7.2 第2课时 排列数与排列数公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦排列数与排列数公式，通过上海交大建校名人介绍情境导入，引导学生从确定介绍顺序的问题出发，衔接排列概念，逐步抽象出排列数定义、公式及全排列、阶乘知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以情境问题驱动，培养“用数学的眼光观察现实世界”，通过题型分层（计算、证明、应用）和“通性通法”总结，发展“用数学的思维思考现实世界”，如医生护士分配问题强化应用意识。学生能提升逻辑推理与运算能力，教师可借助系统资源高效教学。

第2课时　排列数与排列数公式 1 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 2 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　在上海交通大学建校120周年之际，有29位曾是交大学子的名人大家，要在庆祝会上逐一介绍…… 【问题】　（1）确定第1个介绍的名人，有多少种选择？确定第2个时，又有多少种选择？第3个呢？…… （2）如何算出这29位名人所有的介绍顺序？能否用公式表达？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点　排列数与排列数公式 1. 排列数的定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有 ⁠ 的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符 号 表示. 2. 排列数公式： ＝ （m， n∈N*，且m≤n）. 排 列　 　 n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫作n个不同元素的一个 全排列.在排列数公式中，当m＝n时，即有 ＝n（n－1）（n－2） ×…×3×2×1，n（n－1）（n－2）×…×3×2×1称为n的阶乘，通常 用 表示，即 ＝ ⁠. 　　提醒：（1）注意排列数公式的特征，m个自然数之积，其中最大的因 数是n，最小的因数是n－m＋1；（2）规定0！＝1.排列数公式还可以写 成 ＝ （m，n∈N*，且m≤n）. n！　 n！　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在式子 中，m，n的值都可以为0. （　×　） （2）甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有4种. （　×　） （3）若 ＝9×10×11×12，则m＝4. （　√　） 2. 计算： ＝ ， ＝ ⁠. 解析： ＝5×4＝20. ＝4×3×2×1＝24. × × √ 20 24 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜排列数的计算 【例1】　（链接教科书第68页例2）计算： （1） ；（2） . 解：根据排列数公式，可得 （1） ＝6！＝6×5×4×3×2×1＝720. （2） ＝ ＝1. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 应用排列数公式时应注意两个方面的问题 （1）准确展开：应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确； （2）合理约分：若运算式是分式形式，则要先约分后计算. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1.7×8×9×…×15可表示为（　　） A. B. C. D. 解析： 　7×8×9×…×15＝ ＝ . 2. 计算： ＝ ⁠. 解析： ＝ ＝6. 6 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜排列数公式的应用 【例2】　（链接教科书第69页例3，4）（1）解方程： ＝140 ； 解： 因为 所以x≥3，x∈N*. 由 ＝140 得（2x＋1）2x（2x－1）（2x－2）＝140x（x－1） （x－2）. 化简得4x2－35x＋69＝0， 解得x1＝3，x2＝ （舍去）. 所以原方程的解为x＝3. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）求证： － ＝m . 解： 证明：因为 － ＝ － ＝ ·（ －1）＝ · ＝m· ＝m ，所以 － ＝m . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 　　排列数的第二个公式 ＝ 适用于与排列数有关的证明、解方 程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要 注意隐含条件“n，m∈N*，m≤n”的运用. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 不等式 ＜6 的解集为（　　） A. [2，8] B. [2，6] C. （7，12） D. {8} 解析： 　由 ＜6 ，得 ＜6× ，化简得x2－19x＋84 ＜0，解得7＜x＜12①，又 所以2＜x≤8②，由①②及 x∈N*，得x＝8. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 求证： ＝（n＋1） . 证明：因为 ＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1， （n＋1） ＝（n＋1）·n！＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1，所以 ＝（n＋1） . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜无约束条件的排列问题 【例3】　（链接教科书第70页例5）将4名医生与4名护士分配到四个不同 单位，每个单位分配一名医生与一名护士，共有多少种不同的分配方案？ 解：完成这件事可以分为两步. 第一步：把4名医生分配到四个不同的单位，等价于从4个不同元素中取出4 个元素的排列问题，有 种方法； 第二步：把4名护士分配到四个不同的单位，也有 种方法. 根据分步计数原理，不同的分配方案有 × ＝576（种）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 无约束条件的排列问题 　　无约束条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别 限制的问题.这一类型题目相对简单，分清元素和位置即可.把m个元素按 一定顺序排列到n（n≥m）个位置上，排列数为 ，从n个元素中选 m 个（m≤n），排列到m个位置上，排列数也是 . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　用排列数表示下列问题： （1）利用1，2，3，4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三 位数？ 解： 本题实质是求从1，2，3，4四个数字中，任意选出三个数字排成 一排，有多少种排法的排列问题，故排列数为 ，所以可以组成 个没 有重复数字的三位数. （2）一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表有几种排法？ 解： 这是6个元素的全排列问题，其排列数为 ，所以一天的课程表 有 种排法. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1.10×9×…×6＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　根据排列数公式可得10×9×…×6＝ ，故选C. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. ＝（　　） A. 12 B. 24 C. 30 D. 36 解析： 　因为 ＝7×6× ， ＝6× ，所以原式＝ ＝36. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知 ＝132，则n＝ ⁠. 解析：由题意得n（n－1）＝132，即n2－n－132＝0，解得n＝12，n＝ －11（舍）. 4.12名选手参加校园歌手大奖比赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一 名，每人最多获得一种奖项，共有多少种不同的获奖情况？ 解：从12名选手中选出3名获奖并安排奖次，共有 ＝12×11×10＝1 320 （种）不同的获奖情况. 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 某学习小组共5人，约定假期彼此给对方发起微信聊天，共需发起的聊 天次数为（　　） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 解析： 　由题意得共需发起的聊天次数为 ＝5×4＝20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 89×90×91×92×…×100可表示为（　　） A. B. C. D. 解析： 　89×90×91×92×…×100＝ ＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知3 ＝4 ，则n＝（　　） A. 5 B. 7 C. 10 D. 14 解析： 　由题意 解得2＜n≤9，由 ×3＝ ×4，得（11－n）·（10－n）＝12，解得n＝7，n＝14（舍）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 某电影要在5所大学里轮流放映，则不同的轮映方法有（　　） A. 25种 B. 55种 C. 种 D. 53种 解析： 　不同的轮映方法相当于将5所大学全排列，即轮映方法有 种. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕与 · 相等的是（　　） A. B. 81 C. 10 D. 解析： 　 · ＝10×9×8×7！＝ ＝10 ＝ ，81 ＝9 ≠ ，故选A、C、D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕已知 － ＋0！＝4，则m的可能取值是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析： 　因为 － ＋0！＝4，所以 － ×6＋1＝4，所以 ＝ 6，当m＝2或3时成立，所以m的值可能是2或3.故选C、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 7. 计算 ＋ ＝ ⁠. 解析：由条件得 得n＝3，所以 ＋ ＝ ＋ ＝726. 726 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 8. 不等式 －n＜7的解集为 ⁠. 解析：由 －n＜7，得（n－1）（n－2）－n＜7，整理，得n2－4n －5＜0，解得－1＜n＜5.又n－1≥2且n∈N*，即3≤n＜5且n∈N*，所 以n＝3或n＝4. {3，4} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 9. 有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那 么5名同学值日顺序的编排方案共有 种. 解析：∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五 值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有 ＝24（种）. 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 10. 计算下列各题： （1） ；（2） . 解：（1） ＝10×9×8＝720. （2） ＝ ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 11. 若S＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ，则S的个位数字是（　　） A. 8 B. 5 C. 3 D. 0 解析： 　因为当n≥5时， 的个位数字是0，故S的个位数取决于前四 个排列数.又 ＋ ＋ ＋ ＝33.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕下列等式中，正确的是（　　） A. （n＋1） ＝ B. ＝（n－2）！ C. ＝ · D. ＝ 解析： 　通过计算可知选项A、B、C均正确，但选项D中 ＝ ≠ . √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 13. 满足n ＞3 且 ＜6 的n的值为 ⁠. 解析：两不等式可化为 ∵n－1＞0，∴①式可化为n （n－2）＞3，即n2－2n－3＞0，∴n＞3或n＜－1（舍去）.由②得 ＜6· ，∴（8－n）（7－n）＜6，即n2－15n＋50 ＜0，∴5＜n＜10.由排列数的意义可知n≥3，且n＋2≤8，∴3≤n≤6. 综上，5＜n≤6，又n∈N*，∴n＝6. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 14. 求证：（1） ＝ － ； 证明： 左边＝ ＝ － ＝ － ＝右边. （2） ＋ ＋ ＋…＋ ＝1－ . 证明：在（1）中将k用1，2，3，…，n依次代入，再将各式相加， 得 ＋ ＋ ＋…＋ ＝（1－ ）＋（ － ）＋…＋［ － ］＝1－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 15. 英国数学家泰勒（B. Taylor，1685—1731）以发现泰勒公式和泰勒级 数闻名于世，由泰勒公式，我们能得到e＝1＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ （其中e为自然对数的底数，0＜θ＜1，n！＝n（n－1）（n－ 2）×…×2×1），其拉格朗日余项是Rn＝ .可以看出，右边的项用 得越多，计算得到的e的近似值也就越精确.若 近似地表示e的泰勒 公式的拉格朗日余项Rn，求Rn不超过 时，正整数n的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：由题意知，Rn≤ ， 即 ≤ ，近似表示为 ≤ ，∴（n＋1）！≥3 000， 又∵（5＋1）！＝6×5×4×3×2×1＝720， （6＋1）！＝7×6×5×4×3×2×1＝5 040＞3 000，∴n的最小值为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 $