10.2.1 复数的加法与减法-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦“第十章 复数”中的复数加法与减法运算，通过课前预习学案衔接复数概念，课堂互动学案引导法则探究，构建“预习-互动-巩固-提升”的学习支架，为后续复数乘除运算奠定基础。 其特色在于以分层学案设计培养数学思维，通过互动探究让学生抽象运算法则，用数学语言表达运算过程，既助学生深化理解，又为教师提供清晰教学路径，提升教学效率。

10．2　复数的运算 10．2.1　复数的加法与减法 第十章 复数 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 课程标准 素养解读 熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则，理解复数加、减法的几何意义. 通过复数加、减法的几何意义，提升数学抽象素养，通过运用复数加、减运算法则，培养数学运算素养. [情境引入] 乘飞机从上海到香港约2.5小时，从香港到台北约4小时．因此从上海经香港转航到台北约6.5小时．在两岸同胞的共同努力下，现在实现两岸直航，上海到台北只需约1.5小时．比直航前节省约5小时，有关航行节时的多少．体现了实数集内的代数运算． 问题　复数集内可进行复数的四则运算吗？ 提示　能进行复数的四则运算，复数的加减运算可以按照向量的加减进行． [知识梳理] [知识点一]　复数的加法法则　 1．运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝　(a＋c)＋(b＋d)　i，两个复数的和仍然是一个确定的　复数　. 2．复数加法的几何意义 如图(1)，复数z1＋z2是以eq \o(OZ1,\s\up6(→))，eq \o(OZ2,\s\up6(→))为邻边的平行四边形的对角线eq \o(OZ,\s\up6(→))所对应的复数． 3．加法运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝　z2＋z1　，(z1＋z2)＋z3＝　z1＋(z2＋z3)　. 　复数加法应注意什么？ [提示]　复数加法的几个注意点 1．因复数具有数与形的多重性，因此复数加法也应从数与形两方面领会，代数形式上，复数加法类似于多项式的加法的合并同类项．几何形式上，复数加法同向量加法． 2．两复数的和是一个确定的复数． 3．实数的运算性质，在复数集中仍然成立． 4．复数加法的几何意义 　两个向量eq \o(OZ1,\s\up6(→))与eq \o(OZ2,\s\up6(→))的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量，复数的加法可以按照向量的加法来进行． [知识点二]　复数的减法法则　 1．运算法则 复数的减法是　加法　的逆运算； 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则(a＋bi)－(c＋di)＝　(a－c)＋(b－d)i　，两个复数的差是一个确定的　复数　. 2．复数减法的几何意义 如图(2)，复数z1－z2是从向量eq \o(OZ2,\s\up6(→))的终点指向向量eq \o(OZ1,\s\up6(→))的终点的向量eq \o(Z2Z1,\s\up6(→))所对应的复数． [预习自测] 1．计算(3＋i)－(2＋i)的结果为(　　) A．5＋2i　　　　　 B．－i C．1 D．1－i 解析：C　[(3＋i)－(2＋i)＝3＋i－2－i＝1.故选C.] 2．已知i是虚数单位，复数z1＝－3＋2i，z2＝1－4i.则复数z＝z1＋z2在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：C　[由复数加法运算可知，z＝z1＋z2＝－3＋2i＋1－4i＝－2－2i，在复平面内对应的点坐标为(－2，－2)，在第三象限．故选C.] 3．在复平面内，复数1＋i和1＋3i分别对应向量eq \o(OA,\s\up6(→))和eq \o(OB,\s\up6(→))，其中O为坐标原点，则|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝(　　) A.eq \r(2) B．2 C.eq \r(10) D．4 解析：B　[由复数减法运算的几何意义知，eq \o(AB,\s\up6(→))对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，所以|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝2.] 4．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝　________　. 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R), 因为|z|＝3，所以a2＋b2＝9.因为z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i为纯虚数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＋3≠0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝0，,b≠－3.))又a2＋b2＝9，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝3，))所以z＝3i. 答案：3i 5．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝　________　，z2＝　________　. 解析：z＝z1－z2＝(3x＋y－4y＋2x)＋(y－4x＋5x＋3y)i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i. ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5x－3y＝13，,x＋4y＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1.))∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i. 答案：5－9i　－8－7i 复数的加、减运算 [例1]　(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝　________　. (2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝　________　. [思路点拨]　若z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a，b，c，d∈R)．则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i， z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. [解析]　(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i. (2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5x－5y＝5，,－3x＋4y＝－3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0，)) 所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i, 则z1＋z2＝1－i， 所以|z1＋z2|＝eq \r(2). [答案]　(1)－2－i　(2)eq \r(2) 复数代数形式的加、减法运算技巧 1．复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部． 2．算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部，虚部与虚部分别相加减． 3．复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算． [变式训练] 1．(1)计算(2＋4i)＋(3－4i)； (2)计算(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i)． 解：(1)原式＝(2＋3)＋(4－4)i＝5. (2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i＝－2＋2i. 复数加、减法的几何意义 [例2]　在复平面内，已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,2＋4i,3－3i.求： (1)向量eq \o(CO,\s\up6(→))对应的复数； (2)向量eq \o(AC,\s\up6(→))对应的复数； (3)点B对应的复数． [思路点拨]　明确向量运算与复数运算的关系，先求向量再计算利用复数． [解]　复平面内平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别0,2＋4i,3－3i，∴向量eq \o(OA,\s\up6(→))对应的复数2＋4i，向量eq \o(OC,\s\up6(→))对应的复数为3－3i. (1)∵eq \o(CO,\s\up6(→))＝－eq \o(OC,\s\up6(→))，∴向量eq \o(CO,\s\up6(→))对应的复数为－(3－3i)＝－3＋3i. (2)∵eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \o(OC,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))，∴向量eq \o(AC,\s\up6(→))对应的复数为(3－3i)－(2＋4i)＝1－7i. (3)∵eq \o(OB,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→))，∴向量eq \o(OB,\s\up6(→))对应的复数为(2＋4i)＋(3－3i)＝5＋i，∴点B对应的复数为5＋i. 复数z与复平面内的向量eq \o(OZ,\s\up6(→))是一一对应的关系，复数的加法可以按照向量的加法来进行，即复数的加法符合向量加法的三角形法则、平行四边形法则． 类比实数减法的意义．复数的减法也是加法的逆运算：减去一个复数等于加上这个复数的相反数． 若用d表示平面内点Z1和Z2之间的距离，则d＝|eq \o(Z1Z2,\s\up6(→))|＝|z1－z2|，其中z1，z2是复平面内的两点Z1，Z2对应的复数．这就是复平面内两点间的距离公式． [变式训练] 2．(1)已知复平面内的平面向量eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(AB,\s\up6(→))表示的复数分别是－2＋i,3＋2i，则|eq \o(OB,\s\up6(→))|＝　________　. (2)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限上，则实数a的取值范围是　________　. 解析：(1)∵eq \o(OB,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(AB,\s\up6(→))， ∴eq \o(OB,\s\up6(→))表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， ∴|eq \o(OB,\s\up6(→))|＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10). (2)z2－z1＝1＋(a－1)i，由题意知a－1<0， 即a<1. 答案：(1)eq \r(10)　(2)(－∞，1) 　　　复数加、减法及几何意义的综合应用 [例3]　(1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　) A．1　　　　　　 B.eq \f(1,2) C．2 D.eq \r(5) (2)若复数z满足|z＋eq \r(3)＋i|≤1，求|z|的最大值最小值． [思路点拨]　审清题意，正确画出图形，以形助数． [解析]　(1)设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2， 所以点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值， 因为|Z1Z3|＝1.所以|z＋i＋1|min＝1. (2)解　如图所示， |eq \o(OM,\s\up6(→))|＝eq \r(－\r(3)2＋－12)＝2. 所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1. [答案]　(1)A　(2)见解析 (1)设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用． (2)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形． [变式训练] 3．设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z＋1|的取值范围是　________　. 解析：由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤|z|≤2表示如图所示的圆环，而|z＋1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的对应点B(－1,0)之间的距离，即圆环内的点到点B距离d.由图易知当A与B重合时，dmin＝0，当点A与点C(2,0)重合时，dmax＝3，∴0≤|z＋1|≤3. 答案：[0,3] 1．若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于(　　) A．0　　　　　　 B．2i C．6 D．6－2i 解析：D　[z＝3－i－(i－3)＝6－2i.] 2．复数z1＝3＋i，z2＝i2＋i，则z1＋z2在复平面内表示的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：B　[z1＋z2＝(3＋i)＋(i2＋i)＝(3＋i)＋ (－1＋i)＝2＋2i，对应的点在第一象限．] 3．(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝　________　(a，b∈R)． 解析：(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i. 答案：－a＋(4b－3)i 4．在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i，若eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \o(BC,\s\up6(→))，则点D表示的复数是　________　. 解析：∵点A，B，C对应的复数分别为1＋3i，－i， 2＋i，∴A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1)，∴eq \o(BC,\s\up6(→))＝(2,2)． 设D(x，y)，则eq \o(AD,\s\up6(→))＝(x－1，y－3)．∵eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \o(BC,\s\up6(→))， ∴(x－1，y－3)＝(2,2)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1＝2，,y－3＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝5.)) ∴点D表示的复数为3＋5i. 答案：3＋5i 5．已知复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点分别是正方形ABCD的三个顶点A，B，C，求这个正方形的第四个顶点D对应的复数． 解：设第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．则eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \o(OD,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))＝(x，y)－(1,2)＝(x－1，y－2)，eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \o(OC,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)．∵eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \o(BC,\s\up6(→))， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1＝1，,y－2＝－3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1.))故点D对应的复数为2－i. $