9.2 正弦定理与余弦定理的应用(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固]

1．(多选题)下列说法正确的为(　　)

A．已知三角形的三个角，能够求其三条边

B．两个不可到达的点之间的距离无法求得

C．东偏北45°的方向就是东北方向

D．仰角与俯角所在的平面是铅垂面

解析　已知三角形中至少知道一条边才能解三角形，故A错误．

两个不可到达的点之间的距离可以用解三角形的方法求出，故B错误．C，D正确．

答案　CD

2．(多选题)某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿该方向走了3 km，结果离出发点恰好 km，则x的值为(　　)

A．　　　　　　　　 B．2

C．2  D．3

解析　如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，

由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC．

即()2＝x2＋32－2x·3·cos  30°.

∴x2－3x＋6＝0.解得x＝2或x＝.

答案　AB

3.如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)

A．240(－1) m  B．180(－1) m

C．120(－1) m  D．30(＋1) m

解析　∵sin 75°＝sin(45°＋30°)

＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝，

∴AB＝＝60(－)(m)．

在△ABC中，∠ACB＝30°，∠BAC＝45°，

由正弦定理，得＝，

∴BC＝＝2×60(－)×

＝120(－1)(m)．

答案　C

4．(2024·青海西宁高一期中)如图，小明为了测量一棵老橘红树的高度，他选取与树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得树根部C在西偏北30°的方向上，沿正西方向步行20米到B处，测得树根部C在西偏北75°的方向上，树梢D的仰角为30°，则树的高度是(　　)

A．10 米  B．10 米

C． 米  D． 米

解析　依题意可得如下图形，

在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝20，

由正弦定理，得＝，解得BC＝＝10，

在Rt△BCD中，∠DBC＝30°，

所以CD＝BC·tan 30°＝10×＝.

所以树的高度为 米．

答案　D

5．(2024·云南大理高一期中)如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内．已知飞机在A点时，测得∠MAN＝∠BAN＝30°，在B点时，测得∠ABM＝60°，∠NBM＝75°，AB＝2千米，则 MN＝________.

解析　因为∠MAN＝∠BAN＝30°，∠ABM＝60°，可得△ABM是等边三角形，BM＝2千米．记直线AN与直线BM的交点为O，∠AOB＝180°－∠BAN－∠ABM＝90°，

所以AN⊥BM，O为BM的中点，所以△BMN为等腰三角形，

BN＝MN＝＝，

又cos 75°＝sin 15°＝，

所以MN＝＝(＋)千米．

答案　(＋)千米

6．(2024·福建泉州高一月考)如图，海岸线上有相距5 n mile的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向，海上停泊着两艘货轮，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距3 n mile的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5 n mile的C处，则两货轮的距离为________n mile.