10.1.1 复数的概念(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦“复数的概念”核心知识点，以数系扩充历史为脉络，从方程无解问题（如x²=-1）引入复数必要性，系统讲解复数定义（a+bi）、实部虚部、分类（实数、虚数、纯虚数）及相等条件，搭建完整知识支架。 该资料以数学抽象为引领，通过“想一想”互动问题（如辨析虚部是否含i）培养数学思维，结合题型示例与通性通法总结（如复数分类的实部虚部条件）提升数学运算能力。课中辅助教师清晰授课，课后助力学生通过跟踪训练查漏补缺，强化知识理解。

10.1.1　复数的概念 【基础落实】 新知初探 知识点一 1.虚数单位　－1　2.a　b 想一想 1.提示：不对. 2.提示：不一定，对于复数z＝a＋bi（a，b∈R），实部才是a，虚部才是b. 自我诊断 －3　7　 解析：3i2＋7i＝－3＋7i，实部为－3，虚部为7. 知识点二 想一想 1.提示：不能. 2.提示：b＝0. 自我诊断 C　由纯虚数的定义可知i， （1－）i是纯虚数.故选C. 知识点三 a＝c且b＝d 想一想 1.提示：0. 2.提示：4. 自我诊断 （1）×　（2）×　（3）×　（4）√　（5）√ 【典例研析】 【例1】　解：5＋i的实部是5，虚部是. －2＝－2＋0i，∴－2的实部是－2，虚部是0. －i的实部是，虚部是－1. －i＝0＋i，∴－i的实部是0，虚部是－. i2＝－1＝－1＋0i，∴i2的实部是－1，虚部是0. －2，i2是实数；5＋i，－i，－i是虚数；－i是纯虚数. 跟踪训练 1.C　因为z＝2a－4＋（a－2）i的实部与虚部相等，所以2a－4＝a－2，解得a＝2. 2.－ 　 解析：因为＝cos＋isin ＝－i， 所以复数的虚部为－. 【例2】　解：（1）当 即m≠5且m≠－3时，z是虚数. （2）当 即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数. 母题探究 1.解：当即m＝5时，z是实数. 2.解：因为z＞0， 所以z为实数，需满足 解得m＝5. 跟踪训练 解：（1）若复数z是实数，则 即 所以a＝6. （2）若复数z是虚数，则 即 所以实数a的取值范围为{a｜a≠±1且a≠6}. （3）复数z不可能为纯虚数.理由如下： 若复数z是纯虚数，则 即此时无解，故复数z不可能为纯虚数. 【例3】　解：（1）根据复数相等的充要条件，由（2x－1）＋i＝y－（3－y）i，得解得 （2）由已知得 解得m＝－2. 跟踪训练 1.C　由（3x＋2y）＋（5x－y）i＝17－2i， 所以 解得则x＋y＝8.故选C. 2.解：由复数相等的条件得方程组 由②得x＝y＋2，代入①得y2＋2y－1＝0，解得y1＝－1＋，y2＝－1－. 所以x1＝y1＋2＝1＋，x2＝y2＋2＝1－，即或 随堂检测 1.B　根据复数的分类，复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示，故选B. 2.1，1　 解析：根据x2－y2＋2xyi＝2i可得x2－y2＝0且2xy＝2，解得x＝y＝1或者x＝y＝－1，由于x＞0，所以x＝y＝1. 3.－2　 解析：若z是纯虚数，则m2－5m＋6＝0且m2－3m≠0，解得m＝2，则复数z的虚部是m2－3m＝4－6＝－2. 4.解：∵z1 ＞z2，∴解得m＝0. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1.1　复数的概念 1.通过方程的解，了解引入复数的必要性（数学抽象）. 2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件（数学运算）. 　　数的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解： 　　因为类似x＋4＝3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似x＋4＝3的方程在整数范围内有解； 　　因为类似2x＝5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似2x＝5的方程在有理数范围内有解； 　　因为类似x2＝7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似x2＝7的方程在实数范围内有解. 【问题】　我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解.那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 知识点一　复数的有关概念 1.定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数.其中i称为　　　　　　，满足i2＝　　　　. 2.表示方法：复数一般用小写字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re（z）＝　　　　，Im（z）＝　　　　. 【想一想】 1.复数m＋ni的实部是m，虚部是ni，对吗？ 2.复数a＋bi的实部是a，虚部是b吗？ 3i2＋7i的实部为　　　，虚部为　　　　. 知识点二　复数的分类 1.复数（a＋bi，a，b∈R） 2.复数集及包含关系 所有复数组成的集合称为复数集，即C＝{z｜z＝a＋bi，a，b∈R}. 【想一想】 1.两个虚数能比较大小吗？ 2.复数z＝a＋bi（a，b∈R）在什么情况下表示实数？ 在2＋，i，8＋5i，（1－）i，0.68这几个数中，纯虚数的个数为（　　） A.0　　　　　　　　 B.1 C.2 D.3 知识点三　复数相等 如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔　　　　　　　　，即它们的实部与虚部都对应相等. 【想一想】 1.若复数z＝a＋bi（a，b∈R），z＝0，则a＋b的值为多少？ 2.若复数z1，z2分别为z1＝3＋ai（a∈R），z2＝b＋i（b∈R），且z1＝z2，则a＋b的值为多少？ 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数.（　　） （2）复数z1＝3i，z2＝2i，则z1＞z2.（　　） （3）复数z＝bi（b∈R）是纯虚数.（　　） （4）实数集与复数集的交集是实数集.（　　） （5）若a－2i＝bi＋1（a，b∈R），则b＋ai＝－2＋i.（　　） 题型一｜复数的概念 【例1】　分别指出下列复数的实部和虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数. 5＋i，－2，－i，－i，i2. 尝试解答 通性通法 复数中实部与虚部的判断 （1）a＝a＋0i（a∈R），故a的实部是a，虚部是0； （2）bi＝0＋bi（b∈R），故bi的实部是0，虚部是b； （3）复数a＋bi（a，b∈R）中，i的系数即复数的虚部. 【跟踪训练】 1.已知复数z＝2a－4＋（a－2）i（其中i是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a等于（　　） A.－2 B.－3 C.2 D.3 2.欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的，根据欧拉公式可知复数的虚部为　　　　. 题型二｜复数的分类 【例2】　当m为何实数时，复数z＝＋（m2－2m－15）i.（1）是虚数；（2）是纯虚数. 尝试解答 【母题探究】 1.（变设问）本例中条件不变，当m为何值时，z为实数. 2.（变设问）本例中条件不变，当m为何值时，z＞0. 通性通法 解决复数分类问题的方法与步骤 （1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部； （2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可； （3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R）， ①z为实数⇔b＝0； ②z为虚数⇔b≠0； ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 【跟踪训练】 已知复数z＝＋（a2－5a－6）i（a∈R）. （1）若复数z是实数，求实数a的值； （2）若复数z是虚数，求实数a的取值范围； （3）判断复数z是否可能为纯虚数.若可能为纯虚数，求出实数a的值；若不可能为纯虚数，请说明理由. 题型三｜两个复数相等 【例3】　（1）已知（2x－1）＋i＝y－（3－y）i，其中x，y∈R，i为虚数单位，求实数x，y的值； （2）已知（m2＋7m＋10）＋（m2－5m－14）i＝0，求实数m的值. 尝试解答 通性通法 复数相等问题的解题技巧 （1）复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数.解决复数相等问题的步骤：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解； （2）运用复数相等的充要条件a＋bi＝c＋di⇔时，应注意前提条件a，b，c，d∈R，否则易出错. 【跟踪训练】 1.已知i是虚数单位，若（3x＋2y）＋（5x－y）i＝17－2i，x，y∈R，则x＋y＝（　　） A.6　　　 B.7　　　 C.8　　 　D.－7 2.已知x2＋y2－6＋（x－y－2）i＝0，求实数x，y的值. 1.设集合A＝{虚数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，则A，B，C间的关系为（　　） A.A⫋B⫋C B.B⫋A⫋C C.B⫋C⫋A D.A⫋C⫋B 2.已知x2－y2＋2xyi＝2i（其中x＞0），则实数x，y的值分别为　　　　　. 3.已知复数z＝（m2－5m＋6）＋（m2－3m）i是纯虚数，则复数z的虚部是　　　　. 4.若复数z1＝m2＋1＋（m3＋3m2＋2m）i，z2＝4m－2＋（m2－5m）i，m为实数，且z1＞z2，求实数m的值. 提示：完成课后作业　第十章　10.1　10.1.1 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $