10.1.2 复数的几何意义(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．复数z＝－(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　依题意复数对应的点的坐标为，对应的坐标在第四象限，故选D. 答案　D 2．在复平面内，若复数对应的点的坐标为(1,2)，则z＝(　　 ) A．2＋i B．2－i C．1＋2i D．1－2i 解析　由题意可得＝1＋2i，所以z＝1－2i. 答案　D 3．设复数z在复平面内对应的点为(0，a)，若|z|＝2，则a＝(　　 ) A．2i B．i C．±2 D．± 解析　因为复数z在复平面内对应的点为(0，a)，所以z＝ai. 因为|z|＝2，所以＝2，解得a＝±2. 答案　C 4．在复平面内，复数z对应的点在第四象限，对应向量的模为3，且实部为，则复数z等于(　　 ) A．3－i B．－3i C．＋2i D．－2i 解析　设z＝＋bi(b<0)，则|z|2＝()2＋b2＝32，解得b＝－2，所以z＝－2i. 答案　D 5．复数cos＋isin在复平面内对应的点位于第________象限． 解析　由题意，复数cos＋isin＝－＋i，所以复数cos＋isin在复平面内对应的点位于第二象限． 答案　二 6．复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________． 解析　∵复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与， ∴＝(4,3)，＝(－2，－5)，又＝－＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)， ∴向量表示的复数是－6－8i. 答案　－6－8i 7．已知复数z的虚部为，在复平面内它对应的向量的模为2，且相应的点在第一象限，则这个复数为________． 解析　依题意，设复数z＝x＋i，x>0，则|z|＝＝2，解得x＝±1，而x>0，则x＝1，所以z＝1＋i. 答案　1＋i 8．在复平面内，O是原点，向量对应的复数是3＋i，点A关于虚轴的对称点为B，求向量对应的复数． 解析　向量对应的复数是3＋i，即A(3,1)， 则点A关于虚轴的对称点为B(－3,1)，则向量对应的复数是－3＋i. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中不正确的是(　　) A．z对应的点在第一象限 B．z一定不是纯虚数 C．z对应的点在实轴上方 D．z一定是实数 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)， 则 故a≥－，b>0， 只有C正确． 答案　ABD 10．设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　) A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1 解析　由|z－i|＝1知复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(0,1)为圆心，1为半径的圆，故选C． 答案　C 11．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．若复数z1，z2满足z1>z2，则一定有z1－z2>0 B．若复数z1，z2满足z1－z2>0，则一定有z1>z2 C．若复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z为纯虚数的充要条件是a＝0 D．若复数z满足|z|＝2，则复数z在复平面内对应的点的集合是以坐标原点O为圆心，以2为半径的圆 解析　若复数z1，z2满足z1>z2，则z1，z2是实数，所以z1－z2>0，故A正确；取z1＝2＋i，z2＝1＋i，满足z1－z2>0，但z1，z2不能比较大小，故B错误；若复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0，故C错误；若复数z满足|z|＝2，则复数z在复平面内对应的点的集合是以坐标原点O为圆心，以2为半径的圆，故D正确． 答案　AD 12．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|＝，则的最大值为________． 解析　|z－2|＝ ＝， ∴(x－2)2＋y2＝3， 由图可知max＝＝. 答案　 13．已知m为实数，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i. (1)当复数z为纯虚数时，求m的值； (2)设复数z在复平面内对应的点的坐标为(x，y)，若满足x－y＋7>0，求m的取值范围． 解析　(1)由题意得解得所以m＝－2. (2)复数z在复平面内对应的点的坐标为(x，y)，满足x－y＋7>0， 即(m2＋5m＋6)－(m2－2m－15)＋7>0， 解得m>－4，所以m的取值范围为(－4，＋∞)． [核心价值·探索创新] 14．已知x为实数，复数z＝x－2＋(x＋2)i. (1)当x为何值时，复数z的模最小？ (2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn＞0，求＋的最小值及取得最小值时m，n的值． 解析　(1)由题意得|z|＝＝≥2，显然当x＝0时，复数z的模最小，最小值为2. (2)由(1)知当x＝0时，复数z的模最小， 则Z(－2,2)． 因为点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上， 所以2m＋n＝2. 又mn＞0， 所以＋＝＝＋＋≥＋.当且仅当＝， 即n2＝2m2时等号成立． 又2m＋n＝2且mn＞0，所以当m＝2－，n＝2－2时，＋取最小值＋. 15．已知复数z1＝sin －icos ，z2＝2＋3i. (1)试比较|z1|与|z2|的大小； (2)设z∈C且z在复平面内对应的点为Z，则满足|z1|≤|z|≤|z2|的点Z组成的集合是什么图形？ 解析　(1)∵|z1|＝＝＝，|z2|＝＝， 且＝<，∴|z1|<|z2|. (2)由|z1|≤|z|≤|z2|，得≤|z|≤， 不等式≤|z|≤等价于 ∵满足|z|≤的点Z组成的集合是圆心在原点，半径为的圆及其内部(包括边界)，而|z|≥的点Z组成的集合是圆心在原点，半径为的圆及其外部(包括边界)， ∴满足条件的点Z组成的集合是一个圆环(包括边界). 学科网（北京）股份有限公司 $$