第11章 阶段提升(三) 空间几何体(范围：11.1)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本高中数学讲义聚焦空间几何体核心知识点，系统梳理表面积与体积计算，以及球与多面体、旋转体的“切”“接”问题。从四棱锥、圆锥等基础几何体入手，逐步过渡到复杂组合体及切接综合应用，构建递进式学习支架。 资料通过典型例题解析（如四棱锥外接球与内切球表面积比）和方法总结（补体法、轴截面法），培养学生空间观念与几何直观（数学眼光），提升逻辑推理与运算能力（数学思维）。课中辅助教师教学，课后助力学生巩固知识，查漏补缺。

阶段提升(三)　空间几何体(范围：11.1) 题型一　空间几何体的表面积与体积 1．已知一四棱锥底面为正方形，侧面均为边长为的等边三角形，则该四棱锥的体积是(　　) A． B． C． D． 解析：选D.由四棱锥底面为正方形，侧面均为边长为的等边三角形，得该四棱锥为正四棱锥，其高为h＝＝1，所以该四棱锥的体积是V＝×()2×1＝. 2．若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，则＝(　　) A．－1 B． C．－1 D． 解析：选D.圆锥的表面积为πrl＋πr2，球的表面积为4π＝πl2，故πrl＋πr2＝πl2， 即＋－1＝0，故＝(负值已舍去). 3.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为 cm，高为2 cm，内孔直径为1 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____________cm3. 解析：V螺帽＝V正六棱柱－V圆柱＝6×××2－π××2＝(cm3). 答案：9－ 4．已知圆锥的底面半径为6，体积为96π，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，若截得的圆台体积为84π，则该圆台的表面积为_________________． 解析：设圆台上底面半径为r，高为h，则＝，解得r＝3， 由圆台的体积公式得h＝84π， 解得h＝4， 所以圆台的母线长l＝＝5， 则圆台的侧面积为π×5＝45π， 所以圆台的表面积为45π＋9π＋36π＝90π. 答案：90π 空间几何体的表面积与体积的求法 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． (3)求复杂几何体的体积常用割补法、等积法等求解． 题型二　球与多面体的“切”“接” [例1] 如图，已知在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，PA，AB，AD两两相互垂直，AB＝BC＝4，PA＝3，则此四棱锥外接球与内切球的表面积之比为(　　) A．∶2 B．41∶4 C．∶1　 D．41∶1 【解析】　如图，可将四棱锥P­ABCD放入长方体中，设外接球的半径为R，则(2R)2＝32＋42＋42＝41，故R2＝，所以外接球的表面积为4πR2＝41π.设内切球的半径为r，由长方体的性质可知：△PAB，△PBC，△PDC，△PAD均为直角三角形，且S△PAB＝S△PAD＝×4×3＝6，S△PBC＝S△PDC＝×4×5＝10，则VP­ABCD＝×4×4×3＝(S正方形ABCD＋S△PAB＋S△PBC＋S△PDC＋S△PAD)r＝×(4×4＋2×6＋2×10)r，解得r＝1，所以内切球的表面积为4πr2＝4π，故该四棱锥外接球与内切球的表面积之比为41∶4. 【答案】　B (1)特殊多面体的内切球或外接球问题，要注意球心的位置与几何体的关系．一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊的位置，比如几何体的中心、对角线的中点等． (2)对于一些特殊的三棱锥、四棱锥，还要会利用补体法转化为长方体(正方体)与球的切、接问题，如三条侧棱两两垂直的三棱锥、对棱相等的三棱锥、有一条侧棱与底面(为矩形)垂直的四棱锥等都可以补成长方体后确定球心． [跟踪训练1] (1)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为(　　) A．πa2 B．πa2 C．πa2 D．5πa2 解析：选B.如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，连接OO1，则球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交BC于点D，连接AO2. 因为AD＝a，AO＝AD＝a， OO2＝， 所以AO＝a2＋a2＝a2， 故该球的表面积为4π×a2＝πa2. (2)已知正三棱锥P­ABC的侧棱长为，底面棱长为2，则正三棱锥P­ABC内切球的表面积为________． 解析：设内切球半径为r， 则正三棱锥的高为＝， 斜高为＝2， 则表面积为×＋3××2×2＝9， 故体积V＝×××＝×r×9，解得r＝，所以内切球的表面积为4π×＝. 答案： 题型三　球与旋转体的“切”“接” [例2] (1)已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为(　　) A． B． C． D． (2)(2025·全国二卷)一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为________cm. 【解析】　(1)圆柱的轴截面ABB1A1如图所示，记圆柱上、下底面圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，取O1O2 的中点为O，连接OB，则点O为外接球球心，OB为外接球半径． 因为圆柱的母线BB1＝2，底面半径r＝O2B＝1， 所以外接球半径R＝OB＝＝， 所以该圆柱的外接球的体积V＝π×()3＝. (2)设铁球的半径为R(0＜R＜4)，情形一：两个铁球的球心都在圆柱的轴上，且两球分别与圆柱的上、下底面相切，其轴截面如图1，则4R＝9，则R＝；情形二：两球均分别与圆柱的一个底面和侧面相切，其轴截面如图2， 则 解得R＝或R＝(舍去). 由于＜，故R的最大值为. 【答案】　(1)B　(2) 由于球及旋转体都是轴对称图形，故一般要利用这种对称性确定球心，即作出球与旋转体的轴截面，利用球心到球面上两点的距离都等于半径确定球心与半径． [跟踪训练2] (1)若圆台的上、下底面半径分别为r，R，则其内切球的表面积为(　　) A．4π(r＋R)2　　　　 B．4πr2R2 C．4πRr D．π(R＋r)2 解析：选C.圆台的轴截面如图所示，BE＝BO2＝r，AE＝AO1＝R，又OE⊥AB 且BO⊥OA，所以△AEO∽△OEB，所以OE2＝AE·BE＝Rr，所以内切球的表面积为4πOE2＝4πRr. (2)球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，且球心在圆锥内，则该圆锥的体积和此球体积的比值为___________． 解析：因为球心在圆锥内，所以圆锥顶点与底面在球心两侧，如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是，于是圆锥的底面半径为＝，高为. 该圆锥的体积为×π××＝πr3，球的体积为πr3，所以该圆锥的体积和此球体积的比值为 ＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $