第9章 培优课 概率与统计的综合问题-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦概率与统计综合问题，涵盖回归分析与独立性检验、概率统计交汇等题型，通过环境监测、机床加工等现实案例导入，衔接样本相关系数、卡方检验等基础知识点，构建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，如汽车流量与PM2.5浓度关联分析；通过公式推导和逻辑推理发展数学思维，如相关系数计算、概率分布推导；用列联表、分布表等数学语言表达问题。实例丰富且贴近生活，助力学生提升数据意识与模型观念，教师可借助通性通法总结高效开展教学。

培优课　概率与统计的综合问题 1 题型一｜回归分析与独立性检验交汇 【例1】　环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统 计每日过往的汽车流量x（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度y（单 位：μg/m3）.调研人员采集了50天的数据，制作了关于（xi，yi）（i＝ 1，2，3，…，50）的散点图，并用直线x＝1 500与y＝100将散点图分成 如图所示的四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入对应区域的样本点的个数依次为 6，20，16，8. 数学·选择性必修第二册（SJ） （1）完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“PM2.5平均 浓度不小于100 μg/m3”与“汽车日流量不小于1 500辆”有关联？ 汽车日流量 x＜1 500 汽车日流量 x≥1 500 合计 PM2.5的平均 浓度y＜100 PM2.5的平均 浓度y≥100 合计 数学·选择性必修第二册（SJ） 解：2×2列联表如下： 汽车日流量 x＜1 500 汽车日流量 x≥1 500 合计 PM2.5的平均 浓度y＜100 16 8 24 PM2.5的平均 浓度y≥100 6 20 26 合计 22 28 50 数学·选择性必修第二册（SJ） 原假设为H0：“PM2.5平均浓度不小于100 μg/m3”与“汽车日流量不小 于1 500辆”无关， 因为χ2＝ ≈9.62＞6.635， 所以有99%的把握认为“PM2.5平均浓度不小于100 μg/m3”与“汽车日流 量不小于1 500辆”有关. 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）经计算得经验回归方程为 ＝0.12x－73.36，且这50天的汽车日流 量x的标准差sx＝252，PM2.5的平均浓度y的标准差sy＝36.求样本相关系 数r（若｜r｜≥0.75，则认为y与x有较强的线性相关性），并判断该经 验回归方程是否有价值. 参考公式：χ2＝ ，其中n＝a＋b＋c＋d. P（χ2≥x0） 0.100 0.050 0.010 0.001 x0 2.706 3.841 6.635 10.828 数学·选择性必修第二册（SJ） 经验回归方程 ＝ ＋ x，其中 ＝ ，样本相关系数r＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 解：因为经验回归方程为 ＝0.12x－73.36，所以 ＝ ＝0.12， 又因为 ＝252， ＝36， 数学·选择性必修第二册（SJ） 所以r＝ ＝ · ＝0.12× ＝0.84. 因为｜r｜＝0.84＞0.75，所以y与x有较强的线性相关性， 所以该经验回归方程有价值. 数学·选择性必修第二册（SJ） 通性通法 　　此类题型只需遵循回归分析的步骤，运用独立性检验的原理，掌握好 计算公式、表格的整理与读取即可. 数学·选择性必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸X（单 位：cm）及个数Y如下表： 零件尺寸X 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 零件个数Y 甲 6 14 17 17 6 乙 m 8 8 8 22 由表中数据得Y关于X的经验回归方程为 ＝－171.7＋190X （1.01≤X≤1.05），其中合格零件尺寸为1.03±0.01 cm. 数学·选择性必修第二册（SJ） （1）求m的值； 解：依题意，得 ＝1.03， ＝ ， 由 ＝－171.7＋190X，得 ＝－171.7＋190×1.03，解得m＝14， 所以m的值为14. 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）判断是否有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙机床有关联？ 附：χ2＝ ，n＝a＋b＋c＋d. P（χ2≥x0） 0.10 0.05 0.01 x0 2.706 3.841 6.635 数学·选择性必修第二册（SJ） 解：由于合格零件尺寸为1.03±0.01 cm， 所以甲、乙机床加工的合格与不合格零件的2×2列联表为： 合格零件数 不合格零件数 合计 甲 48 12 60 乙 24 36 60 合计 72 48 120 原假设为H0：加工零件的质量与甲、乙机床无关， 根据以上数据得，χ2＝ ＝20＞6.635， 所以有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙机床有关. 数学·选择性必修第二册（SJ） 题型二｜回归分析与概率、统计交汇 【例2】　数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面 上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每 一个粗线宫（3×3）内的数字均含1～9，且不重复.数独爱好者小明打算报 名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛. 数学·选择性必修第二册（SJ） （1）赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y（秒/题）与 训练天数x（天）有关，经统计得到如下数据： x（天） 1 2 3 4 5 6 7 y（秒/题） 910 800 600 440 300 240 210 现用 ＝ ＋ 作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程 （ ， 用分数表示）； 数学·选择性必修第二册（SJ） 解： 因为 ＝ ＋ ，令ti＝ ，则 ＝ ＋ t. 因为 ＝ ＝500， 所以 ＝ ＝ ＝ ＝ ， 所以 ＝ － ＝500－ ×0.37＝ ， 所以 ＝ ＋ t， 所以所求回归方程为 ＝ ＋ . 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出 题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛.若小明每局获胜 的概率为 ，且各局之间相互独立，设比赛X局后结束，求随机变量X的概 率分布及均值. 参考数据（其中ti＝ ）： tiyi －7 1 750 0.37 0.55 数学·选择性必修第二册（SJ） 参考公式：对于一组数据（μ1，ν1），（μ2，ν2），…，（μn，νn）， 其经验回归方程 ＝ ＋ μ的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ＝ ， ＝ － . 数学·选择性必修第二册（SJ） 解： 随机变量X的所有可能取值为3，4，5， P（X＝3）＝（ ）3＋（ ）3＝ ， P（X＝4）＝ （ ）2× × ＋ （ ）2× × ＝ ， P（X＝5）＝ （ ）2×（ ）2× ＋ （ ）2×（ ）2× ＝ . 所以随机变量X的概率分布为 X 3 4 5 P ​ ​ ​ E（X）＝3× ＋4× ＋5× ＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 通性通法 回归分析与概率、统计交汇问题的解题思路 （1）此类问题的特点为：同一生活实践情境下设计两类问题，即：①求经 验回归方程（预测）；②求某随机变量的概率、均值、方差等； （2）充分利用题目中提供的成对样本数据（散点图）做出判断，确定是线 性问题还是非线性问题.求解时要充分利用已知数据，合理利用变形公式， 以达到快速准确运算的目的； （3）明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型. 数学·选择性必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为 调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近 的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据 （xi，yi）（i＝1，2，…，20），其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆 盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：只），并计算得 ＝80， ＝9 000， （xi－ ）（yi－ ）＝ 800. 数学·选择性必修第二册（SJ） （1）求样本（xi，yi）（i＝1，2，…，20）的样本相关系数（精确到 0.01），并推断这种野生动物的数量y（单位：只）和植物覆盖面积x（单 位：公顷）的相关程度； 解： 样本（xi，yi）（i＝1，2，…， 20）的样本相关系数为 r＝ ＝ ＝ ≈0.94. 由于样本相关系数｜r｜的值越大，相关性越强. 故r＝0.94∈[0.75，1]，相关性很强. 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从 20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区 的个数为X，求随机变量X的概率分布. 附：样本相关系数r＝ ， ≈1.414 数学·选择性必修第二册（SJ） 解： 由题意得X的可能取值为0，1，2， 20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，有12个样区的 这种野生动物数量不低于样本平均数， 所以P（X＝0）＝ ＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ＝ ，P（X ＝2）＝ ＝ ＝ ， 所以X的概率分布为 X 0 1 2 P ​ ​ ​ 数学·选择性必修第二册（SJ） 题型三｜独立性检验与概率、统计交汇 【例3】　某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人.为 调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集 300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）. （1）应收集多少位女生的样本数据？ 解： 300× ＝90，所以应收集 90位女生的样本数据. 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率直方 图（如图所示），其中样本数据的分组区间为[0，2]，（2，4]，（4， 6]，（6，8]，（8，10]，（10，12].估计该校学生每周平均体育运动时间 超过4小时的概率； 解： 由频率直方图得该校学生每周 平均体育运动时间超过4小时的频率为1 －2×（0.100＋0.025）＝0.75， 所以估计该校学生每周平均体育运动时 间超过4小时的概率为0.75. 数学·选择性必修第二册（SJ） （3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请 列出每周平均体育运动时间与性别的2×2列联表，并判断是否有95%的把 握认为该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关联？ 附：χ2＝ ，n＝a＋b＋c＋d. P（χ2≥x0） 0.10 0.05 0.010 0.005 x0 2.706 3.841 6.635 7.879 数学·选择性必修第二册（SJ） 解：由（2）知，300位学生中有300×0.75＝225位学生的每周平均体育 运动时间超过4小时，75位学生的每周平均体育运动时间不超过4小时. 又因为样本数据中有210个是关于男生的，90个是关于女生的，且有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，所以每周平均体育运动时间与性别的2×2列联表如下： 男生 女生 合计 不超过4小时 45 30 75 超过4小时 165 60 225 合计 210 90 300 数学·选择性必修第二册（SJ） 原假设为H0：该校学生的每周平均体育运动时间与性别无关联. 结合2×2列联表可得χ2＝ ＝ ≈4.762＞3.841. 所以有95%的把握认为该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关联. 数学·选择性必修第二册（SJ） 通性通法 独立性检验与概率、统计交汇问题的解题思路 　　本类题目以生活题材为背景，涉及独立性检验及概率问题的综合，解 决该类问题首先收集数据列出2×2列联表，并按照公式求得χ2的值后进行 比较，其次再按照随机变量满足的概率模型求解. 数学·选择性必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 在第十四届全国人民代表大会常务委员会第六次会议上教育部关于考试招 生制度改革情况的报告中提出：改革考试内容和形式，实现从“考知识” 向“考能力素养”转变；探索拔尖创新人才超常规选鉴通道，设立清华大 学数学科学领军人才培养计划、北京大学物理卓越人才培养计划等专项计 划，推进拔尖创新人才选拔培养.为此，各地区高中积极推进“强基计划” 的落实，“强基培训”成为学生们热爱的课程之一.某高中随机调研了本校 2024年参加高考的90位考生是否参加“强基培训”的情况，经统计，“强 基培训”与性别情况如下表：（单位：人） 参加“强基培训” 不参加“强基培训” 男生 25 35 女生 5 25 数学·选择性必修第二册（SJ） （1）根据表中数据判断是否有95%的把握认为参加“强基培训”与性别有 关联？ 解： 原假设为H0：参加“强基培训”与性别无关联， 由题意，χ2＝ ＝5.625＞3.841， 所以有95%的把握认为参加“强基培训”与性别有关联. 参加“强基培训” 不参加“强基培训” 男生 25 35 女生 5 25 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）用样本估计总体，用本次调研中样本的频率代替概率，从2024年本市 考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中参加“强基培训”的人数为X，求 X的概率分布及数学期望E（X）. 附：χ2＝ ，n＝a＋b＋c＋d. P（χ2≥x0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 数学·选择性必修第二册（SJ） 解： 由题意知，考生参加“强基培训”的概率P＝ ＝ ，不参加 “强基培训”的概率为 ， 结合题意知X的可能取值为0，1，2，3，则X～B（3， ）， P（X＝0）＝（ ）3＝ ， P（X＝1）＝ × ×（ ）2＝ ， P（X＝2）＝ ×（ ）2× ＝ ， P（X＝3）＝（ ）3＝ ， 数学·选择性必修第二册（SJ） X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 由X～B（3， ），得数学期望E（X）＝3× ＝1. 所以X的概率分布为 数学·选择性必修第二册（SJ） 课时作业 课时作业 1. 某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了 人工智能、语音识别、互动娱乐和教育等内容，且云端内容可以持续更 新，旨在通过趣味性和互动性帮助孩子学习和发展.萌宠机器人一投放市场 就受到了很多家长欢迎，为了更好地服务广大家长，该公司对萌宠机器人 的某个性能指数x（0＜x≤10）与孩子的喜爱程度y（0≤y≤1）进行统计 调查，得到如下数据表： x 5 6 7 8 9 y 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70 1 2 3 4 数学·选择性必修第二册（SJ） （1）请根据上表提供的数据，通过计算变量x，y的样本相关系数r，回 答是否可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强（当｜r｜ ∈[0.75，1]时，x与y相关性很强）； 解： 由表知， ＝ ＝7， ＝ ＝0.6， （xi－ ）（yi－ ）＝（5－7）×（0.55－0.6）＋（6－7）×（0.50 －0.6）＋（7－7）×（0.60－0.6）＋（8－7）×（0.65－0.6）＋（9－ 7）×（0.70－0.6）＝0.45， 1 2 3 4 数学·选择性必修第二册（SJ） （xi－ ）2＝（5－7）2＋（6－7）2＋（7－7）2＋（8－7）2＋（9－ 7）2＝10， （yi－ ）2＝（0.55－0.6）2＋（0.50－0.6）2＋（0.60－0.6）2＋ （0.65－0.6）2＋（0.70－0.6）2＝0.025， 则r＝ ＝ ＝0.9∈[0.75，1]， 由此可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强. 1 2 3 4 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）机器人的交互性很强，孩子可以通过输入语音给机器人发布执行指 令.机器人执行命令的正确率为90%，出错率为10%.当机器人正确执行命 令时，使用者满意的概率为80%；当机器人执行出错时，使用者满意的概 率为30%.如果使用者对某次命令执行结果表示不满意，求机器人实际正确 执行命令的概率是多少？ 参考公式：样本相关系数r＝ . 1 2 3 4 数学·选择性必修第二册（SJ） 解： 设事件A1为“机器人执行命令正确”，事件A2为“机器人执行 命令错误”，事件B为“使用者不满意”， 则P（A1）＝90%＝0.9，P（A2）＝10%＝0.1， P（B｜A1）＝1－80%＝0.2，P（B｜A2）＝1－30%＝0.7， 则P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＝0.9×0.2＋ 0.1×0.7＝0.25， 所以P（A1｜B）＝ ＝ ＝ ＝0.72. 1 2 3 4 数学·选择性必修第二册（SJ） 2. 据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左右发射任 务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务， 多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近70 次宇航发射任务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务.由于航 天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航 天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏 零件数进行了统计，数据如下： 飞行距离x（kkm） 56 63 71 79 90 102 110 117 损坏零件数y（个） 61 73 90 105 119 136 149 163 参考数据： ＝86， ＝112， xiyi＝82 743， ＝62 680. 1 2 3 4 数学·选择性必修第二册（SJ） （1）建立y关于x的回归模型 ＝ x＋ ，根据所给数据及回归模型，求 y关于x的经验回归方程（ 精确到0.1， 精确到1）； 解：由题意得 ＝ ＝ ＝ ≈1.6， 则 ＝112－1.6×86≈－26， 所以 ＝1.6x－26. 1 2 3 4 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进 行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报 废，其中保养过的推进器占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并 判断是否有99%的把握认为推进器是否报废与保养有关？ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 1 2 3 4 数学·选择性必修第二册（SJ） 附：经验回归方程 ＝ x＋ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ＝ ， ＝ － ，χ2＝ ，n＝a ＋b＋c＋d. P（χ2≥x0） 0.1 0.05 0.01 0.001 x0 2.706 3.841 6.635 10.828 1 2 3 4 数学·选择性必修第二册（SJ） 解： 原假设为H0：推进器是否报废与保养无关， 由题意，报废推进器中保养过的共20×30%＝6（台），未保养的推进器共 20－6＝14（台）， 补全2×2列联表如下： 保养 未保养 合计 报废 6 14 20 未报废 54 26 80 合计 60 40 100 则χ2＝ ＝ ＝9.375＞6.635， 所以有99%的把握认为推进器是否报废与保养有关. 1 2 3 4 数学·选择性必修第二册（SJ） 3. 某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一 次模具加工大赛，学生小明、小红打算报名参加大赛.赛前，小明、小红分 别进行了为期一周的封闭强化训练，下表记录了两人在封闭强化训练期间 每天加工模具成功的次数，其中小明第7天的成功次数a忘了记录，但知道 36≤a≤55，a∈Z（yi，zi分别表示小明、小红第i天的成功次数）. 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 序号x 1 2 3 4 5 6 7 小明成功 次数（y） 16 20 20 25 30 36 a 小红成功 次数（z） 16 22 25 26 32 35 35 1 2 3 4 数学·选择性必修第二册（SJ） （1）求这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率； 解：因为36≤a≤55，且a∈Z，所以a的取值共有55－36＋1＝20种情况， yi，zi分别表示小明、小红第i天成功次数， 又当小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时， yi＋a≥ zi， 即16＋20＋20＋25＋30＋36＋a≥16＋22＋25＋26＋32＋35＋35，得 a≥44， 又36≤a≤55，所以44≤a≤55，且a∈Z， 所以小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，a的取值共有55－44 ＋1＝12种情况， 所以这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率为 ＝ . 1 2 3 4 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）根据小明这7天内前6天的成功次数，求其成功次数y关于序号x的经 验回归方程，并估计小明第七天成功次数a的值. 参考公式：经验回归方程 ＝ x＋ 中斜率与截距的最小二乘估计公式分 别为： ＝ ＝ ， ＝ － . 参考数据：1×16＋2×20＋3×20＋4×25＋5×30＋6×36＝582；12＋22＋ 32＋42＋52＋62＝91. 1 2 3 4 数学·选择性必修第二册（SJ） 解：由题设可知： xiyi＝1×16＋2×20＋3×20＋4×25＋5×30＋ 6×36＝582， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， 所以 ＝ ＝ ， ＝ － ＝ － × ＝11， 所以成功次数y关于序号x的经验回归方程为 ＝ x＋11. 当x＝7时， ＝ ×7＋11＝38， 估计小明第7天成功次数a的值为38. 1 2 3 4 数学·选择性必修第二册（SJ） 4. 为了调查某地区成年人血液的一项指标，现随机抽取了成年男性、女性 各20人组成一个样本，对他们的这项血液指标进行了检测，得到了如下数 据.根据医学相关知识，我们认为此项指标大于40为偏高，反之即为正常. 男性 ：5　7　9　8　18　19　21　23　27　29 25　 32　 34　 35　 37　 38　 41　 42　 47　 54 女性：13　 14　 21　 25　 25　 28　 31　 32　 34　 35 38　 40　 43　 47　 48　 49　 52　 55　 56　 57 1 2 3 4 数学·选择性必修第二册（SJ） （1）依据样本数据研究此项血液指标与性别的关系，列出2×2列联表，并 判断是否有99%的把握认为此项血液指标与性别有关联； 解： 由题中数据可得2×2列联表为 正常 偏高 合计 男性 16 4 20 女性 12 8 20 合计 28 12 40 χ2＝ ≈1.905＜6.635，所以没有99%的把握认为此项血液 指标与性别有关联. 1 2 3 4 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）以样本估计总体，视样本频率为概率，现从本地区随机抽取成年男 性、女性各2人，求此项血液指标为正常的人数X的概率分布及数学期望. 附：χ2＝ ，其中n＝a＋b＋c＋d. P（χ2≥x0） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 1 2 3 4 数学·选择性必修第二册（SJ） 解： 由样本数据可知，男性此项血液指标正常的概率为 ，女性此项 血液指标正常的概率为 .抽取的人中此项血液指标为正常的人数X的可能 取值为0，1，2，3，4. P（X＝0）＝（1－ ）2×（1－ ）2＝ ， P（X＝1）＝ × ×（1－ ）×（1－ ）2＋（1－ ）2× × ×（1 － ）＝ ， 1 2 3 4 数学·选择性必修第二册（SJ） P（X＝2）＝（ ）2×（1－ ）2＋ × ×（1－ ）× × ×（1－ ）＋（1－ ）2×（ ）2＝ ， P（X＝3）＝ × ×（1－ ）×（ ）2＋（ ）2× × ×（1－ ） ＝ ，P（X＝4）＝（ ）2×（ ）2＝ . 所以随机变量X的概率分布为 1 2 3 4 数学·选择性必修第二册（SJ） X 0 1 2 3 4 P ​ ​ ​ ​ ​ 所以E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ ， 因此此项血液指标为正常的人数X的数学期望为 . 1 2 3 4 数学·选择性必修第二册（SJ） $