6.2.1 空间向量基本定理（教用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦空间向量基本定理这一核心知识点，衔接平面向量向空间向量的拓展，系统梳理基底的概念、正交基底的特性，以及用不共面向量表示空间任一向量的方法，构建从概念理解到应用的学习支架。 资料以正方体、三棱柱等几何体为实例，通过基底判断、向量表示、几何应用等层层递进的题型设计，培养学生直观想象与逻辑推理能力。课中助力教师引导学生抽象建模，课后通过跟踪训练与综合题帮助学生巩固运算方法，查漏补缺。

6.2.1　空间向量基本定理 课标要求 1.理解空间向量基本定理及其推论（数学抽象、直观想象）. 2.会根据需要选择适当的基底来表示任一空间向量（数学运算）. 3.会用向量基底法求解简单的几何问题（数学运算、逻辑推理）. 　　如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，在AB，AD，AA1上分别取单位向量e1，e2，e3. 【问题】　（1）e1，e2，e3共面吗？ （2）如何用e1，e2，e3表示向量？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　空间向量基本定理 1.定理：如果三个向量e1，e2，e3　不共面　，那么对空间任一向量p，存在　唯一　的有序实数组（x，y，z），使p＝　xe1＋ye2＋ze3　，其中{e1，e2，e3}称为空间的一个　基底　，e1，e2，e3叫作　基向量　. 2.推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得＝　x＋y＋z　. 【想一想】 1.构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？ 提示：不可以. 2.在四棱锥O-ABCD中，可表示为＝x＋y＋z且唯一，这种说法对吗？ 提示：对. 知识点二　正交基底与单位正交基底 1.正交基底：如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底. 2.单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）空间向量的基底是唯一的.（　×　） （2）若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向量.（　√　） （3）已知A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N共面.（　√　） 2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以构成空间的一个基底的是（　　） A.，， B.，， C.，， D.，， 解析：C　由题意知，，不共面，可以构成空间向量的一个基底. 3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则＝（　　） A.i＋j＋k B.i＋j＋k C.3i＋2j＋5k D.3i＋2j－5k 解析：C　因为＝＋＋＝＋＋，所以＝3i＋2j＋5k，故选C. 题型一｜基底的判断 【例1】　（链接教科书第20页练习1题）〔多选〕已知{a，b，c}是空间的一个基底，则下列选项中不能构成空间的一个基底的是（　　） A.{a，a－2b，2a＋b} B.{b，b＋c，b－c} C.{2a－3b，a＋b，a－b} D.{a＋b，b－c，c＋2a} 解析：ABC　只有D选项中的三个向量不共面，其他选项中的三个向量都共面. 通性通法 判断基底的基本思路 （1）判断一组向量能否构成空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以构成一个基底； （2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断. 【跟踪训练】 1.若向量，，的起点M与终点A，B，C互不重合且无三点共线，且满足下列关系（O是空间任一点），则能使向量，，构成空间一个基底的关系是（　　） A.＝＋＋ B.≠＋ C.＝＋＋ D.＝2－ 解析：C　A中，因为＋＋＝1，所以M，A，B，C四点共面，不满足题意；B中，≠＋，但可能＝λ＋μ，所以M，A，B，C四点可能共面，不满足题意；D中，因为＝2－，所以M，A，B，C四点共面，不满足题意.只有C中式子满足题意，故选C. 2.已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底. 解：设＝x＋y，则e1＋2e2－e3＝x（－3e1＋e2＋2e3）＋y（e1＋e2－e3）， 即e1＋2e2－e3＝（y－3x）e1＋（x＋y）e2＋（2x－y）e3， 所以此方程组无解. 即不存在实数x，y，使得＝x＋y， 所以，，不共面， 所以{，，}能作为空间的一个基底. 题型二｜用基底表示空间向量 【例2】　（链接教科书第19页例1）如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC'，B'C'的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，. 解：＝＋ ＝＋（＋）＝＋＋ ＝＋（－）＋ ＝＋＋ ＝（a＋b＋c）. 连接A'N（图略）， ＝＋＝＋（＋） ＝＋（＋）＝a＋b＋c. 通性通法 用基底表示向量的策略 （1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律； （2）若没给定基底时，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求. 【跟踪训练】 如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点.用基向量，，表示和. 解：＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝＋×（＋）＝＋＋. ＝＋＝＋＋＋＝＋＋. 题型三｜空间向量基本定理的应用 【例3】　如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为60°. （1）求AC1的长； （2）求BD1与AC所成角的余弦值. 解：（1）设＝a，＝b，＝c， 则｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1， ＜a，b＞＝＜b，c＞＝＜c，a＞＝60°， 所以a·b＝b·c＝c·a＝. ｜｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝1＋1＋1＋2×（＋＋）＝6， 所以｜｜＝，即AC1的长为. （2）＝b＋c－a，＝a＋b， 所以｜｜＝，｜｜＝， ·＝（b＋c－a）·（a＋b）＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1. 所以cos＜，＞＝＝. 所以AC与BD1所成角的余弦值为. 通性通法 用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤 　　首先根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底，如果存在三个两两垂直的空间向量也可以确定一个正交基底.然后根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，最后把空间向量的运算转化为基向量的运算. 【跟踪训练】 如图，在空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC. 证明：在空间四边形OABC中，令＝a，＝b，＝c，则｜a｜＝｜b｜＝｜c｜， 令∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，因为G是MN的中点， 则＝（＋）＝［＋（＋）］＝（a＋b＋c），＝－＝c－b， 于是得·＝（a＋b＋c）·（c－b）＝（a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c） ＝（｜a｜2cos θ－｜a｜2cos θ－｜a｜2＋｜a｜2）＝0， 因此⊥，所以OG⊥BC. 1.〔多选〕下列结论正确的是（　　） A.三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面 B.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 C.若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb（λ，μ∈R且λμ≠0），则{a，b，c}构成空间的一个基底 D.若，，不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面 解析：ABD　由基底的概念可知A、B、D正确.对于C，因为满足c＝λa＋μb，所以a，b，c共面，不能构成基底，故错误. 2.若{a，b，c}是空间的一个基底，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与向量m，n构成空间的另一个基底的向量是（　　） A.a B.b C.c D.2a 解析：C　由题意知，a，b，c不共面，对于选项A，a＝[（a＋b）＋（a－b）]＝m＋n，故a，m，n共面，排除A；对于选项B，b＝[（a＋b）－（a－b）]＝m－n，故b，m，n共面，排除B；对于选项D，由选项A得，2a＝m＋n，故2a，m，n共面，排除D.故选C. 3.在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝　　.（用a，b，c表示） 答案：a＋b＋c 解析：＝＋＝＋×（＋）＝＋×（－＋－）＝＋＋＝a＋b＋c. 4.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°.求证：AB⊥AC1. 证明：设＝a，＝b，＝c， 则＝＋＝b＋c. 所以·＝a·（b＋c）＝a·b＋a·c. 因为AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°， 所以a·b＝0，a·c＝0， 得·＝0，故AB⊥AC1. 1.下列说法正确的是（　　） A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B.空间的基底有且仅有一个 C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D.若三个向量构不成空间的一个基底，则其中一定有一个零向量 解析：C　对于A、B，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以A、B错误；对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C正确；对于D，若三个向量构不成空间的一个基底，只能说明三个向量共面，不一定有零向量，D错误. 2.若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　） A.b＋c，b，b－c B.b，a＋b，a－b C.a＋b，a－b，c D.a＋b，a＋b＋c，c 解析：C　对于A选项，b＝（b＋c）＋（b－c），所以b＋c，b，b－c三个向量共面；对于B选项，b＝（a＋b）－（a－b），所以b，a＋b，a－b三个向量共面；对于C选项，利用反证法可证得a＋b，a－b，c三个向量不共面；对于D选项，a＋b＋c＝（a＋b）＋c，所以a＋b，a＋b＋c，c三个向量共面.故选C. 3.若{a，b，c}为空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z的值分别为（　　） A.0，0，1 B.0，0，0 C.1，0，1 D.0，1，0 解析：B　若x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x≠0，则a＝－b－c，∴a，b，c共面，这与{a，b，c}是基底矛盾，故x＝y＝z＝0. 4.已知空间四边形OABC中，M在AO上，满足＝，N是BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量为（　　） A.a＋b＋c B.a＋b－c C.－a＋b＋c D.a－b＋c 解析：C　＝＋＋＝＋＋（－）＝－＋＋＝－a＋b＋c.故选C. 5.〔多选〕已知A，B，C，D，E是空间中的五点，且任意三点均不共线.若{，，}与{，，}均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（　　） A.{，，}不能构成空间的一个基底 B.{，，}能构成空间的一个基底 C.{，，}不能构成空间的一个基底 D.{，，}能构成空间的一个基底 解析：AC　由题意可得空间五点A，B，C，D，E共面.所以A，B，C，D，E这五点中，任意两点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以A、C正确，B、D错误.故选A、C. 6.〔多选〕如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等.下列结论中正确的是（　　） A.A1M∥D1P B.A1M∥B1Q C.A1M∥平面DCC1D1 D.A1M∥平面D1PQB1 解析：ACD　依题意可知PQ∥BD∥B1D1，所以P，Q，B1，D1四点共面.因为＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以＝，则A1M∥D1P，结合线面平行的判定定理可知A、C、D正确.而B1Q与D1P不平行，所以B不正确.故选A、C、D. 7.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量用a，b，c表示为a－b＋c. 解析：∵＝－2，∴－＝－2（－），∴b－a＝－2（－c），∴＝a－b＋c. 8.已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，3c}是空间的另一个基底，若向量m在基底{a，b，c}下表示为m＝3a＋5b＋9c，则m在基底{a＋b，a－b，3c}下可表示为4（a＋b）－（a－b）＋3（3c）. 解析：由题意知，m＝3a＋5b＋9c，设m＝x（a＋b）＋y（a－b）＋z（3c），则有解得则m在基底{a＋b，a－b，3c}下可表示为m＝4（a＋b）－（a－b）＋3（3c）. 9.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值为0. 解析：根据题意可得，·＝（＋＋）·（＋＋） ＝（－＋＋）· ＝ － －＝×4－1－×4＝0，从而得到A1E和GF垂直，故其所成角的余弦值为0. 10.已知平行六面体OABC-O'A'B'C'中，＝a，＝b，＝c. （1）用a，b，c表示向量； （2）设G，H分别是侧面BB'C'C和O'A'B'C'的中心，用a，b，c表示. 解：（1）＝＋＝－＋ ＝b－a＋c. （2）＝＋＝－＋ ＝－（＋）＋（＋） ＝－（a＋b＋c＋b）＋（a＋b＋c＋c） ＝（c－b）. 11.已知＝－3a－3b＋3c，＝5a＋3b－5c，＝a＋b－c，其中{a，b，c}是空间的一个基底，则直线AD与BC的位置关系是（　　） A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或重合 解析：B　因为＝－3，所以A，B，C，D四点共面.因为＝＋＋＝3a＋b－3c，所以对∀λ∈R，≠λ，所以直线AD与BC不平行，故直线AD与BC相交. 12.设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则（x，y，z）＝（　　） A. B. C. D. 解析：A　如图所示，连接AG1并延长交BC于点E，则点E为BC的中点，＝（＋）＝（－2＋），＝＝（－2＋），∵＝3＝3（－），∴＝＝（＋）＝（＋－＋）＝＋＋，故选A. 13.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点，则｜｜＝. 解析：设＝a，＝b，＝c，因为AB＝AD＝1，PA＝2，所以｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2.又因为AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，所以a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1×cos 60°＝1.易得＝（－a＋b＋c），所以｜｜2＝（－a＋b＋c）2＝[a2＋b2＋c2＋2×（－a·b－a·c＋b·c）]＝×[12＋12＋22＋2×（0－1＋1）]＝，所以｜｜＝. 14.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E，F分别为BB1，BC的中点. （1）求A1B和B1C的夹角； （2）求证：AC1⊥EF. 解：（1）设＝a，＝b，＝c， 则＝－＝a－c，｜｜＝， ＝＝－＝b－c，｜｜＝， ∴·＝（a－c）·（b－c）＝a·b－a·c－b·c＋c2＝0－0－0＋1＝1， ∴cos＜，＞＝＝＝. 又＜，＞∈[0，π]， ∴＜，＞＝，∴A1B和B1C的夹角为. （2）证明：∵＝a＋b＋c，＝＝ ＝（－）＝（b－c）， ·＝（a＋b＋c）·（b－c） ＝（a·b－a·c＋b2－b·c＋b·c－c2） ＝（0－0＋1－0＋0－1）＝0， ∴⊥，∴AC1⊥EF. 15.如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m，＝n，＝t，求证：＋＋为定值，并求出该定值. 证明：连接AG并延长交BC于点H（图略），由题意，可令{，，}为空间的一个基底. ＝＝（＋）＝＋×＝＋×（＋）＝＋（－）＋（－）＝＋＋. 连接DM（图略）.因为点D，E，F，M共面，所以存在实数λ，μ，使得＝λ＋μ，即－＝λ（－）＋μ（－），所以＝（1－λ－μ）＋λ＋μ＝（1－λ－μ）m＋λn＋μt. 由空间向量基本定理，知＝（1－λ－μ）m，＝λn，＝μt，所以＋＋＝4（1－λ－μ）＋4λ＋4μ＝4，为定值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $