1，3)， 故设=km． ∴解得 ∴y-z=0． (2)在如图所示的坐标系中，ABCD-A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为　　　，直线 BC1 的一个方向向量为　　　　．  答案　(0，0，1)　 (0，1，1)(答案不唯一) 解析　因为 DD1∥AA1， =(0，0，1)， 故直线 DD1 的一个方向向量为(0，0，1)； 因为BC1∥AD1， =(0，1，1)， 故直线 BC1 的一个方向向量为(0，1，1)． 反思感悟　理解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． (2)直线的方向向量不唯一． 跟踪训练1　(多选)若M(1，0，-1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是 (　　) A.(2，2，6) B.(1，1，3) C.(3，1，1) D.(-3，0，1) 答案　AB 解析　∵M，N在直线l上，又=(1，1，3)， 故向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直线l的一个方向向量． 二、平面的法向量 知识梳理 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α，此时，我们把向量n叫作平面α的法向量． 注意点： (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们是共线向量． 例2　(课本例1)　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：是平面ACD1的法向量. 证明　不妨设正方体的棱长为1，以{，，}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，所以=(1，1，1)，=(-1，1，0)，=(-1，0，1). 因为·=1×(-1)+1×1+1×0=0， 所以⊥.同理⊥. 又因为AC∩AD1=A， 所以⊥平面ACD1， 从而是平面ACD1的法向量. 例2　如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，试建立适当的坐标系． (1)求平面ABCD的一个法向量； (2)求平面SAB的一个法向量； (3)求平面SCD的一个法向量． 解　以｛，，｝为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，S(0，0，1)． (1)∵SA⊥平面ABCD， ∴=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量． (2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA=A，AB， SA⊂平面SAB，∴AD⊥平面SAB， ∴=是平面SAB的一个法向量． (3)在平面SCD中，=，=(1，1，-1)． 设平面SCD的法向量是n=(x，y，z)， 则n⊥，n⊥， ∴ 得方程组∴ 令y=-1，得x=2，z=1，∴n=(2，-1，1)． ∴n=(2，-1，1)是平面SCD的一个法向量． (答案不唯一) 反思感悟　求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n=(x，y，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线的向量，． (3)列方程组：由列出方程组． (4)解方程组： (5)赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 跟踪训练2　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面BDD1B1的一个法向量； (2)平面BDEF的一个法向量． 解　设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2， 则D(0，0，0)，B(2，2，0)，A(2，0，0)， C(0，2，0)，E(1，0，2)． (1)连接AC(图略)，∵AC⊥平面BDD1B1， ∴=(-2，2，0)为平面BDD1B1的一个法向量． (2)易得=(2，2，0)，=(1，0，2)． 设平面BDEF的一个法向量为n=(x，y，z)． 则 ∴∴ 令x=2，得y=-2，z=-1． ∴n=(2，-2，-1)即为平面BDEF的一个法向量．(答案不唯一) 三、平面方程的表示 知识梳理 1．在空间直角坐标系中，平面可以用关于x，y，z的三元一次方程来表示． 2．设平面α经过点P(x0，y0，z0)，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则平面α的法向量为n=(A，B，C)的平面方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0． 例3　(1)在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为n=(-1，-2，1)的平面的方程为 (　　) A.x+2y-z-2=0 B.x-2y-z-2=0 C.x+2y+z-2=0 D.x+2y+z+2=0 答案　A 解析　在空间中任取一点P(x，y，z)， ∵平面法向量为n=(-1，-2，1)， ∴-(x-1)-2×(y-2)+1×(z-3)=0， ∴法向量为n=(-1，-2，1)的平面方程为x+2y-z-2=0． (2)在空间直角坐标系中，已知点A(2，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，4)，试求出经过A，B，C三点的平面的方程． 解　设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0， 将点A(2，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，4)分别代入， 得 ∴2A=3B=4C， ∴取A=6，得B=4，C=3，D=-12， ∴经过A，B，C三点的平面的方程为 6x+4y+3z-12=0． 反思感悟　求平面方程的两种方法 (1)法向量法：利用法向量与平面内的任意向量垂直，即n·=0求解，其中n为平面的法向量，为平面内的任意向量． (2)待定系数法：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0，然后代入相关点解方程即可． 跟踪训练3　已知点A(1，2，3)，B(1，-1，-2)，C(-1，0，0)． (1)写出直线BC的一个方向向量； (2)设平面α经过点A，且是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，试写出x，y，z满足的关系式． 解　(1)由题意知=(-1-1，0-(-1)，0-(-2))=(-2，1，2)． 所以直线BC的一个方向向量为(-2，1，2)(答案不唯一)． (2)因为平面α经过点A(1，2，3)，且M(x，y，z)是平面α内的任意一点，则有=(x-1，y-2，z-3)，又因为是平面α的法向量，所以⊥， 从而·=0， 即(-2，1，2)·(x-1，y-2，z-3)=0， 整理可得2x-y-2z+6=0，即为所求． 1．知识清单： (1)直线的方向向量的概念及应用． (2)平面的法向量的求法． (3)平面方程的表示． 2．方法归纳：方程组法、待定系数法． 3．常见误区：不理解直线的方向向量和平面的法向量的作用和不唯一性． 1．若A(-1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为 (　　) A．(1，2，3) B．(1，3，2) C．(2，1，3) D．(3，2，1) 答案　A 解析　因为=(2，4，6)，所以(1，2，3)是直线l的一个方向向量． 2．(多选)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC的法向量的是 (　　) A. B. C. D. 答案　BC 3．若n=(2，-3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是 (　　) A.(0，-3，1) B.(2，0，1) C.(-2，-3，1) D.(-2，3，-1) 答案　D 解析　求与n共线的一个向量． 易知(2，-3，1)=-(-2，3，-1)． 4．已知平面α经过点O(0，0，0)，且e=(1，2，-3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是　　　　．  答案　x+2y-3z=0 解析　由题意得e⊥， 则·e=(x，y，z)·(1，2，-3)=0， 故x+2y-3z=0． 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1．已知向量a=(2，-1，3)和b=(-4，2x2，6x)都是直线l的方向向量，则x的值是 (　　) A.-1 B.1或-1 C.-3 D.1 答案　A 解析　由题意得a∥b，所以解得x=-1． 2．(多选)在空间直角坐标系O-xyz中，下列向量是y轴方向向量的是 (　　) A.(0，1，0) B.(0，-1，0) C.(1，2，0) D.(0，1，1) 答案　AB 解析　因为y轴方向向量可以表示为(0，k，0)(k≠0)， 所以(0，1，0)，(0，-1，0)是y轴的方向向量． 3．已知向量=(2，4，x)，平面α的一个法向量n=(1，y，3)，若AB⊂α，则 (　　) A.x=6，y=2 B.x=2，y=6 C.3x+4y+2=0 D.4x+3y+2=0 答案　C 解析　由题意可知·n=0， 可得3x+4y+2=0． 4．已知=(1，5，-2)，=(3，1，z)，若⊥，=(x-1，y，-3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为 (　　) A．，-，4 B．，-，4 C．，-2，4 D．4，，-15 答案　B 解析　∵⊥，∴·=3+5-2z=0，得z=4，又BP⊥平面ABC，∴⊥，⊥， 则解得 5．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下关系中可能不成立的是 (　　) A．⊥ B．⊥ C．⊥ D．⊥ 答案　C 解析　∵PA⊥平面ABCD， ∴BD⊥PA． 又AC⊥BD，PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC， ∴PC⊥BD． 故选项B成立，选项A和D显然成立． 6．已知平面α内有一个点A(2，-1，2)，且平面α的一个法向量为n=(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是 (　　) A.(1，-1，1) B. C. D. 答案　B 解析　要判断点P是否在平面α内，只需判断向量与平面α的法向量n是否垂直， 即·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验． 对于选项A，=(1，0，1)， 则·n=(1，0，1)·(3，1，2)=5≠0，故排除A； 对于选项B，=， 则·n=·(3，1，2)=0，故B正确； 同理可排除C，D． 7．(5分)已知三点A(1，0，1)，B(0，1，1)，C(1，1，0)，则平面ABC的一个法向量为　　　　．  答案　(1，1，1)(答案不唯一) 解析　设平面ABC的一个法向量为n=(x，y，z)， 由题意得=(-1，1，0)，=(1，0，-1)． 因为n⊥，n⊥， 所以令x=1，得y=z=1， 所以平面ABC的一个法向量n=(1，1，1)． 8．(5分)在空间直角坐标系O-xyz中，已知平面α的一个法向量是n=(1，-1，2)，且平面α过点A(0，3，1)．若P(x，y，z)是平面α上任意一点，则点P的坐标满足的方程是　　　　　　　　　．  答案　x-y+2z+1=0 解析　由题意知·n=0，即x-y+2z+1=0． 9．(10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量． 解　如图所示，建立空间直角坐标系． 依题意可得D(0，0，0)，E，B(1，1，0)， 于是=， =(1，1，0)． 设平面EDB的法向量为n=(x，y，z)， 则n⊥，n⊥， 于是 取x=1，则y=-1，z=1， 故平面EDB的一个法向量为n=(1，-1，1)(答案不唯一)． 10．(11分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD=2，PD⊥底面ABCD，且PD=AD，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面PAB的一个法向量． 解　因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=AD，从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD，以｛，，｝为正交基底建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示，则A(1，0，0)，B(0，，0)，P(0，0，1)，=(-1，，0)，=(0，，-1)． 设平面PAB的一个法向量为n=(x，y，z)． 则即 因此可取n=(，1，)． 所以平面PAB的一个法向量可以为(，1，)(答案不唯一)． 11．(多选)已知直线l1的方向向量a=(2，4，x)，直线l2的方向向量b=(2，y，2)，若|a|=6，且a⊥b，则x+y的值是 (　　) A.1 B.-1 C.3 D.-3 答案　AD 解析　因为|a|==6， 所以x=±4． 因为a⊥b， 所以a·b=2×2+4y+2x=0， 即y=-1-x， 所以当x=4时，y=-3； 当x=-4时，y=1． 所以x+y=1或x+y=-3． 12．在三棱锥P-ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC=CB=1，PC=2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的法向量的是 (　　) A. B.(1，，1) C.(1，1，1) D.(2，-2，1) 答案　A 解析　因为P(0，0，2)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，所以=(1，0，-2)，=(-1，1，0)， 设平面PAB的一个法向量为n=(x，y，1)， 由则 解得 所以n=(2，2，1)． 又=n， 因此，平面PAB的一个法向量为． 13．已知直线l过点P(1，0，-1)且平行于向量a=(2，1，1)，平面α过直线l与点M(1，2，3)，则平面α的法向量不可能是 (　　) A.(1，-4，2) B. C. D．(0，-1，1) 答案　D 解析　因为=(0，2，4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的一个法向量，则必须满足把选项代入验证，只有选项D不满足． 14．(5分)若A，B，C是平面α内三点，设平面α的法向量为a=(x，y，z)，则x∶y∶z=　　　　．  答案　2∶3∶(-4) 解析　由已知得，=， =， ∵a是平面α的一个法向量， ∴a·=0，a·=0， 即解得 ∴x∶y∶z=y∶y∶=2∶3∶(-4)． 15．(5分)在平面几何中，直线l：Ax+By+C=0(A，B不同时为0)的一个法向量可以写为n=(A，B)，同时平面内任意一点P(x0，y0)到直线l的距离为d=，类似地，假设空间中一个平面的方程写为a：Ax+By+Cz+D=0(A，B，C不同时为0)，则它的一个法向量n=　　　　，空间任意一点P(x0，y0，z0)到它的距离d=　　　　　　　．  答案　(A，B，C)　 16．(12分)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果=(2，-1，-4)，=(4，2，0)，=(-1，2，-1)． (1)求证：是平面ABCD的法向量；(5分) (2)求平行四边形ABCD的面积．(7分) (1)证明　因为·=(-1，2，-1)·(2，-1，-4)=0，·=(-1，2，-1)·(4，2，0)=0， 所以AP⊥AB，AP⊥AD． 又AB∩AD=A，AB，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD． 所以是平面ABCD的法向量． (2)解　因为||==， ||==2， ·=(2，-1，-4)·(4，2，0)=6， 所以cos〈，〉==， 故sin〈，〉=， S▱ABCD=||·||sin〈，〉=8． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 <<< 6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量 理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量. 学习目标 我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示直线和平面.本节我们就来研究如何用空间向量表示空间中的直线和平面. 导 语 一、直线的方向向量 二、平面的法向量 课时对点练 三、平面方程的表示 随堂演练 内容索引 一 直线的方向向量 把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫作直线l的 . 方向向量 知识梳理 (1) 空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合. (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 注 意 点 <<< 7 　　　 (1)已知直线l的一个方向向量为m=(2，-1，3)，且直线 l 过 A(0，y，3)和B(-1，2，z)两点，则y-z等于 A.0　 B.1　 C.　 D.3 例 1 √ 8 ∵A(0，y，3)和B(-1，2，z)， ∴=(-1，2-y，z-3)， ∵直线l的一个方向向量为m=(2，-1，3)， 故设=km. ∴解得 ∴y-z=0. 9 (2)在如图所示的坐标系中，ABCD-A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为　　　　　　　，直线 BC1 的一个方向向量为　　　　　　　　　　　.  (0，0，1) (0，1，1)(答案不唯一) 10 因为 DD1∥AA1， =(0，0，1)， 故直线 DD1 的一个方向向量为(0，0，1)； 因为BC1∥AD1， =(0，1，1)， 故直线 BC1 的一个方向向量为(0，1，1). 11 (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量. (2)直线的方向向量不唯一. 反 思 感 悟 理解直线方向向量的概念 12 　　　　　(多选)若M(1，0，-1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是 A.(2，2，6) B.(1，1，3) C.(3，1，1) D.(-3，0，1) 跟踪训练 1 √ √ ∵M，N在直线l上，又=(1，1，3)， 故向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直线l的一个方向向量. 13 二 平面的法向量 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 平面α，记作 ，此时，我们把向量n叫作平面α的 . 垂直于 n⊥α 法向量 知识梳理 (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量. (2)一个平面的法向量有无限多个，它们是共线向量. 注 意 点 <<< 16 　　　(课本例1)　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：是平面ACD1的法向量. 例 2 17 不妨设正方体的棱长为1，以{}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，所以=(1，1，1)，=(-1，1，0)，=(-1，0，1). 因为·=1×(-1)+1×1+1×0=0， 所以⊥.同理⊥. 又因为AC∩AD1=A， 所以⊥平面ACD1， 从而是平面ACD1的法向量. 18 　　　如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC= 90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，试建立适当的坐标系. 例 2 (1)求平面ABCD的一个法向量； 19 以｛，，｝为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，S(0，0，1). ∵SA⊥平面ABCD， ∴=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量. 20 (2)求平面SAB的一个法向量； ∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA=A，AB， SA⊂平面SAB，∴AD⊥平面SAB， ∴=是平面SAB的一个法向量. 21 (3)求平面SCD的一个法向量. 22 在平面SCD中，=，=(1，1，-1). 设平面SCD的法向量是n=(x，y，z)， 则n⊥，n⊥， ∴得方程组∴ 令y=-1，得x=2，z=1，∴n=(2，-1，1). ∴n=(2，-1，1)是平面SCD的一个法向量. (答案不唯一) 23 反 思 感 悟 (1)设向量：设平面的法向量为n=(x，y，z). (2)选向量：在平面内选取两个不共线的向量. (3)列方程组：由列出方程组. (4)解方程组： (5)赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量. 求平面法向量的步骤 　　　　　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： 跟踪训练 2 (1)平面BDD1B1的一个法向量； 25 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2， 则D(0，0，0)，B(2，2，0)，A(2，0，0)， C(0，2，0)，E(1，0，2). 连接AC(图略)，∵AC⊥平面BDD1B1， ∴=(-2，2，0)为平面BDD1B1的一个法向量. 26 (2)平面BDEF的一个法向量. 27 易得=(2，2，0)，=(1，0，2). 设平面BDEF的一个法向量为n=(x，y，z). 则 ∴∴ 令x=2，得y=-2，z=-1. ∴n=(2，-2，-1)即为平面BDEF的一个法向量.(答案不唯一) 28 三 平面方程的表示 1.在空间直角坐标系中，平面可以用关于x，y，z的三元一次方程来表示. 2.设平面α经过点P(x0，y0，z0)，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则平面α的法向量为n=(A，B，C)的平面方程为 . A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 知识梳理 　　　(1)在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为n=(-1， -2，1)的平面的方程为 A.x+2y-z-2=0 B.x-2y-z-2=0 C.x+2y+z-2=0 D.x+2y+z+2=0 例 3 √ 在空间中任取一点P(x，y，z)， ∵平面法向量为n=(-1，-2，1)， ∴-(x-1)-2×(y-2)+1×(z-3)=0， ∴法向量为n=(-1，-2，1)的平面方程为x+2y-z-2=0. 31 (2)在空间直角坐标系中，已知点A(2，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，4)，试求出经过A，B，C三点的平面的方程. 32 设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0， 将点A(2，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，4)分别代入， 得 ∴2A=3B=4C， ∴取A=6，得B=4，C=3，D=-12， ∴经过A，B，C三点的平面的方程为 6x+4y+3z-12=0. 33 反 思 感 悟 (1)法向量法：利用法向量与平面内的任意向量垂直，即n·=0求解，其中n为平面的法向量，为平面内的任意向量. (2)待定系数法：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0，然后代入相关点解方程即可. 求平面方程的两种方法 　　　　　已知点A(1，2，3)，B(1，-1，-2)，C(-1，0，0). (1)写出直线BC的一个方向向量； 跟踪训练 3 由题意知=(-1-1，0-(-1)，0-(-2))=(-2，1，2). 所以直线BC的一个方向向量为(-2，1，2)(答案不唯一). 35 (2)设平面α经过点A，且是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，试写出x，y，z满足的关系式. 36 因为平面α经过点A(1，2，3)，且M(x，y，z)是平面α内的任意一点，则有=(x-1，y-2，z-3)，又因为是平面α的法向量，所以⊥， 从而·=0， 即(-2，1，2)·(x-1，y-2，z-3)=0， 整理可得2x-y-2z+6=0，即为所求. 37 1.知识清单： (1)直线的方向向量的概念及应用. (2)平面的法向量的求法. (3)平面方程的表示. 2.方法归纳：方程组法、待定系数法. 3.常见误区：不理解直线的方向向量和平面的法向量的作用和不唯一性. 课堂小结 38 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若A(-1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为 A.(1，2，3) B.(1，3，2) C.(2，1，3) D.(3，2，1) 因为=(2，4，6)，所以(1，2，3)是直线l的一个方向向量. √ 2.(多选)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC的法向量的是 A. B. C. D. 1 2 3 4 √ √ 3.若n=(2，-3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是 A.(0，-3，1) B.(2，0，1) C.(-2，-3，1) D.(-2，3，-1) 1 2 3 4 求与n共线的一个向量. 易知(2，-3，1)=-(-2，3，-1). √ 4.已知平面α经过点O(0，0，0)，且e=(1，2，-3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是　　　　　　　.  1 2 3 4 x+2y-3z=0 由题意得e⊥， 则·e=(x，y，z)·(1，2，-3)=0， 故x+2y-3z=0. 课时对点练 五 1.已知向量a=(2，-1，3)和b=(-4，2x2，6x)都是直线l的方向向量，则x的值是 A.-1 B.1或-1 C.-3 D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 由题意得a∥b，所以解得x=-1. √ 2.(多选)在空间直角坐标系O-xyz中，下列向量是y轴方向向量的是 A.(0，1，0) B.(0，-1，0) C.(1，2，0) D.(0，1，1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为y轴方向向量可以表示为(0，k，0)(k≠0)， 所以(0，1，0)，(0，-1，0)是y轴的方向向量. √ √ 3.已知向量=(2，4，x)，平面α的一个法向量n=(1，y，3)，若AB⊂α，则 A.x=6，y=2 B.x=2，y=6 C.3x+4y+2=0 D.4x+3y+2=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知·n=0， 可得3x+4y+2=0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知=(1，5，-2)，=(3，1，z)，若⊥，=(x-1，y，-3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为 A.，-，4 B.，-，4 C.，-2，4 D.4，，-15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵⊥，∴·=3+5-2z=0，得z=4，又BP⊥平面ABC，∴⊥，⊥， 则解得 5.在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下关系中可能不成立的是 A.⊥ B.⊥ C.⊥ D.⊥ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵PA⊥平面ABCD， ∴BD⊥PA. 又AC⊥BD，PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC， ∴PC⊥BD. 故选项B成立，选项A和D显然成立. 6.已知平面α内有一个点A(2，-1，2)，且平面α的一个法向量为n=(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是 A.(1，-1，1) B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 要判断点P是否在平面α内，只需判断向量与平面α的法向量n是否垂直， 即·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验. 对于选项A，=(1，0，1)， 则·n=(1，0，1)·(3，1，2)=5≠0，故排除A； 对于选项B，=， 则·n=·(3，1，2)=0，故B正确； 同理可排除C，D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知三点A(1，0，1)，B(0，1，1)，C(1，1，0)，则平面ABC的一个法向量为　　　　　　　　　　.  (1，1，1)(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设平面ABC的一个法向量为n=(x，y，z)， 由题意得=(-1，1，0)，=(1，0，-1). 因为n⊥，n⊥， 所以令x=1，得y=z=1， 所以平面ABC的一个法向量n=(1，1，1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在空间直角坐标系O-xyz中，已知平面α的一个法向量是n=(1，-1，2)，且平面α过点A(0，3，1).若P(x，y，z)是平面α上任意一点，则点P的坐标满足的方程是　　　　　　.  由题意知·n=0，即x-y+2z+1=0. x-y+2z+1=0 56 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，建立空间直角坐标系. 依题意可得D(0，0，0)，E，B(1，1，0)， 于是=， =(1，1，0). 设平面EDB的法向量为n=(x，y，z)， 则n⊥，n⊥， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 于是 取x=1，则y=-1，z=1， 故平面EDB的一个法向量为n=(1，-1，1)(答案不唯一). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD=2，PD⊥底面ABCD，且PD=AD，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面PAB的一个法向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=AD，从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD，以｛，，｝为正交基底建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示，则A(1，0，0)，B(0，，0)，P(0，0，1)，=(-1，，0)，=(0，，-1). 设平面PAB的一个法向量为n=(x，y，z). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则即 因此可取n=(，1，). 所以平面PAB的一个法向量可以为(，1，)(答案不唯一). 11.(多选)已知直线l1的方向向量a=(2，4，x)，直线l2的方向向量b=(2，y，2)，若|a|=6，且a⊥b，则x+y的值是 A.1 B.-1 C.3 D.-3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为|a|==6，所以x=±4. 因为a⊥b， 所以a·b=2×2+4y+2x=0， 即y=-1-x， 所以当x=4时，y=-3； 当x=-4时，y=1. 所以x+y=1或x+y=-3. 12.在三棱锥P-ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC=CB=1，PC=2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的法向量的是 A. B.(1，，1) C.(1，1，1) D.(2，-2，1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为P(0，0，2)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，所以=(1，0，-2)，=(-1，1，0)， 设平面PAB的一个法向量为n=(x，y，1)， 由则解得 所以n=(2，2，1).又=n， 因此，平面PAB的一个法向量为. 13.已知直线l过点P(1，0，-1)且平行于向量a=(2，1，1)，平面α过直线l与点M(1，2，3)，则平面α的法向量不可能是 A.(1，-4，2) B. C. D.(0，-1，1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为=(0，2，4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的一个法向量，则必须满足把选项代入验证，只有选项D不满足. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.若A，B，C是平面α内三点，设平面α的法向量为a=(x，y，z)，则x∶y∶z=　　　　　　.  2∶3∶(-4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得，=，=， ∵a是平面α的一个法向量， ∴a·=0，a·=0， 即解得 ∴x∶y∶z=y∶y∶=2∶3∶(-4). 15.在平面几何中，直线l：Ax+By+C=0(A，B不同时为0)的一个法向量可以写为n=(A，B)，同时平面内任意一点P(x0，y0)到直线l的距离为d=，类似地，假设空间中一个平面的方程写为a：Ax+By+Cz+ D=0(A，B，C不同时为0)，则它的一个法向量n=　　　　　，空间任意一点P(x0，y0，z0)到它的距离d=　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 (A，B，C) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果=(2，-1，-4)，=(4，2，0)，=(-1，2，-1). (1)求证：是平面ABCD的法向量； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为·=(-1，2，-1)·(2，-1，-4)=0，·=(-1，2，-1)·(4，2，0)=0， 所以AP⊥AB，AP⊥AD. 又AB∩AD=A，AB，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD. 所以是平面ABCD的法向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求平行四边形ABCD的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为||==， ||==2， ·=(2，-1，-4)·(4，2，0)=6， 所以cos〈，〉==， 故sin〈，〉=， S▱ABCD=||·||sin〈，〉=8. 第一章 <<< $$