第11章 阶段提升(三) 空间几何体(范围：11.1)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

阶段提升(三)　空间几何体(范围：11.1)

题型一　空间几何体的表面积与体积

1．已知一四棱锥底面为正方形，侧面均为边长为的等边三角形，则该四棱锥的体积是(　　)

A．    B．   

C．    D．

解析：选D.由四棱锥底面为正方形，侧面均为边长为的等边三角形，得该四棱锥为正四棱锥，其高为h＝＝1，所以该四棱锥的体积是V＝×()2×1＝.

2．若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，则＝(　　)

A．－1    B．

C．－1    D．

解析：选D.圆锥的表面积为πrl＋πr2，球的表面积为4π＝πl2，故πrl＋πr2＝πl2，

即＋－1＝0，故＝(负值已舍去).

3.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底

面正六边形边长为 cm，高为2 cm，内孔直径为1 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____________cm3.

解析：V螺帽＝V正六棱柱－V圆柱＝6×××2－π××2＝(cm3).

答案：9－

4．已知圆锥的底面半径为6，体积为96π，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，若截得的圆台体积为84π，则该圆台的表面积为_________________．

解析：设圆台上底面半径为r，高为h，则＝，解得r＝3，

由圆台的体积公式得h＝84π，

解得h＝4，

所以圆台的母线长l＝＝5，

则圆台的侧面积为π×5＝45π，

所以圆台的表面积为45π＋9π＋36π＝90π.

答案：90π

空间几何体的表面积与体积的求法

(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．

(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．

(3)求复杂几何体的体积常用割补法、等积法等求解．

题型二　球与多面体的“切”“接”

[例1] 如图，已知在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，PA，AB，AD两两相互垂直，AB＝BC＝4，PA＝3，则此四棱锥外接球与内切球的表面积之比为(　　)

A．∶2    B．41∶4

C．∶1　    D．41∶1

【解析】　如图，可将四棱锥P­ABCD放入长方体中，设外接球的半径为R，则(2R)2＝32＋42＋42＝41，故R2＝，所以外接球的表面积为4πR2＝41π.设内切球的半径为r，由长方体的性质可知：△PAB，△PBC，△PDC，△PAD均为直角三角形，且S△PAB＝S△PAD＝×4×3＝6，S△PBC＝S△PDC＝×4×5＝10，则VP­ABCD＝×4×4×3＝(S正方形ABCD＋S△PAB＋S△PBC＋S△PDC＋S△PAD)r＝×(4×4＋2×6＋2×10)r，解得r＝1，所以内切球的表面积为4πr2＝4π，故该四棱锥外接球与内切球的表面积之比为41∶4.

【答案】　B

(1)特殊多面体的内切球或外接球问题，要注意球心的位置与几何体的关系．一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊的位置，比如几何体的中心、对角线的中点等．

(2)对于一些特殊的三棱锥、四棱锥，还要会利用补体法转化为长方体(正方体)与球的切、接问题，如三条侧棱两两垂直的三棱锥、对棱相等的三棱锥、有一条侧棱与底面(为矩形)垂直的四棱锥等都可以补成长方体后确定球心．