9.1.1 第1课时 正弦定理的概念 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝60°，B＝45°，b＝2，则a的值为(　　) A． B．2 C．2 D．4 解析：选C.由正弦定理＝得a＝＝＝2. 2．(2025·大连月考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝4c，B＝，则sin C＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.由正弦定理得，＝＝，则sin C＝sin B＝×＝. 3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝2B，2a＝3b，则cos B＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.因为2a＝3b，由正弦定理得2sin A＝3sin B，又A＝2B，所以2sin 2B＝3sin B，所以4sin B cos B＝3sin B，因为B为三角形内角，所以sin B≠0，所以4cos B＝3，所以cos B＝. 4．(2025·沈阳期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，a＝，则＝(　　) A． B． C． D．2 解析：选D.由正弦定理得2R＝＝2(R为△ABC外接圆半径)，所以a＝2R sin A＝2sin A，b＝2R sin B＝2sin B，所以＝＝2. 5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，c＝2，A＝，sin B＝2sin C，则△ABC的面积为(　　) A． B．2 C．2 D．4 解析：选B.由正弦定理得b＝2c＝4，由三角形面积公式得S＝bc sin A＝×4×2×＝2.故选B. 6．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的有(　　) A．A∶B∶C＝ a∶b∶c B．＝ C．若A>B，则a>b D．若sin A>sin B，则a>b 解析：选BCD.由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，所以A错误． 因为＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)，所以＝＝2R＝，所以B正确． 在三角形中，大角对大边，所以C正确． 若sin A>sin B，由正弦定理可得＝>1，所以a>b，所以D正确．故选BCD. 7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c＝__________． 解析：在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶1∶4，所以内角A，B，C分别为30°，30°，120°，所以a∶b∶c＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°＝1∶1∶. 答案：1∶1∶ 8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b＝4.若A＋C＝120°，且a＝2c，则c＝________． 解析：依题意，a＝2c，由正弦定理得sin A＝2sin C， 即sin (120°－C)＝2sin C， cos C＋sin C＝2sin C，tan C＝， 由于0°<C<120°，所以C＝30°， 则A＝90°，B＝60°， 由正弦定理得＝， 所以c＝＝＝. 答案： 9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝a cos C＋c sin A，则A＝________．　 解析：因为b＝a cos C＋c sin A，由正弦定理得sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝sin Acos C＋sin C sin A，所以cos A sin C＝sin C sin A，因为sin C≠0，可得tan A＝，又A∈(0，π)，所以A＝. 答案： 10．(13分)(2023·天津卷节选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝，b＝2，A＝120°. (1)求sin B的值；(6分) (2)求c的值．(7分) 解：(1)在△ABC中，由正弦定理得＝，则sin B＝＝＝. (2)由(1)知sin B＝.因为A为钝角，所以B为锐角，所以cos B＝，所以sin C＝sin (180°－120°－B)＝sin (60°－B)＝×－×＝.在△ABC中，由正弦定理得＝，所以c＝＝＝5. 11．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos A sin C，则下列等式成立的是(　　) A．a＝2b B．b＝2a C．A＝2B D．B＝2A 解析：选A.由已知可得sin B＋2sin B cos C＝sin A·cos C＋(sin A cos C＋cos A sin C)＝sin Acos C＋sin (A＋C)＝sin A cos C＋sin B，所以2sin B cos C＝sin A cos C，因为0<C<π，所以C＝或sin A＝2sin B，即C＝或a＝2b.又△ABC为锐角三角形，所以a＝2b.故选A. 12．(多选)(2025·日照月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.sin C＋sin (A－B)＝3sin 2B，C＝，则＝(　　) A． B． C．2 D．3 解析：选BD.因为A＋B＝π－C， 所以sin C＝sin (π－C)＝sin (A＋B)＝sin Acos B＋cos A sin B 又sin C＋sin (A－B)＝3sin 2B， 所以2sin A cos B＝6sin B cos B， 即2cos B(sin A－3sin B)＝0， 解得cos B＝0或sin A＝3sin B 当cos B＝0时，因为B∈(0，π)， 所以B＝.又C＝，所以A＝， 则sin A＝，sin B＝1， 所以由正弦定理得＝＝； 当sin A＝3sin B时，由正弦定理得a＝3b，所以＝3. 综上所述，＝3或＝. 13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆的面积为________．　 解析：在△ABC中，A＝75°，B＝45°，所以C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆的半径为R，则由正弦定理，可得2R＝＝＝2，解得R＝1，故△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝π. 答案：π 14．(13分)在△ABC中，已知tan A＝，tan B＝.若 △ABC最长边的长为，求最短边的长． 解：因为在△ABC中，tan A＝，tan B＝， 所以tan C＝－tan (A＋B)＝－＝－＝－1，因为C∈(0，π)， 所以C＝，即C为最大角，c为最长边，A与B都为锐角，因为tan A<tan B，所以A<B， 即A为最小角，a为最短边， 所以cos2A＝＝， sinA＝＝. 由正弦定理＝，得＝，解得 a＝. 15．(15分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan C＝，sin (B－A)＝cos C. (1)求A，B，C；(7分) (2)若S△ABC＝3＋，求a，c.(8分) 解：(1)因为tan C＝， 即＝， 所以sin C cos A＋sin C cos B＝cos C sin A＋cos Csin B， 所以sin C cos A－cos C sin A＝cos C sin B－sin Ccos B， 得sin (C－A)＝sin (B－C)， 所以C－A＝B－C或C－A＝π－(B－C)(不符合题意，舍去). 所以2C＝A＋B，所以C＝，所以B＋A＝. 因为sin (B－A)＝cos C＝， 所以B－A＝或B－A＝(不符合题意，舍去). 所以A＝，B＝，C＝. (2)S△ABC＝ac sin B＝ac＝3＋， 又＝，即＝， 两式联立得a＝2，c＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $