模块综合检测（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）
2026-05-01
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教辅
摘要：
这是一份高中数学期末模块综合检测资料，包含选择题、填空题、解答题等题型，覆盖复数、解三角形、立体几何等模块，通过多样化题目为学生提供知识巩固与能力检测的学习支架。
资料特色突出，注重核心素养培养，以“朗读亭”“蛋仔冰淇淋”等现实情境引导学生用数学眼光观察世界，通过解三角形推理、立体几何计算等过程发展数学思维，借助复数、几何语言表达问题提升数学语言能力。能帮助学生综合应用知识，也为教师教学提供有效检测工具。
内容正文：
模块综合检测
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模块综合检测
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3.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，下列结论正确的是( )
A．AB∥EF
B．CD∥MN
C．MN与AB是异面直线
D．BF与CD成60°角
解析：将正方体还原，连接BF，如图所示．
由图可知，A，B不正确；C正确；
BF∥CD，所以D不正确．故选C.
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7.如图，在扇形ABC中，半径AB＝2，圆心角∠CAB＝60°，P是扇形弧上的动点，过P作PQ⊥AB于Q，作PR⊥AC于R，记∠PAB＝θ，RQ＝f(θ)，则f(θ)( )
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解析：由题意AQ＝2cos θ，AR＝2cos (60°－θ)，由余弦定理有
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8.为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与正六棱柱的高的比值为1∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为( )
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解析：因为－t2＋4t－5＝－(t－2)2－1＜0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1＞0，所以z对应的点在第二象限，故A正确；
因为－t2＋4t－5＝0无解，所以z一定不为纯虚数，故B正确；
因为t2＋2t＋2＝0无解，所以z一定不是实数，故D错误．
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10.如图，在社会实践活动中，李明同学设计了一款很“萌”的圆台形台灯，台灯内装有两个相切且球心均在圆台的轴上的球形灯泡，上、下两灯泡的球面分别与圆台的上、下底面相切，且都与圆台的侧面相切，若上、下两球形灯泡的半径分别为1和9，则( )
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解析：如图所示，作出圆台的轴截面ABCD，O1，O2分别为上下两球的球心，点M，N，E，F为球面与圆台的切点，过点O1作O1H⊥NO2，垂足为H，设小球半径为r，大球半径为R.
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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若z1＝1－i，z2＝3－5i，在复平面上与z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，则Z1，Z2的距离为________．
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解：由余弦定理，得6＝b2＋c2－2bc cos 60°，
所以b2＋c2－bc＝6，①
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因为a2＋c2>b2，所以B为锐角，
所以B＝75°，所以C＝45°.
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(1)证明：AC⊥D1E；(7分)
解：证明：如图所示，连接BD，因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1是直棱柱，所以B1B⊥平面ABCD.
因为AC⊂平面ABCD，所以B1B⊥AC.
因为BD∩B1B＝B，BD，B1B⊂平面B1BDD1，
所以AC⊥平面B1BDD1.
因为D1E⊂平面B1BDD1，所以AC⊥D1E.
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因为AD∥A1D1，
所以∠A1D1E为异面直线AD与D1E所成的角．
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所以异面直线AD与D1E所成的角为60°.
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(2)若AD·AE＝100，求∠ACD的值；(5分)
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(3)求微型游乐场△CDE面积的最小值．(8分)
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(1)若λ＝1，A1在平面PBC上的射影恰好在BC上，求二面角A1-CP-B平面角的余弦值；(8分)
解：过点A作CP的垂线交CP于点D，交BC于点H，如图所示，翻折后仍有A1D⊥CP，HD⊥CP，又因为A1D∩HD＝D，且A1D，HD⊂平面A1DH，所以CP⊥平面A1DH，所以∠A1DH为二面角A1-CP-B的平面角．
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(2)若二面角A1-CP-B为直二面角，当A1B取到最小值时，求λ的值及点P到平面A1BC的距离．(9分)
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14．某冷饮店为了吸引顾客，特推出一款蛋仔冰淇淋，其底座造型如图所示，外部为半球型蛋壳，内有三个特制的球型蛋仔，蛋仔两两相切，且都与蛋壳相切，蛋仔的顶端正好与半球型的蛋壳的上沿处于同一水平面，如果球型蛋仔的半径为，求这个蛋壳型的半球的容积为______________________．
解：设∠ACD＝θ，在△ACD中，由正弦定理，得＝，同理在△ACE中，＝，
由λ＝1可知PA＝PC，因为sin ∠ACD＝＝sin ∠CAB＝，所以AD＝AC·sin ∠ACD＝；
又易知cos ∠CAH＝cos ∠ABC＝，又＝cos ∠CAH，可得AH＝，所以DH＝AH－AD＝，所以cos ∠A1DH＝＝，即二面角A1-CP-B平面角的余弦值为.
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