6.3.2 第1课时 空间向量与平行关系-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦空间线面关系的向量判定，通过旗杆与护旗战士方向向量的情境导入，联系生活实际引出问题，新知部分用表格系统梳理线线、线面、面面平行与垂直的向量表示，搭建知识支架衔接后续证明方法。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境，分题型（线线、线面、面面平行）教学，结合基向量与坐标系两种方法，通过典例研析和通性通法总结发展逻辑推理与数学运算素养，如例1用向量共线证明线线平行。跟踪训练与分层作业助力学生巩固应用，教师可依托资料提升教学效率。

6.3.2　空间线面关系的判定 1 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系（直观想象、逻辑推理）. 2.能用向量方法证明直线、平面的平行与垂直关系（数学运算、逻辑推理）. 课标要求 基础落实 基础落实 　　观察图片，旗杆底部的平台和地面平行、旗杆所在的直线和护旗战士 所在的直线平行. 【问题】　旗杆所在直线的方向向量和护旗战士所在直线的方向向量有什 么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 数学·选择性必修第二册（SJ） 知识点　空间线、面关系的向量表示 　设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法 向量分别为n1，n2，则 平行 垂直 l1与l2 e1∥e2 e1⊥e2 l1与α1 e1⊥n1 e1∥n1 α1与α2 n1∥n2 n1⊥n2 数学·选择性必修第二册（SJ） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两条直线的方向向量垂直，则这两条直线垂直. （　√　） （2）直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂 直. （　√　） （3）若两个平面平行，则这两个平面的法向量一定平行. （　√　） √ √ √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 2. 若两个不重合平面α，β的法向量分别为u＝（1，2，－1），v＝（－ 3，－6，3），则（　　） A. α∥β B. α⊥β C. α，β相交但不垂直 D. 以上均不正确 解析： 　∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 3. 已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为a＝（3λ＋1，0，2λ），b ＝（1，λ－1，λ），若l1⊥l2，则λ的值为 ⁠. 解析：由题意知，a⊥b，∴3λ＋1＋2λ2＝0，∴λ＝－1或－ . 4. 已知直线l的一个方向向量为u＝（2，0，－1），平面α的一个法向量 为v＝（－2，1，－4），则l与α的位置关系为 ⁠. 解析：∵u·v＝（2，0，－1）·（－2，1，－4）＝－4＋0＋4＝0， ∴u⊥v，∴l∥α或l⊂α. －1或－ l∥α或l⊂α 数学·选择性必修第二册（SJ） 第1课时　空间向量与平行关系 9 典例研析 01 课时作业 02 目录 10 01 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜直线和直线平行 【例1】　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M 在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别 为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS. 证明：法一　设 ＝a， ＝b， ＝c， 则 ＝ ＋ ＋ ＝ c－a＋ b， ＝ ＋ ＋ ＝ b－a＋ c， ∴ ＝ ，∴ ∥ ， 又∵R∉MN， ∴MN∥RS. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 法二　如图所示，建立空间直角坐标系A-xyz，则根据题意得M ，N（0，2，2），R（3，2，0），S . ∴ ＝ ， ＝ ， ∴ ＝ . ∴ ∥ .∵M∉RS，∴MN∥RS. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 证明直线平行的两种思路 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点. 求证：四边形AEC1F是平行四边形. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 证明：以点D为坐标原点，分别以 ， ， 为正交基底建立空间直 角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A（1，0，0），E ， C1（0，1，1），F ， ∴ ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ∴ ＝ ， ＝ ，∴ ∥ ， ∥ ， 又∵F∉AE，F∉EC1， ∴AE∥FC1，EC1∥AF， ∴四边形AEC1F是平行四边形. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜直线和平面平行 【例2】　（链接教科书第33页例5）（1）用向量方法证明“直线与平面平 行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直 线与此平面平行. 已知：直线AB∥直线CD，AB⊄平面α，CD⊂平面α. 求证：AB∥α. 证明：设平面α的法向量为n，则 ·n＝0. 因为 ∥ ，所以存在λ∈R，使 ＝λ ， 则 ·n＝λ ·n＝0，所以AB∥α. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点.求证：MN∥平面A1BD. 证明：不妨设正方体的棱长为1，以{ ， ， }为单位正交基底建 立如图所示的空间直角坐标系，则可求得M（0，1， ）， N ，D（0，0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0）. 于是 ＝ ， ＝（1，0，1）， ＝（1，1，0）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 设平面A1BD的法向量为n＝（x，y，z）， 则 得 取x＝1，得y＝－1，z＝－1，∴n＝（1，－1，－1）. ∵ ·n＝ ·（1，－1，－1）＝0，∴ ⊥n. 又∵MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 利用空间向量证明线面平行的三种方法 （1）证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平 面内的一组基底表示； （2）证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用 线面平行判定定理得证； （3）先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与 平面的法向量垂直，最后说明所证直线不在该平面内. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC， AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝ ，且点M和点N分别为B1C和D1D 的中点.求证：MN∥平面ABCD. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 证明：如图，以A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，依题意可得A（0，0，0），C（2，0，0），D（1，－2，0），B1（0，1，2），D1（1，－2，2）. 因为M，N分别为B1C，D1D的中点， 所以M（1， ，1），N（1，－2，1）. 依题意，可得n＝（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量， 又 ＝（0，－ ，0），则 ·n＝0， 又直线MN⊄平面ABCD，所以MN∥平面ABCD. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜平面和平面平行 【例3】　证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交 直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 已知：如图，a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α. 求证：α∥β. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 证明：如题图，取平面α的法向量n，直线a，b的方向向量u，v. 因为a∥α，b∥α，所以n·u＝0，n·v＝0. 因为a⊂β，b⊂β，a∩b＝P， 所以对任意点Q∈β，存在x，y∈R，使得 ＝xu＋yv. 从而n· ＝n·（xu＋yv）＝xn·u＋yn·v＝0. 所以向量n也是平面β的法向量.故α∥β. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 证明面面平行的方法 （1）利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行； （2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形， AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点.试用向量 方法证明：平面AA1D1D∥平面FCC1. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 证明：因为AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中点，所 以BF＝BC＝CF，所以△BCF为正三角形. 因为ABCD为等腰梯形，AB＝4，BC＝CD＝2，所以 ∠BAD＝∠ABC＝60°， 取AF的中点M，连接DM， 则DM⊥AB，所以DM⊥CD. 以D为原点，DM所在直线为x轴，DC所在直线为y轴， DD1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系D- xyz，则D（0，0，0），D1（0，0，2），A（ ，－1， 0），F（ ，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，2）， 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 所以 ＝（0，0，2）， ＝（ ，－1，0）， ＝ （ ，－1，0）， ＝（0，0，2），所以 ∥ ， ∥ ， 所以DD1∥CC1，DA∥CF， 又DD1∩DA＝D，CC1∩CF＝C，DD1，DA⊂平面 AA1D1D，CC1，CF⊂平面FCC1， 所以平面AA1D1D∥平面FCC1. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 已知向量a＝（2，4，5），b＝（3，x，y）分别是直线l1，l2的方向 向量，若l1∥l2，则（　　） A. x＝6，y＝15 B. x＝3，y＝ C. x＝3，y＝15 D. x＝6，y＝ 解析： 　由题意得， ＝ ＝ ，∴x＝6，y＝ . √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知l∥α，且l的方向向量为a＝（2，m，1），平面α的法向量为n ＝ ，则m＝ ⁠. 解析：∵l∥α，∴a⊥n，即a·n＝2＋ m＋2＝0，∴m＝－8. －8 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知平面α内的三点A（0，0，1），B（0，1，0），C（1，0，0）， 平面β的一个法向量为n＝（－1，－1，－1），且β与α不重合，则β与 α的位置关系是 ⁠. 解析：∵ ＝（0，1，－1）， ＝（1，0，－1），n· ＝（－1，－ 1，－1）·（0，1，－1）＝－1×0＋（－1）×1＋（－1）×（－1）＝0， n· ＝（－1，－1，－1）·（1，0，－1）＝－1×1＋0＋（－1）×（－ 1）＝0，∴n⊥ ，n⊥ .∴n也为α的一个法向量，又α与β不重 合，∴α∥β. α∥β 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点.直线AD上是否存在点F，使 得AE∥CF？ 解：不存在，理由如下. ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， 因为 ， 不共线，所以不存在实数λ使 ＋ ＝λ（－ ＋ ），即不存在实数λ，使 ＝λ ，所以 ， 不共线， 故直线AD上不存在点F，使得AE∥CF. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 在空间直角坐标系中，已知A（1，2，3），B（－2，－1，6），C （3，2，1），D（4，3，0），则直线AB与CD的位置关系是（　　） A. 垂直 B. 平行 C. 异面 D. 相交但不垂直 解析： 　由题意得， ＝（－3，－3，3）， ＝（1，1，－1）， ∴ ＝－3 ，∴ 与 共线，又AB与CD没有公共点.∴AB∥CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知平面α的一个法向量为（1，2，－2），平面β的一个法向量为 （－2，－4，k），若α∥β，则k＝（　　） A. 2 B. －4 C. 4 D. －2 解析： 　因为α∥β，所以 ＝ ＝ ，所以k＝4. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知a为直线l的一个方向向量， ， 为平面α内两个向量，则下 列说法正确的是（　　） A. 若a＝ ，则l∥α B. 若a＝k （k∈R），则l∥α C. 若a＝p ＋λ （p，λ∈R），则l∥α D. 以上均不一定推出l∥α 解析： 　选项A、B、C都能推出l∥α或l⊂α，但不能确定一定是l∥α. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则“m·n＝0”是 “l∥α”的（　　） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 解析： 　若m·n＝0，则l∥α或l⊂α；另一方面，若l∥α，则m·n＝ 0.因此，“m·n＝0”是“l∥α”的必要不充分条件.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 5. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点， ＝λ ，且 EF∥平面ACD1，则实数λ的值为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　建立如图所示的空间直角坐标系，设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则A（a，0，0），C（0，b，0），D1（0，0，c），E（ a，b， ），B1（a，b，c），所以 ＝（－a，b，0）， ＝（－a，0，c）， ＝（－a，－b，0）.因为 ＝λ ，所以 ＝（－λa，－λb，0），所以F（（1－λ）a，（1－λ）b，c），所以 ＝（ －λa，－λb， ）.设平面ACD1的法向量为n＝（x，y，z），则 当x＝bc时，y＝ac，z＝ ab，则n＝（bc，ac，ab）.因为EF∥平面ACD1，所 以 ⊥n，所以 ·n＝－λabc－λabc＋ ＝0，解得λ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕已知空间中两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β， 则下列说法中正确的是（　　） A. 若直线l的一个方向向量为a＝（1，－1，2），直线m的一个方向向量 为b＝（2，－2，4），则l∥m B. 若直线l的方向向量为a＝（0，1，－1），平面α的法向量为n＝（1， －1，－1），则l∥α C. 若平面α，β的法向量分别为n1＝（0，1，3），n2＝（1，0，2），则 α∥β D. 若平面α经过三个点A（1，0，－1），B（0，－1，0），C（－1， 2，0），向量n＝（1，u，t）是平面α的一个法向量，则u＋t＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，b＝2a，则a∥b，∴l∥m，故A中说法正确；对于 B，a·n＝0×1＋1×（－1）＋（－1）×（－1）＝0，则a⊥n，∴l∥α 或l⊂α，故B中说法错误；对于C，若n1＝λn2（λ≠0），则（0，1， 3）＝λ（1，0，2），得 此方程组无解，∴α∥β不成立，故C 中说法错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 对于D， ＝（－1，－1，1）， ＝（－1，3，0），∵n＝（1，u，t） 是平面α的法向量，∴ 解得 ∴u＋t＝ ，故D中说法正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 7. 直线l的方向向量s＝（－1，1，1），平面α的法向量为n＝（2，x2＋ x，－x），若直线l∥平面α，则实数x的值为 ⁠. 解析：∵直线l的方向向量s＝（－1，1，1），平面α的法向量为n＝ （2，x2＋x，－x），直线l∥平面α，∴x2－2＝0，解得x＝± . ± 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 8. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中 点，则OP与BD1的位置关系是 ⁠. 解析：如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x 轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，设正方 体的棱长为1，则O（ ， ，0），P（0，0， ），B （1，1，0），D1（0，0，1）.则 ＝（－ ，－ ， ）， ＝（－1，－1，1），所以 ＝ ， ∥ ，所以OP∥BD1. 平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 9. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，M，N分别为A1B， AC的中点.求证：MN∥B1C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 证明：如图，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则A（2， 0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B（2，2， 0），B1（2，2，2），M（2，1，1），N（1，1， 0），所以 ＝（－1，0，－1）， ＝（－2，0， －2）.所以 ＝2 .所以 ∥ ，所以 MN∥B1C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 10. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平 面DBC1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 证明：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系. 设正三棱柱的底面边长为a（a＞0），侧棱长为b（b＞ 0），则A（0，0，0），B（ a， ，0）， B1（ a， ，b），C1（0，a，b），D（0， ，0）， ∴ ＝（ a， ，b）， ＝（－ a，0，0）， ＝（0， ，b）. 设平面DBC1的法向量为n＝（x，y，z）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 则 ∴ 不妨令y＝2b，则n＝（0，2b，－a）. 由于 ·n＝ab－ab＝0，因此 ⊥n. 又AB1⊄平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 11. 如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，以CD，CB， CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，若AB＝ ， AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为（　　） A. （1，1，1） B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由已知得A（ ， ，0），B（0， ，0），D（ ，0， 0），E（0，0，1）.设M（x，x，1），则 ＝（x－ ，x－ ， 1）， ＝（ ，－ ，0）， ＝（0，－ ，1）.设平面BDE的一 个法向量为n＝（a，b，c），则 即 所以 取b＝1，则n＝（1，1， ）.又AM∥平面BDE，所以 n· ＝0，即2（x－ ）＋ ＝0，得x＝ ，所以M . 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕已知四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，PD⊥ 平面ABCD，PD＝AB＝1，E是PB的中点，F是PC的中点，建立如图所 示的空间直角坐标系，则下列说法中正确的是（　　） A. 平面ADE的一个法向量是（0，－1，1） B. 直线AE∥平面PCD C. 直线EF∥平面PAD D. 直线DF∥平面PAB √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由题图得D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0）， B（1，1，0），P（0，0，1），E（ ， ， ），F（0， ， ），所以 ＝（1，0，0）， ＝（ ， ， ），设平面ADE的法向量为n＝ （x，y，z），则 令z＝1，得y＝－1，x＝ 0，所以n＝（0，－1，1），故A正确；因为PD⊥AD，AD⊥CD， PD∩CD＝D，又PD，CD⊂平面PCD，所以AD⊥平面PCD，所以平面 PCD的一个法向量为 ＝（1，0，0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 又因为 ＝（－ ， ， ）， · ＝－ ≠0，所以 与 不垂直， 即AE与平面PCD不平行，故B不正确；易知平面PAD的一个法向量为 ＝（0，1，0），又 ＝（－ ，0，0）， · ＝0，所以EF⊥DC， 又EF⊄平面PAD，所以直线EF∥平面PAD，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 设平面PAB的法向量为m＝（x1，y1，z1），又 ＝（0，1，0）， ＝ （1，0，－1），由 令x1＝1，得m＝（1，0，1）， 又 ＝（0， ， ），所以 ·m＝ ≠0，所以直线DF与平面PAB不平 行，故D不正确.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 13. 已知直线l的一个方向向量为a＝（1，－1，2），平面α的一个法向量 为b＝（x，0，z）.若l∥α，｜b｜＝2｜a｜，则b＝ ⁠ ⁠. 解析：因为l∥α，所以x＋2z＝0，又因为｜b｜＝2｜a｜，所以x2＋z2 ＝4（1＋1＋4）＝24，解得 或 （ ，0，－ ）或（－ ，0， ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 14. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中 点，求证： （1）FC1∥平面ADE； 证明：如图所示建立空间直角坐标系D-xyz，则有D（0， 0，0），A（2，0，0），C1（0，2，2），E（2，2， 1），F（0，0，1），B1（2，2，2）. 所以 ＝（0，2，1）， ＝（2，0，0）， ＝（0， 2，1）， ＝（2，0，0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 设n1＝（x1，y1，z1）是平面ADE的一个法向量，则n1⊥ ，n1⊥ ， 即 得 令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝（0，－1，2）. 因为 ·n1＝－2＋2＝0，所以 ⊥n1. 又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）平面ADE∥平面B1C1F. 证明：设n2＝（x2，y2，z2）是平面B1C1F的一个法向量. 由n2⊥ ，n2⊥ ，得 得 令z2＝2，得y2＝－1. 所以n2＝（0，－1，2），因为n1＝n2， 所以平面ADE∥平面B1C1F. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 15. 四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍，P为侧棱SD上的点.若SD⊥平面PAC，问侧棱SC上是否存在一点 E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，请说明 理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：连接BD，设AC交BD于点O，连接SO，由题意知SO⊥平面ABCD. 以O为坐标原点， ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向， 建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示. 设底面边长为a，则OD＝OC＝OB＝ a，SO＝ a， 于是S ，B ，D ， C（0， a，0）， 则 ＝ ， ＝ ， ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 假设在侧棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC. 由题意知 是平面PAC的一个法向量， 设 ＝t ，则 ＝ ＋ ＝ ＋t ＝ . 由 · ＝0，得－ ＋ a2t＝0，解得t＝ . 即当SE∶EC＝2∶1时， ⊥ ， 又BE⊄平面PAC，所以BE∥平面PAC. 故侧棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC，且 SE∶EC＝2∶1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 $