11.3.1 平行直线与异面直线 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

1．若平面α和直线a，b满足a∩α＝A，b⊂α，则a与b的位置关系是(　　) A.相交 B．平行 C.异面 D．相交或异面 解析：选D.因为a∩α＝A，b⊂α，所以当A∉b时，由异面直线的定义可得a与b异面，当A∈b时，a∩b＝A，即a与b相交．故选D. 2．(2025·沈阳月考)已知三条不同的直线l，m，n，且l∥m，则“m∥n”是“l∥n”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选C.因为l∥m，m∥n，所以l∥n，充分性成立；因为l∥m，l∥n，由平行线的传递性可得m∥n，必要性成立．综上，“m∥n”是“l∥n”的充要条件． 3．如图，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，且a，b为异面直线，则以下结论中正确的是(　　) A.a，b都与l平行 B.a，b中至多有一条与l平行 C.a，b都与l相交 D.a，b中至多有一条与l相交 解析：选B.若a，b都与l平行，则根据空间平行线的传递性有a∥b，这与a，b为异面直线矛盾，故a，b中至多有一条与l平行，B正确，A，C错误；当l∩a＝A，l∩b＝B且A与B为不同的两点时，符合题意，D错误．故选B. 4．在三棱锥P­ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝(　　) A.30° B．45° C．60° D．90° 解析：选D.如图所示，因为E，D，F分别为AB，PA，AC的中点，所以DE∥PB，EF∥BC，所以∠DEF与∠PBC的两边分别对应平行且方向相同，又因为PB⊥BC，所以∠DEF＝∠PBC＝90°.故选D. 5．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，与的方向相同，则下列结论中正确的是(　　) A.OB∥O1B1且与的方向相同 B.OB∥O1B1 C.OB与O1B1一定不平行 D.OB与O1B1不一定平行 解析：选D.当∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，与O1A1的方向相同时，由图1知，A，B错误；由图2知，C错误；OB与O1B1不一定平行，D正确．故选D. 6．(多选)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列说法可能成立的是(　　) A.l与AD平行 B．l与AD相交 C.l与AC平行 D．l与BD平行 解析：选CD.假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，这与l与B1C1不平行矛盾，所以l与AD不平行，A不可能成立；又l在上底面中，AD在下底面中，故l与AD无公共点，故l与AD不相交，B不可能成立，由题知，C，D可能成立． 7.(2025·辽阳期末)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是______________． 解析：在△ABC中，因为AE∶EB＝AF∶FC，所以EF∥BC.又因为BC∥B1C1，所以EF∥B1C1. 答案：平行 8．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，BB1的中点，则∠EFG与∠ABC1的关系是________． 解析：因为E，F，G分别为A1C1，B1C1，BB1的中点，所以EF∥A1B1，EF∥AB，FG∥BC1，所以∠EFG与∠ABC1的两边分别对应平行，一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，故∠EFG与∠ABC1互补． 答案：互补 9．(2025·济南期末)如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝，则＝________． 解析：由已知＝＝＝， 可得AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′. 由等角定理得∠CAB＝∠C′A′B′， ∠ACB＝∠A′C′B′， 所以△ABC∽△A′B′C′， 所以＝，所以＝×＝. 答案： 10．(13分) 如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N，P分别为AA1，BB1，CC1的中点．求证：∠MC1N＝∠APB. 证明：因为N，P分别是BB1，CC1的中点，所以BN∥C1P，BN＝C1P， 所以四边形BPC1N为平行四边形，所以C1N∥BP. 同理可证C1M∥AP， 又∠MC1N与∠APB方向相同，所以∠MC1N＝∠APB. 11．已知P是△ABC所在平面外一点，D，E分别是△PAB，△PBC的重心，AC＝a，则DE的长为(　　) A．a B．a C．a D．a 解析：选B.如图，因为D，E分别是△PAB，△PBC的重心，连接PD，PE，并延长，分别交AB，BC于点M，N，则M，N分别为AB，BC的中点，所以DE∥MN且DE＝MN，MN∥AC且MN＝AC，所以DE∥AC且DE＝AC，所以DE＝a.故选B. 12．已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则(　　) A.1<MN<5 B．2<MN<10 C.1≤MN≤5 D．2<MN<5 解析：选A.取AD的中点H，连接MH，NH(图略)，则MH∥BD，且MH＝BD＝3，NH∥AC，且NH＝AC＝2，且M，N，H三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得MH－NH<MN<MH＋NH，即1<MN<5.故选A. 13．(多选)(2025·东营期末)如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中(　　) A.CD∥GH B．AB与EF异面 C.AD∥EF D．AB与CD相交 解析：选ABD.把展开图还原成正方体，如图所示，则点B与D重合，点E与C重合．由正方体的性质得CD∥GH，AB与EF异面，AD与EF异面，AB与CD相交．故选ABD. 14.(13分)如图，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，已知BD＝6. (1)判断MN与BD的位置关系；(9分) (2)求MN的长．(4分) 解：(1)MN∥BD. 理由如下：连接AM，AN并延长分别与BC，CD交于点E，F， 由重心的定义知E，F分别为BC，CD的中点， 连接EF，则EF∥BD，且EF＝BD. 又因为点M为△ABC的重心，点N为△ACD的重心， 所以AM∶ME＝AN∶NF＝2∶1， 所以MN∥EF，且MN＝EF，故MN∥BD. (2)由(1)知，MN＝EF＝BD＝2. 15．(15分)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点(不包括两个端点)，M为线段AP的中点．判断下列结论是否成立，并说明理由． (1)CM与PN是异面直线；(6分) (2)过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形．(9分) 解：(1)不成立．因为在△ACP中，N∈AC，M∈AP，所以A，N，C，P，M共面， 所以CM与PN不是异面直线，而是相交直线． (2)成立．如图所示，作PQ∥AC，交C1D1于点Q，连接CQ，则过P，A，C三点的正方体的截面为四边形ACQP.由题意得PQ<AC，D1P＝D1Q，所以A1P＝C1Q，AP＝＝CQ＝，因此过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形． 学科网（北京）股份有限公司 $