7.1 第1课时 两个基本计数原理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（苏教版）

第7章 计数原理 两个基本计数原理 7.1 两个基本计数原理 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 1.通过具体实例，理解分类计数原理、分步计数原理及其意义. 2.能根据具体问题的特征，选择分类计数原理或分步计数原理解决一些简单的实际计数问题. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　分类计数原理 逐点清(二)　分步计数原理 逐点清(三)　两个计数原理的综合应用 4 课时检测 逐点清(一)　分类计数原理 01 如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法……在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=_______________种不同的方法. 多维理解 m1+m2+…+mn |微|点|助|解| “分类”是分类计数原理的原则 (1)遵从分类标准，即在同一标准下进行分类. (2)遵从分类原则，即分类不重不漏，要注意类与类之间的独立性和并列性. 分类时要注意满足两条基本原则： ①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； ②分别属于不同类的两种方法是不同的方法. 1.某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有 (　　) A.40种 B.20种 C.15种 D.11种 √ 微点练明 解析：根据分类计数原理，不同的选法共有4+5+2=11种.故选D. 2.若有序数对(a，b)满足a，b∈，且使关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解，则这样的有序数对(a，b)的个数为(　　) A.15 B.14 C.13 D.10 √ 解析：①当a=0时，有x=-为实根，则b=-，-1，0，2，有4种；②当a≠0时，方程有实根，所以Δ=4-4ab≥0，所以ab≤1.当a=-时，b=-，-1，0，2，有4种；当a=-1时，b=-，-1，0，2，有4种；当a=2时，b= -，-1，0，有3种.所以有序数对(a，b)的个数为4+4+4+3=15.故选A. 3.小明在某一天中有七个课间休息时段，为准备“小歌手”比赛他想要选出至少一个课间休息时段来练习唱歌，但他希望任意两个练习的时间段之间都有至少两个课间不唱歌让他休息，则小明练习方案的总数为 (　　) A.31种 B.18种 C.21种 D.33种 √ 解析：七个课间编号为1，2，3，4，5，6，7，如果仅有一个课间练习，则每个课间都可以，有7种方案，若有两个课间练习，选法有(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(3，6)，(3，7)，(4，7)，共10种方案，若有三个课间练习，选法为(1，4，7)，共1种，故总数为7+10+1=18种. 4.在所有的两位数中，求个位数字大于十位数字的两位数的个数. 解：法一　按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个.由分类计数原理知，满足条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36个. 法二　按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个.由分类计数原理知，满足条件的两位数共有1+2+3+4+5+6+7+8=36个. 法三　所有的两位数共有90个，其中个位数字等于十位数字的两位数为11，22，33，…，99，共9个；有10，20，30，…，90共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置，则剩余的两位数有90-18=72个.在这72个两位数中，每一个个位数字(a)小于十位数字(b)的两位数都有一个十位数字(a)小于个位数字(b)的两位数与之对应，故满足条件的两位数的个数是72÷2=36. 逐点清(二)　分步计数原理 02 如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=___________________种不同的方法. 多维理解 m1×m2×…×mn |微|点|助|解| (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某种方法是不是能完成这件事，也就是说是否必须要经过几步才能完成这件事. (2)完成这件事要分若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成. (3)根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间不能重复，也不能遗漏. 1.“声东击西”是游击战争的一种战术：声东可以击东、南、西、北中的任意一个方向，以此灵活地打击或消灭敌人.同样还有“声南击北”等不同的战术，由此可知这类战术中打击或消灭敌人的方法总数为 (　　) A.16 B.12 C.4 D.3 √ 微点练明 解析：根据题意，声的情况有4种，击的情况也有4种，所以这类战术中打击或消灭敌人的方法总数为4×4=16. 2.从1，3，5，7，9这五个数中取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a-lg b的不同值的个数是 (　　) A.9 B.10 C.18 D.20 √ 解析：先从1，3，5，7，9这五个数中任取一个数记为a，再从余下的四个数中任取一个数记为b，根据分步计数原理得a，b的值有5×4=20种取法.又==，所以共可得到lg a-lg b的不同值的个数是20-2=18.故选C. 3.五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从A，B，C，D四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过A景点，所以甲不选A景点，则不同的选法有 (　　) A.64种 B.48种 C.36种 D.24种 √ 解析：因为甲不选A景点，所以应该分步完成：第一步，先考虑甲在B，C，D三个景点中任选一个，有3种选法；第二步，再考虑乙和丙，从A，B，C，D中分别任选一个景点，有4×4=16种选法.由分步计数原理，得不同选法有3×16=48种. 4.全国中学生学科竞赛包含数学、物理、化学、生物、信息5个学科，4名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择1个学科参加竞赛，则不同的报名方法种数是______.  625 解析：由已知第一位同学的报名方法有5种，第二名同学的报名方法有5种，第三名同学的报名方法有5种，第四名同学的报名方法有5种，由分步计数原理可得4名同学的不同的报名方法种数是5×5×5×5=625. 逐点清(三)　两个计数原理的 综合应用 03 [典例]　某药品研究所研制了5种消炎药(a1，a2，a3，a4，a5)、4种退烧药(b1，b2，b3，b4)，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验，但已知a1，a2两种药必须同时使用，且a3，b4两种药不能同时使用，则不同的试验方案有多少种? 解：当取a1，a2时，再取退烧药有4种方案，此时不同的试验方案有4种；当不取a1，a2且取a3时，取另一种消炎药的方法有2种；由于a3，b4两种药不能同时使用，所以再取退烧药有3种方案，此时不同的试验方案有2×3=6种；当取a4，a5时，再取退烧药有4种方案，此时不同的试验方案有4种.综上所述，不同的试验方案共有4+6+4=14(种). |思|维|建|模| 两个计数原理综合应用的策略 (1)要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性. (2)有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”. (3)对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地画出示意图或列出表格，化抽象为直观. 某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息. (1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有多少种不同的坐法? 针对训练 解：小明爸爸选凳子可以分两类：第一类：选东面的空闲凳子，有8种坐法；第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法.根据分类计数原理知，小明爸爸共有8+6=14(种)不同的坐法. (2)若小明与爸爸分别就座，有多少种不同的坐法? 解：小明与爸爸分别就座，可以分两步完成：第一步，小明先就座，从东、西面共8+6=14(个)空闲凳子中选一个坐下，共14种坐法；第二步，小明爸爸再就座，从东、西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法.由分步计数原理知，小明与爸爸分别就座共有14×13=182(种)不同的坐法. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，3幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有 (　　) A.10种 B.12种 C.20种 D.36种 √ 解析：依题意，不同的选法共有3+4+3=10种.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.现有3名老师、6名男同学和4名女同学共13人.若需1名老师和1名学生参加评选会议，则不同的选法种数为 (　　) A.30 B.18 C.12 D.13 √ 解析：先从3名老师中任选1名，有3种选法，再从10名学生中任选1名，有10种选法.由分步计数原理知，不同的选法种数为3×10=30. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某人到该体育场晨练，则他进、出门的方案有 (　　) A.12种 B.7种 C.14种 D.49种 √ 解析：由题意知某人从体育场进门有4+3=7(种)方式，出门有4+3=7(种)方式，根据分步计数原理可知，他进、出门的方案有7×7=49(种). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个不同的数a，b组成复数a+bi，其中虚数有 (　　) A.30个 B.42个 C.36个 D.35个 √ 解析：要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)，有6种方法，第二步确定a，有6种方法，故由分步计数原理知，共有6×6=36(个)虚数. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是 (　　) A.81 B.64 C.48 D.24 √ 解析：每个同学都有3种选择，所以不同选法共有34=81(种). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2， 3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通， 那么电路不通时焊接点脱落的不同情况有 (　　) A.9种 B.11种 C.13种 D.15种 √ 解析：按照可能脱落的个数分类讨论.若脱落1个，则有(1)，(4)，共2种情况；若脱落2个，则有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种情况；若脱落3个，则有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)，共4种情况；若脱落4个，则有(1，2，3，4)，共1种情况.综上，共有2+6+4+1=13(种)情况. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后两个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有 (　　) A.8本 B.9本 C.12本 D.18本 √ 解析：需分三步完成：第一步，首字符有2种编法；第二步，第二个字符有3种编法；第三步，第三个字符有3种编法，故由分步计数原理知，不同编号的书共有2×3×3=18(本). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有 (　　) A.24种 B.16种 C.12种 D.10种 √ 解析：完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类计数原理可得共有3+3+3+3=12(种)不同的行车路线. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为 (　　) A.64 B.56 C.53 D.51 √ 解析：由于1只能作为真数，则以1为真数，从其余各数中任取一数为底数，对数值均为0，从除1外的其余各数中任取两数分别作为对数的底数和真数，共能组成8×7=56个对数式，其中，log24=log39，log42=log93，log23=log49，log32=log94，重复了4次，所以得到不同对数值的个数为1+56-4=53. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.[多选]现有四个组的学生34人，其中一、二、三、四组分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.下列说法正确的是 (　　) A.选其中1人为负责人，有34种不同的选法 B.每组选1名为组长，有5 040种不同的选法 C.推选2人做中心发言，有691种不同的选法 D.推选2人做中心发言，这2人须来自不同的组，有431种不同的选法 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：分四类：第一类，从一组学生中选1人，有7种选法；第二类，从二组学生中选1人，有8种选法；第三类，从三组学生中选1人，有9种选法；第四类，从四组学生中选1人，有10种选法.所以共有不同的选法N1=7+8+9+10=34(种).所以A正确； 分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四组学生中选1名为组长.所以共有不同的选法N2=7×8×9×10=5 040(种).所以B正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 分两类，第一类是在一、二、三、四组中各选2人，共有(7×6+8×7+ 9×8+10×9)÷2=130，第二类是在四组中各取两组，每组选一人，从一、二组学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三组学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四组学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三组学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四组学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四组学生中各选1人，有9×10种不同的选法.所以共有不同的选法N3=7×8+7×9+7×10+8×9+ 8×10+9×10=431(种).两类共有130+431=561(种)，所以C错误，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知直线方程Ax+By=0，若从0，1，2，3，5，7这六个数中每次取两个不同的数分别作为A，B的值，则Ax+By=0可表示_______条不同的直线.  22 解析：当A=0时，可表示1条直线；当B=0时，可表示1条直线；当AB≠0时，A有5种选法，B有4种选法，可表示5×4=20条不同的直线.由分类计数原理，知共可表示1+1+20=22条不同的直线. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)某教学楼共有6层，每层都有南、北两个楼梯，则从一楼到六楼共有______种走法.  32 解析：根据题意，教学楼共有6层，共5层楼梯，每层均有两个楼梯，即每层有2种走法，则一共有2×2×2×2×2=32(种)走法. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)某节目中准备了两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众，若先从两个信箱中任意确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴有多少种不同结果? 解：抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑，分两大类： ①幸运之星在甲信箱中抽，先定幸运之星，再在两信箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20=17 400(种)结果. ②幸运之星在乙信箱中抽，同理有20×19×30=11 400(种)结果. 所以共有不同结果17 400+11 400=28 800(种). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列有多少个? 解：法一　以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9.以2为首项的等比数列为2，4，8.以4为首项的等比数列为4，6，9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个数列，所以所求的数列共有2×(2+1+1)=8(个). 法二　当公比为2时，等比数列可为1，2，4；2，4，8；当公比为3时，等比数列可为1，3，9；当公比为时，等比数列可为4，6，9.同时，4，2，1；8，4，2；9，3，1和9，6，4也是等比数列，共8个. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $