10.2.1 复数的加法与减法（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

该高中数学课件聚焦复数的加法与减法运算，系统讲解运算法则及几何意义。通过回顾实数四则运算与虚数单位引入，以多项式合并同类项为支架，引导学生从已有知识自然过渡到复数运算的探究。 其亮点在于结合实例与向量运算，以“问题链+母题探究”培养数学思维，如例2通过平行四边形顶点求向量对应的复数，体现几何直观与空间观念。小结强调“复数问题实数化”，帮助学生发展抽象能力与应用意识，教师可借助分层训练提升教学效率。

10．2　复数的运算 10．2.1　复数的加法与减法 1 新课导入 学习目标 　　通过引进虚数单位i，我们把数集进行了扩充，实数可以进行四则运算，虚数单位i也可以与实数一起按照实数的运算法则进行运算．任意的两个复数又该如何进行运算呢？ 1.通过实例，结合实数的加、减运算法则理解复数的加、减运算法则． 2．结合向量的加、减运算明确复数代数形式的加、减运算的几何意义． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　复数加、减法的运算 思考　多项式(3a＋2b)＋(2a－3b)的运算结果是什么？多项式的加、减法遵循什么原则？ 提示　5a－b；合并同类项． 返回导航 [知识梳理] 1．复数的加、减运算法则 一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1＋z2为z1与z2的和，并规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝________________，z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝_______________． 2．复数加法的运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)交换律：z1＋z2＝________； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝_____________． (a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i z2＋z1 z1＋(z2＋z3) 返回导航 [例1] (1)(对接教材例1)计算：(1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)＝________． 【解析】　原式＝(1－2＋2)＋(3＋1－3)i＝1＋i. (2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________． 1＋i 返回导航 返回导航 (1)复数的加、减运算类似于多项式的合并同类项． ①复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减． ②把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项． (2)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算，运算的结果仍然是一个复数． 返回导航 1＋i 返回导航 (2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，则z＝________． 4＋i 返回导航 二　复数加、减法的几何意义 思考　我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量坐标的加法运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 母题探究1　若本例条件不变，试求点B所对应的复数． 母题探究2　若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数． 返回导航 用复数加、减运算的几何意义解题的技巧 (1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理． (2)数转化为形：复数的加减运算可以借助图形，利用平行四边形法则、三角形法则进行运算；利用复数对应向量的关系得到复数间的关系． 返回导航 √ 返回导航 (4，－2) 返回导航 三　复数的加、减运算与模的几何意义有关的应用 [例3] 已知复数z满足|z＋2－2i|＝2，且复数z在复平面内的对应点为M. (1)确定点M的集合构成图形的形状； 【解】　设复数－2＋2i在复平面内的对应点为P(－2，2)， 则|z＋2－2i|＝|z－(－2＋2i)|＝|MP|＝2，故点M的集合是以点P为圆心，2为半径的圆，如图所示． 返回导航 (2)求|z－1＋2i|的最大值和最小值． 返回导航 母题探究　若本例条件不变，则|z|min＝__________，|z|max＝__________． 返回导航 (1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式． (2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆. (3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． (4)利用不等式||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|，求复数模的最值． 返回导航 √ 解析：设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足|z＋i|＝|z－i|，所以由复数的几何意义可知，点Z到点(0，－1)和(0，1)的距离相等，所以在复平面内点Z的轨迹为实轴，又|z＋1＋2i|表示点Z到点(－1，－2)的距离，所以问题转化为实轴上的动点Z到定点(－1，－2)距离的最小值，所以|z＋1＋2i|的最小值为2.故选B. 返回导航 (2)(2025·潍坊月考)设z是复数且|z－2|＝1，则|z|的最小值为__________． 1 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 26 1．若z－3＋5i＝8－2i，则z＝(　　) A．8－7i　　　　　　 B．5－3i C．11－7i D．8＋7i 解析：z＝(8－2i)－(－3＋5i)＝11－7i.故选C. √ 返回导航 2．设复数z1＝2－i，z2＝－3＋5i，则z1＋z2在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：因为z1＋z2＝(2－i)＋(－3＋5i)＝－1＋4i，所以z1＋z2在复平面内对应的点的坐标为(－1，4)，位于第二象限． √ 返回导航 √ √ 返回导航 解析：由题可知z2＝m＋3i＋4－2i＝(4＋m)＋i，对于A，因为z2为纯虚数，所以m＝－4，故A正确； 对于B，|z2|＝1，故B错误； 返回导航 －2－2i 返回导航 5．复数z1＝2＋2i与z2＝3－5i在复平面内对应的点之间的距离为__________． 返回导航 1．已学习：复数的加、减运算法则及其几何意义． 2．须贯通：设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，把条件转化为x，y满足的关系式，这是“复数问题实数化”思想的应用；d＝|z1－z2|表示复平面上两复数对应点间的距离，利用其直观性可求相关问题的最值． 3．应注意：(1)复数的差对应向量的方向； (2)两个复数差的模的几何意义． 返回导航 运算 名称 加法 减法 几何 意义 复数的和z1＋z2与向量＋＝对应 复数的差z1－z2与向量－＝对应 推论 ||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2| ||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2| $