第7章 计数原理 章末整合提升 体系构建 素养提升-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了计数原理单元的核心内容，包括两个基本计数原理、排列与组合、二项式定理，通过体系构建将知识点串联成逻辑网络，以基本原理为基础，延伸至排列组合的应用及二项式定理的展开与系数问题，帮助学生建立完整知识框架。 其亮点在于采用“原理阐释-例题解析-反思总结-跟踪训练”的递进式复习策略，如例1通过分类分步解决三位数计数问题，跟踪训练结合“回文数”“路灯关闭”等实际情境，培养学生的数学抽象能力和运算推理能力。分层设计的例题与训练题满足不同学生需求，助力教师精准把握复习重点，提升学生知识应用与迁移能力。

章末整合提升　体系构建 素养提升 1 体系构建 体系构建 数学·选择性必修第二册（SJ） 素养提升 素养提升 一、两个基本计数原理 　　分类计数原理和分步计数原理是本章内容的学习基础，在进行计数过 程中，常因分类不明、分步不清导致增（漏）解，因此在解题中既要保证 类与类的互斥性，又要关注总数的完备性，甚至还要考虑步与步之间的连 贯性. 数学·选择性必修第二册（SJ） 【例1】　（1）从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复）组成 三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（　C　） A. 7 B. 9 C. 10 D. 13 解析： 从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复）组成三位数， 各位数字之和等于6，可分为三类情况：①当三个数为1，1，4时，共有 ＝3种排法；②当三个数为1，2，3时，共有 ＝6种排法；③当三个数为 2，2，2时，只有1种排法，由分类计数原理可得，共有3＋6＋1＝10种不同 排法，即这样的三位数共有10个. C 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）如图，用四种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻 区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法的 种数为 （用数字作答）. A B C D 解析：由已知按区域分四步：第一步A区域有4种选择，第二步B区域有3 种选择，第三步C区域有2种选择，第四步D区域也有2种选择，则由分步 计数原理可得共有4×3×2×2＝48（种）不同的涂色方法. 48 数学·选择性必修第二册（SJ） 反思感悟 应用两个基本计数原理计数的四个步骤 （1）明确完成的这件事是什么； （2）思考如何完成这件事； （3）判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后分类； （4）选择计数原理进行计算. 数学·选择性必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 “回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3 443，94 249等.显然2位“回文数”有9个：11，22，33，…，99；3位“回 文数”有90个：101，111，121，…，191，202，…，999；则 （1）4位“回文数”有 个； 解析： 4位“回文数”的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同 但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间 两位数字，有10种选法，故4位“回文数”有9×10＝90（个）. 90 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）2n＋1（n∈N*）位“回文数”有 个. 解析： 第一步，选左边第一个数字，有9种选法；第二步，分别选左 边第2，3，4，…，n，n＋1位数字，共有10×10×10×…×10＝10n （种）选法，故2n＋1（n∈N*）位“回文数”有9×10n个. 9×10n 数学·选择性必修第二册（SJ） 二、排列与组合 　　排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中起着举足 轻重的作用，解决排列与组合常用的方法有：（1）合理分类，准确分步； （2）特殊优先，一般在后；（3）先取后排，间接排除；（4）相邻捆绑， 间隔插空；（5）抽象问题，构造模型；（6）均分除序，定序除序. 数学·选择性必修第二册（SJ） 【例2】　（1）（2023·全国乙卷理7题）甲、乙两位同学从6种课外读物中 各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（　C） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 解析：法一　先从6种读物中选1种作为两人选择的相同读物，再从另外5种 读物中选2种分别作为甲、乙两人选择的不同读物，则不同的选法种数为 ＝120.故选C. C 法二　甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有 ＝6（种）情况，再从剩 下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有 ＝20（种）情况，由分 步计数原理可得共有6×20＝120（种）选法，故选C. 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字 的三位数，其中，若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的 一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有 个. （用数字作答） 60 解析：1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类.分三类：①没有数字1 和3时，满足条件的三位数有 个；②只有1和3中的一个时，满足条件的 三位数有2 个；③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中 选1个数字插入3个空中的1个即可，满足条件的三位数有 个.所以满足 条件的三位数共有 ＋2 ＋ ＝60（个）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 反思感悟 解决排列、组合问题的注意点 （1）“在”与“不在”问题常是排列问题，一般贯彻特殊元素或特殊位置 要优先安排，没有限制条件的可以任意排列；“邻”与“不邻”通常采用 捆绑法与插空法，捆绑法时注意小团体内部的排列，插空法要注意与“相 间排列”的区别； （2）“含有”或“不含有”问题常是组合问题，“含”则先将这些元素取 出，再由另外元素补足；“不含”则先将这些元素剔除，再从剩下的元素 中选取.“至少”或“至多”含有几个元素的组合问题常采用直接法和间接 法，一般来说用直接法分类复杂时，用间接法处理，即正难则反. 数学·选择性必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 　一条沿江公路上有18盏路灯，为节约用电，现打算关掉其中4盏路灯，为 安全起见，要求公路的头尾两盏路灯不可关闭，关掉的相邻两个路灯之间 至少有3盏亮着的路灯，则不同的方案共有 种. 解析：先拿出15盏路灯，按如下顺序排好，（ⓧ表示灯亮；○表示灯灭） ⓧ○ⓧⓧⓧ○ⓧⓧⓧ○ⓧⓧⓧ○ⓧ 再将剩下的三盏灯放进去，若三盏灯在一起，有 ＝5种方法；若分成两 组，有 ＝20种方法；若三盏灯均不在一起，有 ＝10种方法，所以 共有35种方法. 35 数学·选择性必修第二册（SJ） 三、二项式定理 　　对于二项式定理的考查常有两类问题：第一类，直接运用通项求特定 项或解决与系数有关的问题；第二类，需运用转化思想化归为二项式定理 来处理的问题. 【例3】　已知（x＋ ）n展开式的二项式系数之和为256. （1）求n； 解：二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8. 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）若展开式中常数项为 ，求m的值； 解：设常数项为第r＋1项，则 Tr＋1＝ x8－r（ ）r＝ mrx8－2r， 故8－2r＝0，即r＝4，则 m4＝ ，解得m＝± . 数学·选择性必修第二册（SJ） （3）若（x＋m）n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的值. 解： 易知m＞0，设第r＋1项系数最大. 则 化简可得 ≤r≤ . 由于只有第6项和第7项系数最大， 所以 即 所以m只能等于2. 数学·选择性必修第二册（SJ） 反思感悟 二项式特定项的求解策略 （1）确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可 解得所要求的二项式中的有关元素； （2）确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为 零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项； （3）求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项 数，然后代入通项公式求出此项的系数； （4）确定二项展开式中的系数最大项或最小项：利用二项式系数的性质. 数学·选择性必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 1. （2024·全国甲卷理13题）（ ＋x）10的展开式中，各项系数中的最大 值为 ⁠. 解析：（ ＋x）10的展开式的通项公式为Tr＋1＝ （ ）10－rxr，则各项 的系数分别为 （ ）10， （ ）9， （ ）8， （ ）7， （ ）6， （ ）5， （ ）4， （ ）3， （ ）2， （ ） 1， （ ）0，观察发现二项式系数先增大后减小，且前后对称，指数式 递增，分别计算 （ ）5， （ ）4， （ ）3， （ ）2， （ ）1， （ ）0，比较可得， （ ）2＝5最大. 5 数学·选择性必修第二册（SJ） 2. 已知二项式（a－2x）7＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a7（x －1）7，其中a＞0，且此二项式的x3项的系数是－22 680.则实数a ＝ ；（a0＋a2＋a4＋a6）（a1＋a3＋a5＋a7）＝ （结果可 保留幂的形式）. 3 ​ 数学·选择性必修第二册（SJ） 解析：二项式（a－2x）7的展开式中含x3的项为 a4（－2x）3＝－ 280a4x3，∴－280a4＝－22 680，则a4＝81，又a＞0，解得a＝3.∴（a－ 2x）7＝[1－2（x－1）]7＝a0＋a1（x－1）＋…＋a7（x－1）7.令x＝2， 则a0＋a1＋…＋a7＝（1－2）7＝－1①，令x＝0，则a0－a1＋a2－…－a7 ＝（1＋2）7＝37②，∴由①＋②可得：a0＋a2＋a4＋a6＝ ；由①－② 可得：a1＋a3＋a5＋a7＝ .∴（a0＋a2＋a4＋a6）（a1＋a3＋a5＋ a7）＝ × ＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） $