8.2.2 第1课时 离散型随机变量的均值-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的均值，通过福利彩票情境导入，引导学生从实际问题出发，衔接概率分布知识，构建从具体实例到抽象定义的学习支架，帮助学生理解均值的意义、性质及计算方法。 其亮点在于情境化设计与分层训练结合，以猜歌名、投资决策等实例落实数学抽象、数学建模素养，通过通性通法总结和跟踪训练强化数学运算能力，助力学生提升实际问题解决能力，为教师提供系统的教学资源和清晰的教学思路。

第1课时　离散型随机变量的均值 1 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值的意义和性质（数学抽象）. 2.会根据离散型随机变量的概率分布求出均值（数学运算）. 3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题（数学建模、数据分析）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　某种福利彩票每张面值2元，购买者可从0，1，2，…，9这十个数字中 选择3个数字（可以重复）.当所选3个数字与随机摇出的开奖号码数字及顺 序均相同时，可以获得500元奖金. 【问题】　如果你长期购买这种彩票，平均每张彩票的中奖金额是多少， 你的整体收益状况如何？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点　离散型随机变量的均值 1. 定义：一般地，随机变量X的概率分布如表所示， X x1 x2 … xn 概率p p1 p2 … pn 其中pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1.我们将 ⁠ 称为随机变量X的均值或数学期望，记为E（X）或μ. p1x1＋p2x2 ＋…＋pnxn　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 　　提醒：（1）均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均数； （2）离散型随机变量的均值E（X）是一个数值，是随机变量X本身固有 的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 性质：一般地，对于随机变量X和常数a，b，有E（aX－b）＝aE （X）－b. 特别地，E（X＋b）＝E（X）＋b，E（aX）＝aE（X）. 【想一想】 若随机变量X服从两点分布且P（X＝1）＝p，则X的均值是多少？ 提示：E（X）＝1×p＋0×（1－p）＝p. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）随机变量X的均值E（X）是个变量，其随X的变化而变化. （　×　） （2）随机变量的均值E（X）反映了X取值的平均水平. （　√　） （3）若随机变量X的均值E（X）＝2，则E（2X）＝4. （　√　） （4）若随机变量X服从两点分布，则E（X）＝P（X＝1）. （　√　） × √ √ √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知随机变量X的概率分布如下： X －1 0 1 P 0.5 0.3 0.2 则E（X）＝ ⁠. 解析：E（X）＝（－1）×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3. 3. 设E（X）＝5，则E（2X＋10）＝ ⁠. 解析：E（2X＋10）＝2×E（X）＋10＝20. －0.3 20 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜求离散型随机变量的均值 【例1】　（链接教科书第119页练习1题）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律 制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独 立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表 所示： 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1 000 2 000 3 000 规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜 下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的概率分布及均值. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：分别用A，B，C表示事件猜对歌曲A，B，C的歌名，则A，B，C相 互独立. P（X＝0）＝P（ ）＝0.2， P（X＝1 000）＝P（A ）＝0.8×0.4＝0.32， P（X＝3 000）＝P（AB ）＝0.8×0.6×0.6＝0.288， P（X＝6 000）＝P（ABC）＝0.8×0.6×0.4＝0.192. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 X的均值E（X）＝0×0.2＋1 000×0.32＋3 000×0.288＋6 000×0.192＝ 2 336. X 0 1 000 3 000 6 000 P 0.2 0.32 0.288 0.192 X的概率分布为 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 求随机变量X的均值的方法和步骤 （1）理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值； （2）求出X取每个值的概率P（X＝k）； （3）写出X的概率分布； （4）利用均值的定义求E（X）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　袋中有4个红球，3个黑球，现从袋中随机取出4个球，设取到一个红球得 2分，取到一个黑球得1分，试求得分X的均值. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：取出4个球颜色及得分情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分， 1红3黑得5分，因此，X的可能取值为5，6，7，8， P（X＝5）＝ ＝ ，P（X＝6）＝ ＝ ， P（X＝7）＝ ＝ ，P（X＝8）＝ ＝ ， 故X的概率分布为： X 5 6 7 8 P ​ ​ ​ ​ ∴E（X）＝5× ＋6× ＋7× ＋8× ＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜离散型随机变量均值的性质 【例2】　（1）若X的概率分布为： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 证明：E（aX＋b）＝aE（X）＋b； 解： 证明：E（aX＋b）＝（ax1＋b）p1＋（ax2＋b）p2＋…＋ （axn＋b）pn＝a（x1p1＋x2p2＋…＋xnpn）＋b（p1＋p2＋…＋pn）＝ aE（X）＋b. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）根据（1）的结论，若X的概率分布为： X －2 －1 0 1 2 P m 且Y＝－2X，求E（Y）. 解：由随机变量概率分布的性质，得 ＋ ＋ ＋m＋ ＝1，解得m＝ ， 故E（X）＝（－2）× ＋（－1）× ＋0× ＋1× ＋2× ＝－ . 由Y＝－2X，得E（Y）＝－2E（X）＝－2×（－ ）＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【母题探究】 　（变设问）本例（2）条件不变，若将“Y＝－2X”改为ξ＝aX＋3，且 E（ξ）＝－ ，求a的值. 解：因为E（ξ）＝E（aX＋3）＝aE（X）＋3＝－ a＋3＝－ ，所以 a＝15. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 求线性关系的随机变量Y＝aX＋b的均值方法 （1）定义法：先列出Y的概率分布，再求均值； （2）性质法：直接套用公式E（Y）＝E（aX＋b）＝aE（X）＋b求解 即可. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超过4 km时车费为10元，若 行驶路程超出4 km，则按每超出1 km加收2元计费（超出不足1 km的部分 按1 km计）.从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km.某司机经常驾 车在机场与此宾馆之间接送旅客，途中停车时间要转换成行车路程（这个 城市规定，每停车5分钟按1 km路程计费），这个司机一次接送旅客的行车 路程ξ是一个随机变量.设他所收车费为η. （1）求车费η关于行车路程ξ的关系式； 解： 依题意得，η＝2（ξ－4）＋10，即η＝2ξ＋2，ξ∈N. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）若随机变量ξ的分布列为 ξ 15 16 17 18 P 0.1 0.5 0.3 0.1 求所收车费η的均值； 解： E（ξ）＝15×0.1＋16×0.5＋17×0.3＋18×0.1＝16.4. ∵η＝2ξ＋2，∴E（η）＝2E（ξ）＋2＝34.8. 故所收车费η的均值为34.8元. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （3）已知某旅客实付车费38元，而出租汽车实际行驶了15 km，问出租车 在途中因故停车累计最多几分钟？ 解： 由38＝2ξ＋2，得ξ＝18，5×（18－15）＝15. ∴出租车在途中因故停车累计最多15分钟. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜均值的实际应用 【例3】　（链接教科书第118页例1，第119页例2）某人有20万元，准 备用于投资房地产或购买股票，若根据下面的盈利表进行决策，应选 择哪种方案？ 投资情况 方案 盈利（万元） 概率 购买股票 投资房地产 巨大成功 0.3 10 8 一般成功 0.5 3 4 失败 0.2 －10 －4 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：设购买股票的盈利为X万元，投资房地产的盈利为Y万元， 则E（X）＝10×0.3＋3×0.5＋（－10）×0.2＝3＋1.5－2＝2.5（万 元）， E（Y）＝8×0.3＋4×0.5＋（－4）×0.2＝2.4＋2－0.8＝3.6（万元）. 因为E（Y）＞E（X）， 所以投资房地产的平均盈利较高，故选择投资房地产. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 实际问题中均值的含义 　　对于实际应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问 题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的概率分布，然 后按定义计算出随机变量的均值，均值反映了随机变量取值的平均水 平，刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全 决定随机变量的性质. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液进行化 验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病. 已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，化验结果不会出错，而且 各体检人是否患有该疾病相互独立.现有5位体检人的血液待检查，有 以下两种化验方案： 方案甲：逐个检查每位体检人的血液； 方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化 验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （1）哪种化验方案更好？ 解： 方案甲中，化验的次数一定为5次. 方案乙中，若记化验次数为X，则X的可能取值为1，6. 因为5人都不患病的概率为（1－0.1）5＝0.590 49， 所以P（X＝1）＝0.590 49， P（X＝6）＝1－0.590 49＝0.409 51， 从而E（X）＝1×0.590 49＋6×0.409 51＝3.047 55. 这就是说，方案乙的平均检查次数不到5次，因此方案乙更好. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用. 解： 若记方案乙中，检查费用为Y元，则Y＝100X，从而可知E （Y）＝100E（X）＝304.755， 即方案乙的平均化验费用为304.755元. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 随机变量X服从两点分布，其概率分布如表所示，则E（X）＝（　　） X 0 1 P a A. B. C. D. 解析：由题意知 ＋a＝1，所以a＝ ，E（X）＝0× ＋1×a＝a＝ . √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 抛掷一枚质地均匀的硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则 得分X的均值为（　　） A. 0 B. C. 1 D. －1 解析： 　因为P（X＝1）＝ ，P（X＝－1）＝ ，所以由均值的定义 得E（X）＝1× ＋（－1）× ＝0. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 设随机变量ξ的概率分布为 ξ 1 2 3 4 P 又设η＝2ξ＋5，则E（η）＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　E（ξ）＝1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ ，E（η）＝E（2ξ＋ 5）＝2E（ξ）＋5＝2× ＋5＝ . √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y， 其概率分布如下： X 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 Y 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是 ⁠. 解析：E（X）＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.E（Y）＝0×0.3 ＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，∵E（Y）＜E（X）.∴乙技术好. 乙 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分.已知他 击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是（　　） A. 0.2 B. 0.8 C. 1 D. 0 解析： 　因为X的所有可能取值为1，0，且P（X＝1）＝0.8，P（X＝ 0）＝0.2，所以E（X）＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2 个，则取出的球的最大编号X的均值为（　　） A. B. C. 2 D. 解析： 　依题意X＝2，3，所以P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ ，所以E（X）＝2× ＋3× ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 一台机器生产某种产品，生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品 可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等 品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均 预期可获利（　　） A. 39元 B. 37元 C. 20元 D. 元 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　设这台机器生产一件产品获利ξ元，易知随机变量ξ的概率分 布如下， ξ 50 30 －20 P 0.6 0.3 0.1 ∴E（ξ）＝50×0.6＋30×0.3＋（－20）×0.1＝37（元），故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 设离散型随机变量X的概率分布如下表，且E（X）＝1.6，则a－b＝ （　　） X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A. 0.2 B. 0.1 C. －0.2 D. －0.4 解析： 　由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8①.又由E（X）＝ 0×0.1＋1·a＋2·b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3②，由①②解得a＝ 0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕设离散型随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 0.1 q 0.3 0.4 若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结论正确的有（　　） A. q＝0.3 B. q＝0.2 C. E（X）＝3 D. E（Y）＝5 解析： 　由题表可知q＝1－0.1－0.3－0.4＝0.2，则E（X）＝0×0.1 ＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＝2，所以E（Y）＝E（2X＋1）＝2E（X） ＋1＝5.故选B、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕设p为非负实数，随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 P －p p 则下列说法正确的是（　　） A. p∈ B. E（X）最大值为 C. p∈ D. E（X）最大值为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由表可得 从而得p∈［0， ］，期望值E （X）＝0× ＋1·p＋2× ＝p＋1，当且仅当p＝ 时，E（X）最大 值＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 7. 已知E（Y）＝6，Y＝4X－2，则E（X）＝ ⁠. 解析：∵Y＝4X－2，∴E（Y）＝4E（X）－2，∴4E（X）－2＝6，即 E（X）＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 8. 两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数X的数学 期望E（X）＝ ⁠. 解析：概率分布为： X 0 1 2 P ​ ​ ​ 所以期望E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 9. 射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的 概率是0.8.若枪内只有3颗子弹，则他射击次数的数学期望是 ⁠. 解析：由题意知，射击次数X的可能取值为1，2，3，P（X＝1）＝0.8， P（X＝2）＝0.2×0.8＝0.16，P（X＝3）＝0.2×0.2×0.8＋ 0.2×0.2×0.2＝0.04，∴他射击次数的数学期望E（X）＝1×0.8＋ 2×0.16＋3×0.04＝1.24. 1.24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 10. 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等 品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分 别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润（单 位：万元）为ξ. （1）求ξ的概率分布； 解： ξ的可能取值为－2，1，2，6. P（ξ＝－2）＝ ＝0.02，P（ξ＝1）＝ ＝0.1， P（ξ＝2）＝ ＝0.25，P（ξ＝6）＝ ＝0.63. ξ的概率分布为： ξ －2 1 2 6 P 0.02 0.1 0.25 0.63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）. 解： ξ的数学期望为： E（ξ）＝（－2）×0.02＋1×0.1＋2×0.25＋6×0.63＝4.34， 即1件产品的平均利润是4.34万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 11. 甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为 ，乙、丙打中的概率 均为 （0＜t＜4），甲、乙、丙都打中的概率是 ，设ξ表示甲、乙两人 中中靶的人数，则ξ的均值是（　　） A. B. C. 1 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　∵ ＝ × × ，∴t＝3（t＝－3舍去）.ξ的所有可能取值为 0，1，2，其概率分布如下， ξ 0 1 2 P ​ ​ ​ ∴E（ξ）＝ ＋2× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 12. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，每人各局取胜的概率均为 ，现采用五局 三胜制，胜3局者赢得全部奖金800元.若前两局比赛均为甲胜，此时因某种 原因比赛中止，为使奖金分配合理，则乙应得奖金 元. 解析：设甲应得奖金为X，X的可能取值为800，0，甲赢得比赛有3种情 况：①胜第3局，甲赢的概率为 ，②输第3局，胜第4局，甲赢的概率为 × ＝ ，③输第3，4局，胜第5局，甲赢的概率为 × × ＝ ，∴甲赢 的概率为 ＋ ＋ ＝ ，∴E（X）＝800× ＋0× ＝700（元），则乙应 得奖金800－700＝100（元）. 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 13. 袋子中有8张水果卡片，其中4张苹果卡片，4张梨子卡片，消费者从该 袋子中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片都是同一种水果，则 获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片是同一种水果，则 获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励. （1）求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片的 概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解： 记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡 片”为事件A， 则P（A）＝ ＝ ，所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都 是苹果卡片的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数， 求X的概率分布和均值E（X）. 解： 依题意，随机变量X的所有可能取值为0，5，10， 则P（X＝0）＝ ＝ ， P（X＝5）＝ ＝ ， P（X＝10）＝ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 X 0 5 10 P ​ ​ ​ 所以E（X）＝10× ＋5× ＋0× ＝ . 所以X的概率分布为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 14. 〔多选〕已知随机变量X的概率分布如下： X －1 0 1 P a b 记“函数f（x）＝3 sin π（x∈R）是偶函数”为事件A，则（　　） A. P（A）＝ B. E（X）＝ C. E（X）＝ －2a D. E（X2）＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　因为函数f（x）＝3 sin π（x∈R）是偶函数，所以 π ＝ ＋kπ，k∈Z，所以X＝2k＋1，k∈Z，又因为X＝－1，0，1，所以 事件A表示X＝±1，所以P（A）＝a＋b＝1－ ＝ ，E（X）＝（－ 1）×a＋0× ＋1×b＝b－a＝ －2a，随机变量X2的可能取值为0，1， P（X2＝0）＝ ，P（X2＝1）＝a＋b＝ ，所以E（X2）＝0× ＋1× ＝ .故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 15. 某学校组织知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两 类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该同学 比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无 论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20 分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知 小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的概率分布； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解： 由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100， 则P（X＝0）＝1－0.8＝0.2， P（X＝20）＝0.8×（1－0.6）＝0.32， P（X＝100）＝0.8×0.6＝0.48， 所以X的概率分布为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）为使累计得分的均值最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明 理由. 解： 由（1）可知小明先回答A类问题累计得分的均值为E（X）＝ 0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4， 若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分， 则Y的所有可能取值为0，80，100， P（Y＝0）＝1－0.6＝0.4， P（Y＝80）＝0.6×（1－0.8）＝0.12， P（Y＝100）＝0.6×0.8＝0.48， 则Y的均值为E（Y）＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6， 因为E（Y）＞E（X）， 所以为使累计得分的均值最大，小明应选择先回答B类问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 $