10.1.2 复数的几何意义 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

1．在复平面内，复数z＝－3＋4i对应的点位于(　　) A.第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D．第四象限 解析：选B.依题意，在复平面内，复数z＝－3＋4i对应的点为(－3，4)，位于第二象限． 2．已知i为虚数单位，若复数z＝1－i，则|z|＝(　　) A. B．2 C．4 D．8 解析：选B.|z|＝＝2.故选B. 3．在复平面内，点M对应的复数为－2＋2i(i为虚数单位)，且向量＝(－1，3)，则点N对应的复数为(　　) A.－3＋5i B．－3－5i C.－1－5i D．－1＋5i 解析：选A.设N(x，y)，由题意知M(－2，2)，则由＝(－1，3)，可得(x＋2，y－2)＝(－1，3)，则x＝－3，y＝5，即N(－3，5)，则点N对应的复数为－3＋5i.故选A. 4．已知复数z＝1＋i的共轭复数是，z，在复平面内对应的点分别是A，B，O为坐标原点，则△OAB的面积是(　　) A. B．1 C.2 D．4 解析：选B.复数z＝1＋i，则＝1－i，又z，在复平面内对应的点分别是A，B，所以A(1，1)，B(1，－1)，又O(0，0)，则OA＝，OB＝，AB＝2，可得△OAB是直角边长为的等腰直角三角形，其面积S＝××＝1.故选B. 5．(多选)在复平面内，O为坐标原点，复数z1＝1－ai(a∈R)对应的点Z1满足||＝.点Z与Z1关于实轴对称，则点Z对应的复数z＝(　　) A.1－i B．1＋i C.1－i D．1＋i 解析：选CD.由于复数z1＝1－ai(a∈R)对应的点Z1满足||＝，所以||＝＝，所以a＝±1，Z1(1，1)或Z1(1，－1)，又点Z与Z1关于实轴对称，所以点Z(1，－1)或Z(1，1)，所以复数z为1－i或1＋i.故选CD. 6．(多选)(2025·日照期中)已知复数z＝a2－1＋(a＋1)i，a∈R，则下列结论正确的是(　　) A.若z为纯虚数，则a＝±1 B.若z在复平面内对应的点位于第二象限，则a∈(－1，1) C.若a＝0，则＝－1－i D.若a＝0，则|z|＝1 解析：选BC.对于A，若z为纯虚数，即a2－1＝0且a＋1≠0，则a＝1，故A错误； 对于B，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则解得－1<a<1，即a∈(－1，1)，故B正确； 对于C，若a＝0，则z＝－1＋i，＝－1－i，故C正确； 对于D，若a＝0，则|z|＝，故D错误． 7．在复平面内，已知O为坐标原点，点Z1，Z2分别对应复数z1＝4＋3i，z2＝2a－3i(a∈R)，若⊥，则a＝____________． 解析：因为z1＝4＋3i，z2＝2a－3i(a∈R)，所以＝(4，3)，＝(2a，－3)，因为⊥，所以8a＝9，故a＝. 答案： 8．写出一个满足①模为，②在复平面内对应的点位于第二象限的复数：z＝________________________________________________________. 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝.由于z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a＜0，b＞0.令a＝－2，b＝，则z＝－2＋i(答案不唯一).　 答案：－2＋i(答案不唯一) 9．设复数z＝x＋yi，x，y∈R，且|x|＝|y|，则满足|z|＝1的复数z共有________个． 解析：方法一(代数运算)：由|z|＝1，得x2＋y2＝1.又|x|＝|y|，联立，解得z＝±±i，故满足题意的复数z共有4个． 方法二(几何意义)：由|z|＝1，知复数z在复平面内对应的点构成一个单位圆．又|x|＝|y|，故复数z在复平面内对应的点落在直线y＝±x上，显然直线y＝±x与单位圆有四个交点，故满足题意的复数z共有4个． 答案：4 10．(13分)已知复数z＝(m2＋2m)＋(m2－m－6)i，m∈R，i是虚数单位． (1)若复数z在复平面内对应的点在直线y＝－x上，求m的值；(6分) (2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．(7分) 解：(1)复数z在复平面内对应的点为(m2＋2m，m2－m－6)，所以m2－m－6＝－(m2＋2m)，整理得3m2－12＝0，解得m＝±2. (2)由题意得 解得0＜m＜3，即实数m的取值范围是(0，3). 11．已知复数z在复平面内对应的点与复数3－2i在复平面内对应的点关于虚轴对称，则复数z的共轭复数＝(　　) A.3＋2i B．2－3i C.－3－2i D．－3＋2i 解析：选D.复数3－2i在复平面内对应的点为(3，－2)，其关于虚轴对称的点为(－3，－2)，所以复数z在复平面内对应的点为(－3，－2)，即z＝－3－2i，所以＝－3＋2i. 12．(多选)(2025·北京期中)已知复数z＝cos α＋(sin α)i(α∈R，i为虚数单位)，则下列说法正确的有(　　) A.当α＝－时，复平面内表示复数z的点位于第二象限 B.当α＝时，z为纯虚数 C.|z|的最大值为 D.z的共轭复数为＝－cos α＋(sin α)i 解析：选BC.对于A，当α＝－时，z＝cos (－)＋i＝－i，复平面内复数z对应的点位于第四象限，故A错误；对于B，当α＝时，z＝cos ＋(sin )i＝i，为纯虚数，故B正确；对于C，|z|＝＝，最大值为，故C正确；对于D，z的共轭复数为＝cosα－(sin α)i，故D错误．故选BC. 13．设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，|z1|＝2，z2＝3i，则Z1，Z2两点之间距离的最大值为________． 解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)， 因为|z1|＝2，所以a2＋b2＝4， 因为复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，z2＝3i， 所以Z1(a，b)，Z2(0，3)， 所以|Z1Z2|＝＝， 故当b＝－2时，|Z1Z2|取得最大值， 为＝5. 答案：5 14．(13分)(1)已知z1＝－3＋i，z2＝－－i，求|z1|和|z2|，并比较模的大小．(5分) (2)设z∈C，且满足下列条件，求在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？ ①|z|<3；(4分) ②|z|＝2.(4分) 解：(1)|z1|＝＝， |z2|＝＝，|z1|>|z2|. (2)①由|z|＜3得向量的模小于3，所以复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的圆的内部． ②由|z|＝2得向量的模等于2，所以满足|z|＝2的点Z的集合为以原点O为圆心，2为半径的圆． 15．(15分)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i. (1)求，，对应的复数；(6分) (2)判断△ABC的形状，并求△ABC的面积．(9分)　 解：(1)由题意得A(1，0)，B(2，1)，C(－1，2)， 所以＝(2，1)－(1，0)＝(1，1)，＝(－1，2)－(2，1)＝(－3，1)，＝(－1，2)－(1，0)＝(－2，2)， 所以，，对应的复数分别为1＋i，－3＋i，－2＋2i. (2)因为||＝，||＝，||＝2， 所以||2＋||2＝||2， 所以△ABC为直角三角形，所以S△ABC＝××2＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $