6.1.2 空间向量的数量积（教用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“空间向量的数量积”核心知识点，通过回顾平面向量数量积引入空间向量夹角定义，系统梳理数量积的定义、运算律及性质，延伸至投影向量概念，构建从平面到空间的知识迁移支架。 资料以问题驱动类比迁移，结合正四面体、正方体等实例，通过题型分类与通性通法总结，培养数学抽象、数学运算和直观想象素养。课中辅助教师高效教学，课后通过跟踪训练与练习题帮助学生巩固提升，查漏补缺。

6.1.2　空间向量的数量积 课标要求 1.了解空间向量的夹角，掌握空间向量的数量积（数学抽象、数学运算）. 2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义（直观想象）. 3.能利用空间向量数量积解决简单的立体几何问题（数学运算、逻辑推理）. 　　我们在必修第二册“平面向量”中已经学习了两个平面向量a和b的数量积的定义、性质及运算. 【问题】　（1）平面向量的数量积a·b是如何定义的？满足哪些运算律？ （2）类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　空间向量的夹角 定义 a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，　∠AOB　＝θ（0≤θ≤π）叫作向量a与向量b的夹角，记作　＜a，b＞　 范围 ＜a，b＞∈　[0，π]　 特殊 夹角 ①如果＜a，b＞＝0，a与b　同向　； ②如果＜a，b＞＝π，a与b　反向　； ③如果＜a，b＞＝　　，a与b互相垂直，记作a　⊥　b 知识点二　空间向量的数量积 1.定义：设a，b是空间两个非零向量，我们把数量　｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　叫作向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝　｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2.数量积的运算律 交换律 a·b＝　b·a　 数乘结合律 （λa）·b＝　λ（a·b）　（λ∈R） 分配律 （a＋b）·c＝a·c＋b·c 3.数量积的性质 两个向量 数量积的 性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔　a·b＝0　 ②若a与b同向，则a·b＝　｜a｜｜b｜　； 若反向，则a·b＝　－｜a｜｜b｜　. 特别地，a·a＝　｜a｜2　或｜a｜＝　　 ③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝　　 【想一想】 1.若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？为什么？ 提示：若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0. 2.对于向量a，b，若a·b＝k，能否写成a＝？ 提示：不能.向量没有除法运算. 知识点三　空间向量的投影向量 1.空间投影向量的定义 （1）如图，对于空间任意两个非零向量a，b，设向量＝a，＝b，过点A作AA1⊥OB，垂足为A1.由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量； （2）如图，设向量m＝，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量.向量　　称为向量m在平面α上的投影向量. 2.空间向量数量积的几何意义 空间向量m，n（n在平面α内）的数量积就是向量m在平面α上的　投影向量　与向量n的数量积. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）对于任意向量a，b，c，都有（a·b）c＝a（b·c）.（　×　） （2）若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.（　　×） （3）两个非零向量a，b的夹角满足＜－a，b＞＝＜a，－b＞＝π－＜a，b＞.（　√　） （4）向量a在平面β上的投影是一个向量.（　√　） 2.在正四面体ABCD中，与的夹角等于（　　） A.30° B.60° C.150° D.120° 解析：D　＜，＞＝180°－＜，＞＝180°－60°＝120°. 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则·＝a2. 解析：如图，·＝·＝｜｜·｜｜·cos＜，＞＝a·acos 45°＝a2. 4.已知正方体ABCD-A'B'C'D'，则向量在平面ABCD上的投影向量为. 解析：因为A'A⊥平面ABCD，因此在平面ABCD上的投影向量是. 题型一｜空间向量数量积的运算 【例1】　（链接教科书第12页练习5题）已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示，求： （1）·； （2）（＋）·（＋）. 解：在正四面体OABC中，｜｜＝｜｜＝｜｜＝1. ＜，＞＝＜，＞＝＜，＞＝60°. （1）·＝｜｜｜｜cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝. （2）（＋）·（＋） ＝（＋）·（－＋－） ＝（＋）·（＋－2） ＝＋2·－2·＋－2· ＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60° ＝1＋1－1＋1－1＝1. 通性通法 求空间向量数量积的步骤 （1）将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角厘清； （2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积； （3）代入a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞求解. 【跟踪训练】 1.如图，在棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1中，·＝（　　） A.2　　　　B.1 C.2　　　　D. 解析：A　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥AD1，所以·＝·＝（＋）·＝·＋·＝0＋×2×cos 45°＝2.故选A. 2.如图所示，空间四边形ABCD每条边和对角线长都为a，点E，F分别是AB，AD的中点，则·＝－a2. 解析：因为点E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以，的夹角为120°，所以·＝｜｜·｜｜cos 120°＝－a2. 题型二｜空间向量的投影向量 【例2】　（链接教科书第11页例4）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点. （1）确定向量在平面BCC1B1上的投影向量，并求·； （2）确定向量在直线B1C1上的投影向量，并求·. 解：（1）因为A1B1⊥平面BCC1B1，PC1⊥平面BCC1B1， 所以向量在平面BCC1B1上的投影向量为. 所以·＝·＝×1×cos 45°＝1. （2）因为A1B1⊥B1C1，PC1⊥B1C1， 所以向量在直线B1C1上的投影向量为，故·＝·＝1. 通性通法 　　利用空间向量的数量积的几何意义求两个向量的数量积时，准确探寻某一向量在平面（或直线）上的投影向量是解题的关键. 【跟踪训练】 　已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·＝（　　） A.－1　　　　B.0　　　C.1　　　　D.2 解析：C　法一　＝＋＝＋（＋）＝＋（＋），＝＋，则·＝（｜｜2＋｜｜2）＝1，故选C. 法二　设下底面ABCD的中心为O，则向量在底面ABCD上的投影向量为，故·＝·＝＝1，故选C. 题型三｜空间向量数量积的应用 角度1　利用空间向量数量积求夹角 【例3】　如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是90°. 解析：不妨设正三棱柱的棱长为2，∵＝－，＝＋，∴cos＜，＞＝＝＝0，故异面直线AB1和BM所成角的大小是90°. 通性通法 利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 提醒　注意两向量的夹角与两异面直线所成角的区别. 角度2　利用空间向量数量积求线段长度（模） 【例4】　已知正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长. 解：如图所示，设＝a，＝b，＝c， 由题意知｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝2， 且＜a，b＞＝60°，＜a，c＞＝＜b，c＞＝90°. 因为＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋c， 所以｜｜2＝a2＋b2＋c2＋2（－a·b＋b·c－a·c）＝×22＋×22＋22＋2×（－）×2×2×cos 60°＝1＋1＋4－1＝5， 所以EF＝. 通性通法 利用数量积求线段长度的步骤 （1）将线段用向量表示； （2）用其他已知夹角和模的向量表示该向量； （3）利用｜a｜＝得所求长度. 角度3　利用空间向量数量积证明位置关系 【例5】　如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点. （1）求AC1的长； （2）求证：⊥. 解：（1）设＝a，＝b，＝c，则｜a｜＝｜b｜＝4，｜c｜＝5，a·b＝8，a·c＝b·c＝10， ＝＋＝a－b，＝＋＋＝a＋b＋c. 因为＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a） ＝42＋42＋52＋2×（8＋10＋10）＝113， 所以AC1＝｜｜＝. （2）证明：因为·＝（ a－b）·（a＋b＋c） ＝a2＋a·c－b2－b·c＝×42＋×10－×42－×10＝0， 所以⊥. 通性通法 利用数量积判断（证明）位置关系 （1）若证明两条直线（或向量）垂直，只需要证明两条直线对应的向量的数量积为0； （2）若证明直线与平面垂直，只需要证明直线对应向量与平面内两条相交直线对应向量的数量积分别为0； （3）若证明两条直线平行，只需要证明直线对应的向量共线，同时说明它们不是同一条直线. 【跟踪训练】 1.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量与向量的夹角为（　　） A.60° B.150° C.90° D.120° 解析：D　如图，＝＋，｜｜＝a，＝＋，｜｜＝a.∴·＝·＋·＋·＋·＝－a2.∴cos＜，＞＝＝－，∴＜，＞＝120°. 2.已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k＝6. 解析：由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，｜e1｜＝｜e2｜＝1，所以（2e1＋3e2）·（ke1－4e2）＝0，所以2k－12＝0，所以k＝6. 3.已知空间向量a，b，c两两夹角为60°，其模都为1，则｜a－b＋2c｜＝. 解析：∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，＜a，b＞＝＜b，c＞＝＜c，a＞＝60°，∴a·b＝b·c＝a·c＝，a2＝b2＝c2＝1， ∴｜a－b＋2c｜＝ ＝ ＝ ＝＝. 1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是（　　） A.与 B.与 C.与 D.与 解析：A　与的夹角为45°，与的夹角为135°，与的夹角为90°，与的夹角为180°，故选A. 2.已知｜a｜＝1，且a－b与a垂直，且a与b的夹角为45°，则｜b｜＝（　　） A.1 B. C.2 D.2 解析：B　∵a－b与a垂直，∴（a－b）·a＝0，∴a·a－a·b＝｜a｜2－｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝0.∴1－｜b｜×＝0，解得｜b｜＝. 3.已知两条异面直线的方向向量分别为a，b，且｜a｜＝｜b｜＝1，a·b＝－，则a在b上的投影向量为－b. 解析：设a与b的夹角为θ，∵｜a｜＝｜b｜＝1，且a·b＝－，∴cos θ＝＝－，∴a在b上的投影向量为cos θ·b＝－b. 4.已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，＜a，b＞＝135°，m⊥n，则λ＝－. 解析：∵m⊥n，∴m·n＝0，∴m·n＝（a＋b）·（a＋λb）＝a2＋a·b＋λa·b＋λb2＝（3）2＋（1＋λ）×3×4cos 135°＋λ×42＝18＋（1＋λ）×12×（－）＋16λ＝6＋4λ＝0，∴λ＝－. 1.对于向量a，b，c和实数λ，下列说法中正确的是（　　） A.若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B.若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C.若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D.若a·b＝a·c，则b＝c 解析：B　若a⊥b，则a·b＝0，故A错误，B正确；由a2＝b2，得｜a｜＝｜b｜，长度相等，但方向不定，故C错误；由a·b＝a·c，得a·（b－c）＝0，所以a＝0或b＝c或a⊥（b－c），故D错误. 2.已知单位向量a，b满足｜a｜＝｜a＋b｜，则（a＋b）·b＝（　　） A. B.1 C. D.0 解析：D　∵a，b是单位向量，∴a2＝b2＝1.∵｜a｜＝｜a＋b｜，∴a2＋2a·b＋b2＝1，故a·b＝－，∴（a＋b）·b＝a·b＋b2＝－＋＝0. 3.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC＝（　　） A.6 B.6 C.12 D.144 解析：C　因为＝＋＋，所以＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC＝12. 4.设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知（＋－2）·（－）＝0，则△ABC是（　　） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 解析：B　因为＋－2＝（－）＋（－）＝＋，所以（＋）·（－）＝｜｜2－｜｜2＝0，所以｜｜＝｜｜，即△ABC是等腰三角形. 5.〔多选〕如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是（　　） A.2· B.2· C.2· D.2· 解析：BC　对于A，2·＝2a2cos 120°＝－a2，错误；对于B，2·＝2·＝2a2cos 60°＝a2，正确；对于C，2·＝·＝a2，正确；对于D，2·＝·＝－·＝－a2，错误. 6.〔多选〕设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是（　　） A.（a·b）·c－（c·a）·b＝0 B.｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜ C.（b·a）·c－（c·a）·b一定不与c垂直 D.（3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2 解析：BD　A项，∵（a·b）·c是表示与向量c共线的向量，而（c·a）·b是表示与向量b共线的向量，∴A错误；B项，∵a，b是两个不共线的向量，根据三角形任意两边之差小于第三边可得｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜，∴B正确；C项，∵[（b·a）·c－（c·a）·b]·c＝（b·a）·c·c－（c·a）·b·c＝0可能成立，∴C错误；D项，∵向量的运算满足平方差公式，∴（3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2，∴D正确，故选B、D. 7.如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别是对角线AC，A1C1的中点，则＜，＞＝0°，＜，＞＝0°，＜，＞＝90°. 解析：由题意得，方向相同，且在同一条直线AC上，故＜，＞＝0°；可平移到直线AC上，与方向相同，故＜，＞＝0°；由题意知OO1是正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，故OO1⊥平面A1B1C1D1，所以OO1⊥A1B1，故＜，＞＝90°. 8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则在直线CB1上的投影向量是，·＝a2. 解析：如图，连接BC1交B1C于O，因为BO⊥B1C，A1B1⊥B1C，所以向量在直线CB1上的投影向量是，·＝·＝a·a＝a2. 9.如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，则·＝0，··.（填“＜”“＝”或“＞”） 解析：由题易知AE⊥BC，所以·＝0，而·＝（＋）·＝·（－）＋·＝｜｜·｜｜·cos 120°－｜｜·｜｜·cos 120°＋｜｜·｜｜·cos 120°＜0，所以·＜·. 10.如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形，且SA＝2，SA⊥底面ABCD. （1）确定向量在平面SAD上的投影向量，并求·； （2）确定向量在向量上的投影向量，并求·. 解：（1）向量在平面SAD上的投影向量是，·＝·＝2×2×cos 135°＝－4. （2）向量在向量上的投影向量是，·＝·＝｜｜2＝4. 11.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1（即A1A⊥平面ABC）中，AC＝AB＝AA1＝，BC＝2AE＝2，则异面直线AE与A1C所成的角是（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 解析：C　∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AB，A1A⊥AC.∵AC＝AB＝，BC＝2，∴AB⊥AC.又BC＝2AE＝2，∴E为BC的中点，∴＝（＋）.∵AA1＝，∴A1C＝2.∵·＝（＋）·（－）＝｜｜2＝1，∴cos＜，＞＝＝，∴＜，＞＝60°，即异面直线AE，A1C所成的角是60°. 12.〔多选〕已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（　　） A.（＋＋）2＝3 B.·（－）＝0 C.向量与向量的夹角是60° D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为｜··｜ 解析：AB　由向量的加法得到：＋＋＝，∵A1C2＝3A1，∴＝3，∴A正确；∵－＝，AB1⊥A1C，∴·＝0，故B正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C不正确；∵AB⊥AA1，∴·＝0，故｜··｜＝0，因此D不正确. 13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则·的取值范围是[0，1]. 解析：依题意，设＝λ，其中λ∈[0，1]，·＝·（＋）＝·（＋λ）＝＋λ·＝1＋λ×1××（－）＝1－λ∈[0，1].因此·的取值范围是[0，1]. 14.如图，正四棱锥P-ABCD的各棱长都为a. （1）用向量法证明BD⊥PC； （2）求｜＋｜的值. 解：（1）证明：∵＝＋， ∴·＝（＋）·＝·＋·＝｜｜｜｜cos 60°＋｜｜｜｜cos 120°＝a2－a2＝0.∴BD⊥PC. （2）∵＋＝＋＋， ∴｜＋｜2＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2·＋2·＋2·＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cos 60°＋2a2cos 60°＝5a2， ∴｜＋｜＝a. 15.如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i＝1，2，…，8）是上底面上其余的八个点，则·（i＝1，2，…，8）的不同值的个数为（　　） A.8 B.4 C.2 D.1 解析：D　·＝·（＋）＝＋·，∵AB⊥平面BP2P8P6，∴⊥，∴·＝0，∴·＝｜｜2＝1，则·（i＝1，2，…，8）的不同值的个数为1. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $