11.4.2 第1课时 平面与平面垂直的判定 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

1．两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面(　　) A.垂直 B．平行 C.斜交 D．以上都有可能 解析：选D.两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面可以平行、垂直、斜交． 2．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1＝BC，P为C1D1的中点，则二面角B­PC1­C的大小为(　　) A.30° B．45° C．60° D．90° 解析：选B.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，PC1⊥平面BCC1B1，CC1，BC1⊂平面BCC1B1，所以PC1⊥CC1，PC1⊥BC1，所以∠BC1C即为二面角B­PC1­C的平面角．又BB1＝BC，所以CC1＝BC，所以∠BC1C＝45°. 3．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则“α⊥β”的充分条件是(　　) A.l⊥m，α∩β＝m，l⊂α B.l⊥β，m∥α，l⊥m C.l⊥β，m∥α，l∥m D.l∥β，m∥α，l∥m 解析：选C.对于A，若l⊥m，α∩β＝m，l⊂α，则平面α与平面β可能相交且不垂直，故A错误； 对于B，若l⊥β，m∥α，l⊥m，则平面α与平面β可以相交或平行，故B错误； 对于C，因为l⊥β，l∥m，由线面垂直的性质，所以m⊥β， 又因为m∥α，所以α⊥β，故C正确； 对于D，若l∥β，m∥α，l∥m，则平面α与平面β可以相交或平行，故D错误． 4．已知锐二面角α­l­β，P∈α，点P到β的距离为m，点P到l的距离为2m，则二面角的α­l­β的大小为(　　) A.75° B．60° C．45° D．30° 解析：选D.如图所示，过P作PO⊥β，垂足为O，则PO＝m.作PH⊥l，垂足为H，则PH＝2m.连接HO.因为PO⊥β，l⊂β，所以PO⊥l.又PH∩PO＝P，所以l⊥平面OPH，所以OH⊥l，所以二面角α­l­β的平面角为∠PHO.在Rt△POH中，sin ∠PHO＝＝＝，所以∠PHO＝30°. 5．把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后的△ABC是(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角(非等边)三角形 D.钝角三角形 解析：选A.如图1，设正方形ABCD的边长为1，AC与BD相交于点O，则折成直二面角后如图2，AB＝BC＝1，AC＝＝ ＝1，则△ABC是等边三角形． 6．(多选)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断正确的是(　　) A.BC⊥平面PAC B.AE⊥EF C.AC⊥PB D.平面AEF⊥平面PBC 解析：选ABD.对于A，由PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，BC⊂底面圆，得PA⊥BC.又由圆的性质可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，A正确；对于B，因为AE⊂平面PAC，所以BC⊥AE，又AE⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC.又EF⊂平面PBC，所以AE⊥EF，B正确；对于C，由B可知AE⊥平面PBC，AE与AC相交，因而AC与平面PBC不垂直，所以AC⊥PB不成立，C错误；对于D，由B可知，AE⊥平面PBC，又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC，D正确． 7．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且PA＝PB＝PC，则平面PBC与平面ABC的位置关系是____________． 解析：因为PA＝PB＝PC，所以P在△ABC所在平面上的射影必落在△ABC的外心上，又Rt△ABC的外心为BC的中点，设为O，则PO⊥平面ABC，又PO⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC. 答案：垂直 8．(2025·北京月考)将边长为a的正三角形ABC，沿BC边上的高线AD将△ABC折起．点C变为点C′，若折起后B与C′两点间的距离为，则二面角B­AD­C′的大小为________． 解析：因为AD是BC边上的高线，则AD⊥BD，AD⊥C′D，所以∠BDC′是二面角B­AD­C′的平面角，又BD＝C′D＝BC′＝， 则△BDC′是等边三角形，∠BDC′＝60°. 答案：60° 9．在大小为60°的二面角的一个面内有一个点P，若点P到另一个面的距离是10 cm，则该点到二面角的棱的距离是________． 解析：如图所示，二面角α­l­β中，PA⊥l，PA⊂α，MA⊥l， MA⊂β，PM⊥β，PM＝10 cm. 则∠PAM为二面角α­l­β的平面角，且∠PAM＝60°， 所以sin ∠PAM＝＝， 所以PA＝cm. 即点P到二面角的棱的距离为 cm. 答案： cm 10.(13分)如图，在四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC＝CD＝AD＝1，E为棱AD的中点，PA⊥平面ABCD.求证： (1)AB∥平面PCE；(5分) (2)平面PAB⊥平面PBD.(8分) 证明：(1)因为BC＝CD＝AD＝1，且E为棱AD的中点，所以BC＝AE， 又因为AD∥BC，所以四边形AECB为平行四边形，所以AB∥CE， 又因为CE⊂平面PCE，AB⊄平面PCE， 所以AB∥平面PCE. (2)因为PA⊥平面ABCD， BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD， 连接BE，由题意知BC∥DE，且BC＝DE，则四边形BCDE为平行四边形， 因为AD⊥DC，BC＝CD＝1， 所以平行四边形BCDE为正方形，所以BD⊥CE， 又AB∥CE，所以BD⊥AB，又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， 所以BD⊥平面PAB，又BD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD. 11．(多选)在四棱锥P­ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是(　　) A.平面PAB⊥平面PAD B.平面PAB⊥平面PBC C.平面PBC⊥平面PCD D.平面PCD⊥平面PAD 解析：选ABD.已知PA⊥底面ABCD，可得PA⊥AD，PA⊥CD，又底面ABCD为矩形，所以AD⊥AB，CD⊥AD，而 AB∩PA＝A，AD∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB，AD，PA⊂平面PAD， 所以AD⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，又AD⊂平面PAD，CD⊂平面PCD， 所以平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD，所以A，D正确； 又BC∥AD，所以BC⊥平面PAB，又BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB，所以B正确；因为平面PCD⊥平面PAD，显然C选项不正确．故选ABD. 12．(2025·德州期末)如图，在三棱锥P­ABC中，已知PA⊥平面ABC，PA＝3，PB＝PC＝BC＝6，则二面角P­BC­A的正弦值为__________． 解析：如图，取BC的中点D，连接PD，AD.因为PB＝PC，所以PD⊥BC.因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又PD∩PA＝P，PD，PA⊂平面PAD，所以BC⊥平面PAD，因为AD⊂平面PAD，所以BC⊥AD，所以∠PDA为二面角P­BC­A的平面角．因为PB＝PC＝BC＝6，所以PD＝×6＝3，所以在Rt△PAD中，sin ∠PDA＝＝＝，即二面角P­BC­A的正弦值是. 答案： 13．已知在正四棱锥P­ABCD中，底面边长为2，二面角P­AB­C为45°，则该四棱锥的高的值为____________． 解析：如图所示，取AB的中点E，连接AC，BD交于点O，则底面中心为O，连接PE，OE，PO.因为四棱锥P­ABCD为正四棱锥，所以AB⊥PE，在△ABC中，OE∥BC，因为底面ABCD为正方形，所以AB⊥BC，即AB⊥OE，所以∠PEO是二面角P­AB­C的平面角，即∠PEO＝45°，又在Rt△PEO中，OE＝BC＝1，所以PO＝1，即该四棱锥的高为1. 答案：1 14.(15分)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝AB＝2，E为AB的中点．以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝2. (1)求证：PE⊥平面ABCD；(6分) (2)求二面角P­DC­B的大小．(9分) 解：(1)证明：在直角梯形ABCD中，AB∥CD且AB＝2CD，又E为AB的中点，所以DC綉EB，所以四边形DEBC为平行四边形，又AB⊥BC，所以AE⊥DE，即PE⊥DE. 连接EC(图略)，易知EC＝2，PE＝2，又PC＝2，所以PE2＋EC2＝PC2，所以PE⊥EC， 又DE∩EC＝E，DE，EC⊂平面ABCD， 所以PE⊥平面ABCD. (2)由(1)知PE⊥平面ABCD，又DC⊂平面ABCD，所以PE⊥DC， 又由(1)知DE⊥DC，PE∩DE＝E，PE，DE⊂平面PDE， 所以DC⊥平面PDE，又DP⊂平面PDE， 所以DC⊥PD，则∠PDE即为二面角P­DC­B的平面角． 在Rt△PDE中，PE＝DE＝2，所以∠PDE＝， 所以二面角P­DC­B的大小为. 15.(15分)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点，若F为线段BC上的动点(不含B). (1)平面AEF与平面PBC是否垂直？若是，请证明；若不是，请说明理由．(6分) (2)线段BC上是否存在点F，使二面角B­AE­F的平面角的大小为45°？(9分) 解：(1)垂直．证明如下：因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，又因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥AB，又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB. 因为AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE. 因为PA＝AB，E为线段PB的中点，所以AE⊥PB，因为PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC， 所以AE⊥平面PBC.因为AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC. (2)存在．由(1)可知，AE⊥平面PBC，所以二面角B­AE­F的平面角为∠BEF. 若∠BEF＝45°，由(1)可知BC⊥平面PAB，又BE⊂平面PAB，所以BC⊥BE， 则BF＝BE＝AB＝BC<BC， 故线段BC上存在点F，使二面角B­AE­F的平面角的大小为45°. 学科网（北京）股份有限公司 $