第11章 章末综合检测(三)立体几何初步（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了立体几何的核心知识，涵盖空间点线面位置关系、几何体体积表面积计算、空间角与距离求解等内容，通过综合检测题将直线与平面平行垂直判定、翻折问题、斜二测画法等知识点串联，帮助学生构建完整的立体几何知识网络。 其亮点在于结合“数学眼光”“数学思维”设计复习活动，如以葫芦摆件为背景考查球体积计算，培养用数学观察现实世界的能力，通过线面垂直证明、三余弦定理推导等题目发展逻辑推理的数学思维。分层设置选择、填空、解答题，满足不同学生需求，助力教师精准把握学情，有效提升复习效率。

章末综合检测(三) 1 √ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知a，b是两条不同的直线，α是一个平面，若a∥α，b⊂α，则(　　) A．a∥b B．a与b异面 C．a与b相交 D．a与b没有公共点 解析：因为a，b是两条不同的直线，α是一个平面，若a∥α，b⊂α，则a∥b或a与b异面，即a与b没有公共点，故只有D满足题意． 4 5 6 7 8 1 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 17 18 19 章末综合检测 √ 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 18 19 章末综合检测 √ 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 18 19 章末综合检测 √ 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 18 19 章末综合检测 √ 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 18 19 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 18 19 章末综合检测 √ 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 18 19 章末综合检测 解析：设AB＝CD＝2a，则矩形ABCD的面积S矩形ABCD＝3×2a＝6a， 取CD的中点F，连接PF，如图所示． 因为△PCD是等边三角形， 所以PC＝PD＝CD＝2a， 因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，PF⊂平面PCD， 所以PF⊥平面ABCD，即PF是四棱锥P-ABCD的高， 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 18 19 章末综合检测 √ 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 18 19 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 18 19 章末综合检测 √ 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 18 19 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 18 19 章末综合检测 √ √ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知α，β为两个平面，且α∩β＝l，m，n是两条不重合的直线，则下列结论正确的是(　　) A．存在m⊂α，使m⊥β B．存在m⊂α，使得m∥β C．对任意m⊂α，存在n⊂β，使得m⊥n D．对任意m⊂α，存在n⊂β，使得m∥n 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 18 19 章末综合检测 解析：对于A，只有当α⊥β时，才能存在m⊂α，使得m⊥β，故A错误； 对于B，当m∥l时，结合线面平行的性质可得m∥β，故B正确； 对于C，若α⊥β则原命题成立；若两平面不垂直，则对任意m⊂α，设a⊂β，使得a为m在平面β上的射影，存在n⊂β，使得n⊥a，此时m⊥n，故C正确； 对于D，当m∩l＝A时，在平面β上不存在直线n使得m∥n，故D错误． 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 18 19 章末综合检测 √ √ 10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是(　　) A.CD⊥平面ABD B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面ADC 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 18 19 章末综合检测 解析：因为AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD， 且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，所以CD⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，所以CD⊥AB， 因为AB⊥AD，且CD∩AD＝D，CD，AD⊂平面ADC， 所以AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC， 所以平面ABC⊥平面ADC. 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 18 19 章末综合检测 √ √ √ 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 18 19 章末综合检测 解析：点P的轨迹是过点B且与C1C垂直的平面α(不包括点B)，因为A1A与C1C所在直线相交且不垂直，因此直线AA1与平面α相交，故A正确； 因为AA1⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以AA1⊥BD， 又AC⊥BD，AA1，AC⊂平面AA1C1C，AA1∩AC＝A，所以BD⊥平面AA1C1C， 因为CC1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥CC1， 因此平面α∩平面ABCD＝BD， 又B1D1∥BD，BD⊂平面α，B1D1⊄平面α， 所以B1D1∥α，故B不正确； 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 18 19 章末综合检测 若点P在底面ABCD内，则点P在直线BD上(不包括点B)，而BD∥平面AB1D1，所以点P到平面AB1D1的距离为定值， 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 18 19 章末综合检测 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径的长分别为4，10，则圆台的高为________． 4 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 18 19 章末综合检测 13．已知边长为2的正方形ABCD，沿对角线BD折起，得到三棱锥A-BCD，当该三棱锥体积最大时，线段AC的长为________． 2 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 18 19 章末综合检测 14.在几何学的世界里，阿基米德体以其独特的形状和美丽的对称性吸引了无数数学爱好者和科学家，它是一种半正多面体，其中每个面都是正多边形，且各个面的边数不全相同．如图，棱长为2的半正多面体是将一个棱长为6的正四面体切掉4个顶点所在的小正四面体后所剩余的部分，已知A，B，C，D为该半正多面体的四个顶点，点P为其表面上的动点，且PD∥平面ABC，则点P的轨迹长度为________． 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 18 19 章末综合检测 解析：如图，将其补全为正四面体，连接CQ， 取N，M分别为大正四面体棱的中点，连接DN，NM，DM， 由于C，D，A，B均为大正四面体棱的三等分点， 故DN∥CQ，NM∥AB. CQ⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，DN⊄平面ABC，NM⊄平面ABC， 故DN∥平面ABC, NM∥平面ABC. 且DN∩NM＝N，DN，NM⊂平面DNM， 故平面DNM∥平面ABC， 由于PD∥平面ABC，因此P∈平面DNM， 故点P的轨迹为线段DN，NM，DM， 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 18 19 章末综合检测 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分13分)如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝120°，将△ABC绕BC轴旋转一周形成了一个旋转体．求： (1)这个旋转体的体积；(6分) 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 18 19 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 18 19 章末综合检测 (2)这个旋转体的表面积．(7分) 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 18 19 章末综合检测 16.(本小题满分15分)如图，已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1.求： (1)该直三棱柱的侧面积和体积；(7分) 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 18 19 章末综合检测 (2)直线A1B与AC1所成的角．(8分) 解：根据题意可将直三棱柱ABC-A1B1C1补全成如图所示的正方体． 易知A1B∥C1D，且△ADC1为等边三角形， 所以∠AC1D即为直线A1B与AC1所成的角，又∠AC1D＝60°， 故直线A1B与AC1所成的角为60°. 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 18 19 章末综合检测 17．(本小题满分15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，DA＝AB＝2，DC＝4，E，F分别为棱DC，PD的中点．求证： (1)PB∥平面AEF；(7分) 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 11 2 3 1 章末综合检测 (2)AE⊥平面PBD.(8分) 证明：由(1)得四边形ABED为平行四边形，又DA＝AB＝2，所以四边形ABED为菱形，则AE⊥BD， 因为PD⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，则PD⊥AE， 又BD∩PD＝D，BD，PD⊂平面PBD，故AE⊥平面PBD. 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 11 2 3 1 章末综合检测 (1)求证：AM⊥BC；(8分) 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 11 2 3 1 章末综合检测 所以PA⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC， 所以PA⊥BC，又BC⊥CA， PA，CA⊂平面PAC，PA∩CA＝A， 所以BC⊥平面PAC，又AM⊂平面PAC， 所以AM⊥BC. 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 11 2 3 1 章末综合检测 (2)记棱AB的中点为E，在直线CE上作出点N，使得PN∥平面MAB，请说明理由，并求出二面角P-NB-A的大小．(9分) 解：以CA，CB为邻边，构造矩形ACBF，连接CF，PF，ME，易知CF过点E， 因为E，M分别为CF，CP的中点， 所以PF∥ME，又ME⊂平面MAB，PF⊄平面MAB，所以PF∥平面MAB， 即点F就是点N， 由(1)知PA⊥平面ACBN，BN⊂平面ACBN，所以BN⊥PA，又BN⊥AN， AN，PA⊂平面PAN，AN∩PA＝A， 所以BN⊥平面PAN，又PN⊂平面PAN，所以PN⊥BN， 所以∠PNA即为二面角P-NB-A的平面角， 因为PA⊥AN，PA＝AN，所以∠PNA＝45°， 所以二面角P-NB-A的大小为45°. 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 11 2 3 1 章末综合检测 19.(本小题满分17分)三余弦定理：设A为平面α内一点，过点A的斜线AO在平面α上的正射影为直线AB.AC为平面α内的一条直线，记斜线AO与直线AB所成的角(即直线AO与平面α所成的角)为θ1，直线AB与直线AC所成的角为θ2，直线AO与直线AC所成的角为θ，则cos θ＝cos θ1cos θ2. 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 11 2 3 1 章末综合检测 (1)证明三余弦定理；(4分) 解：证明：如图，不妨设点O在平面α的射影为点B，则OB⊥α，过点B作BC⊥AC交直线AC于点C，连接OC， 所以∠OAB即为斜线AO与平面α所成的角θ1， ∠BAC即为斜线AO在平面α的射影直线AB与平面α内的直线AC所成的角θ2，∠OAC即为斜线AO与平面α内的直线AC所成的角θ. 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 11 2 3 1 章末综合检测 因为OB⊥α，AC⊂α，所以OB⊥AC， 又BC⊥AC，OB∩BC＝B，OB，OC⊂平面OBC， 所以AC⊥平面OBC， 因为OC⊂平面OBC，所以AC⊥OC， 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 11 2 3 1 章末综合检测 (2)证明：无论AC在平面α内的任何位置，总有θ1≤θ；(6分) 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 11 2 3 1 章末综合检测 解：取BC的中点M，连接A1B，A1C，A1M，AM，易知△ABA1≌△ACA1， 所以A1C＝A1B，所以A1M⊥BC. 又AM⊥BC，A1M∩AM＝M，A1M，AM⊂平面AMA1，所以BC⊥平面AMA1， 因为BC⊂平面ABC， 所以平面AMA1⊥平面ABC， 所以直线AA1在平面ABC上的射影必在交线AM上， 所以直线AA1与底面ABC所成的角为∠A1AM， 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 11 2 3 1 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 11 2 3 1 章末综合检测 $