9.2 正弦定理与余弦定理的应用(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列说法正确的为(　　) A．已知三角形的三个角，能够求其三条边 B．两个不可到达的点之间的距离无法求得 C．东偏北45°的方向就是东北方向 D．仰角与俯角所在的平面是铅垂面 解析　已知三角形中至少知道一条边才能解三角形，故A错误． 两个不可到达的点之间的距离可以用解三角形的方法求出，故B错误．C，D正确． 答案　CD 2．(多选题)某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿该方向走了3 km，结果离出发点恰好 km，则x的值为(　　) A．　　　　　　　　 B．2 C．2 D．3 解析　如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°， 由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC． 即()2＝x2＋32－2x·3·cos 30°. ∴x2－3x＋6＝0.解得x＝2或x＝. 答案　AB 3.如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　) A．240(－1) m B．180(－1) m C．120(－1) m D．30(＋1) m 解析　∵sin 75°＝sin(45°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝， ∴AB＝＝60(－)(m)． 在△ABC中，∠ACB＝30°，∠BAC＝45°， 由正弦定理，得＝， ∴BC＝＝2×60(－)× ＝120(－1)(m)． 答案　C 4．(2024·青海西宁高一期中)如图，小明为了测量一棵老橘红树的高度，他选取与树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得树根部C在西偏北30°的方向上，沿正西方向步行20米到B处，测得树根部C在西偏北75°的方向上，树梢D的仰角为30°，则树的高度是(　　) A．10 米 B．10 米 C． 米 D． 米 解析　依题意可得如下图形， 在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝20， 由正弦定理，得＝，解得BC＝＝10， 在Rt△BCD中，∠DBC＝30°， 所以CD＝BC·tan 30°＝10×＝. 所以树的高度为 米． 答案　D 5．(2024·云南大理高一期中)如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内．已知飞机在A点时，测得∠MAN＝∠BAN＝30°，在B点时，测得∠ABM＝60°，∠NBM＝75°，AB＝2千米，则 MN＝________. 解析　因为∠MAN＝∠BAN＝30°，∠ABM＝60°，可得△ABM是等边三角形，BM＝2千米．记直线AN与直线BM的交点为O，∠AOB＝180°－∠BAN－∠ABM＝90°， 所以AN⊥BM，O为BM的中点，所以△BMN为等腰三角形， BN＝MN＝＝， 又cos 75°＝sin 15°＝， 所以MN＝＝(＋)千米． 答案　(＋)千米 6．(2024·福建泉州高一月考)如图，海岸线上有相距5 n mile的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向，海上停泊着两艘货轮，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距3 n mile的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5 n mile的C处，则两货轮的距离为________n mile. 解析　连接AC(图略)，由题意可知AB＝BC＝5，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，所以AC＝5，∠CAD＝45°， 根据余弦定理，可得CD2＝AC2＋AD2－2×AC×AD×cos∠CAD＝25＋18－2×5×3×＝13，所以CD＝. 答案　 7．(2024·安徽合肥高一期中)甲船在B岛的正南方向A处，AB＝10千米，甲船以4千米/小时的速度向正北方向航行，同时，乙船自B岛出发以6千米/小时的速度向北偏东60°的方向驶去，航行时间不超过2.5小时，则当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是________小时． 解析　设经过x小时两船之间的距离为s千米，甲船由A点到达C点，乙船由B点到达D点，则AC＝4x，BC＝10－4x，BD＝6x，∠CBD＝180°－60°＝120°. 由余弦定理可得s2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6x·＝28x2－20x＋100， 当x＝＝<2.5时，s2最小， 则两船之间的距离最小，此时它们航行的时间为小时． 答案　 8．萧县的萧窑、淮南的寿州窑和芜湖的繁昌窑是安徽三大名窑.2015年，安徽省启动对萧县欧盘村窑址的考古发掘，大量瓷器的出土和窑炉遗迹的揭露，将萧窑的历史提溯至隋代．为进一步摸清萧窑窑址的分布状况、时空框架以及文化内涵等，经国家文物局批准，2021年3月，正式对萧县白土寨窑址进行主动性考古发掘．如图，为该地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损．为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：AB＝34.64 cm，AD＝10 cm，BE＝14 cm，A＝B＝.(参考数据：取＝1.732) (1)求三角形瓷器片另外两边的长； (2)求D，E两点之间的距离． 解析　(1)如图， 延长AD，BE交于点C，因为A＝B＝， 所以C＝，故＝＝， ∴AC＝BC＝＝≈＝20 (cm)， 即另外两边的长皆为20 cm. (2)由题意得CD＝20－10＝10，CE＝20－14＝6，C＝， 故DE＝ ＝＝＝14 (cm)， 故D，E两点之间的距离为14 cm. [关键能力·综合提升] 9.如图所示，有一垂直于地面的建筑物OP，为了测量它的高度，在地面上选一长度为40 m的基线AB，若在点A处测得点P的仰角为30°，在点B处测得点P的仰角为45°，且∠AOB＝30°，则建筑物的高度为(　　) A．20 m B．20 m C．20 m D．40 m 解析　设建筑物的高度为h m. 依题意，可得PO⊥OA，PO⊥OB，∠PBO＝45°， ∠PAO＝30°， 所以OB＝OP＝h m，OA＝＝h m. 由余弦定理，可得 AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos∠AOB， 即1 600＝3h2＋h2－3h2，解得h＝40 m， 所以建筑物的高度为40 m. 答案　D 10．(多选题)如图，一辆汽车从A市出发沿海岸一条笔直公路以100 km/h的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市500 km且与海岸距离为300 km的海上B处有一快艇与汽车同时出发，要把一份文件交给这辆汽车的司机，快艇的速度可以为多少(　　) A．60 km/h B．65 km/h C．50 km/h D．70 km/h 解析　如图所示，设快艇以v km/h的速度从B处出发，沿BC方向行驶，t h后与汽车在C处相遇， 在△ABC中，AB＝500 km， AC＝100t km，BC＝vt km， BD为AC边上的高，BD＝300 km. 设∠BAC＝α，则sin α＝，cos α＝. 由余弦定理得 BC2＝AC2＋AB2－2AB·ACcos α， ∴v2t2＝(100t)2＋5002－2×500×100t·， 整理得 v2＝－＋10 000 ＝250 000－·＋2＋10 000－ ＝250 0002＋3600. 当＝，即t＝时，v＝3600，vmin＝60. 所以要想把文件交给汽车的司机，快艇的速度要不低于60 km/h. 答案　ABD 11．小赵想利用正弦定理的知识测量某钟塔的高度，他在该钟塔塔底B点的正西处的C点测得该钟塔塔顶A点的仰角为30°，然后沿着东偏南67°的方向行进了180.8 m后到达D点(B，C，D三点处于同一水平面)，且B点在D点北偏东37°方向上，则该钟塔的高度为________ m．(参考数据：取sin 53°＝0.8) 解析　如图，∠BCD＝67°，∠CDB＝90°－67°＋37°＝60°，则∠CBD＝180°－60°－67°＝53°. 由正弦定理＝，得BC＝＝， 所以AB＝BC·tan 30°＝·tan 30°＝＝113 m. 答案　113 12. 在一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以72千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图．第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30°，则直升机飞行的高度为________千米．(结果保留根号) 解析　如图，根据已知可得∠ABF＝60°，∠CBF＝75°，∠CBD＝30°. 设飞行高度为x千米，即CD＝x千米，则BC＝x千米． 在Rt△CFB中，∠CBF＝75°，BC＝x千米， 所以CF＝xsin 75°，BF＝xcos 75°. 在Rt△ABF中，AF＝3xcos 75°. 因为飞行速度为72千米/小时，飞行时间是1分钟，所以ED＝AC＝＝千米，所以AF＋CF＝3xcos 75°＋xsin 75°＝AC＝，解得x＝千米， 故直升机飞行的高度为千米． 答案　 13.如图，某海轮以60 n mile/h的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°方向，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°方向，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离． 解析　由题意知AB＝60×＝40，∠BAP＝180°－60°＝120°，∠ABP＝30°，所以∠APB＝30°，AP＝AB＝40， 在△ABP中，由余弦定理，得BP2＝AB2＋AP2－2AP·AB·cos 120°＝402＋402－2×40× 40×＝402×3， 所以BP＝40. 又∠PBC＝90°，BC＝60×＝80， 所以PC2＝BP2＋BC2＝(40)2＋802＝11 200， 所以PC＝40， 即P，C间的距离为40 n mile. [核心价值·探索创新] 14．如图，AB是底部不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，某同学选择地面CD作为水平基线，使得C，D，B在同一直线上，在C，D两点用测角仪器测得A点的仰角分别是45°和75°，CD＝10，则建筑物AB的高度为(　　) A．5＋5 B． C．5 D． 解析　在△ACD中，根据正弦定理可得AD＝＝＝10， 在Rt△ABD中， AB＝ADsin 75° ＝10(sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°) ＝10×＝5＋5，故选A． 答案　A 15．某人沿一条折线段组成的小路前进，从A到B，方位角(从正北方向顺时针转到AB方向所成的角)是50°，距离是1 km；从B到C，方位角是110°，距离是1 km；从C到D，方位角是140°，距离是(3＋) km.求从A到D的方位角及从A到D的距离． 解析　如图所示，连接AC． 在△ABC中，∠ABC＝50°＋(180°－110°)＝120°. 又AB＝BC＝1 km，∴∠BAC＝∠BCA＝30°. 由余弦定理得 AC＝＝ km. 在△ACD中，∠ACD＝360°－140°－70°－30°＝120°，CD＝(3＋) km， 由余弦定理得， AD＝＝＝ km. ∴A到D的距离为 km. 在△ACD中，由正弦定理得sin ∠CAD＝＝， ∴∠CAD＝45°，于是A到D的方位角为50°＋30°＋45°＝125°. 学科网（北京）股份有限公司 $$