11.4.2 第2课时 平面与平面垂直的性质（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦平面与平面垂直的性质定理这一核心知识点，承接上节课面面垂直的判定（由线面垂直得到面面垂直），系统探究其性质（由面面垂直得到线面垂直），梳理定理的自然语言、符号语言及图形语言，结合例题与跟踪训练实现性质应用及垂直关系转化。 资料通过“思考”问题链引导学生直观感知、归纳定理，培养几何直观与空间观念（数学眼光），例题证明过程严谨，强化推理能力（数学思维），符号与图形语言结合提升数学表达（数学语言）。课中辅助教师引导探究，课后练习题助力学生巩固，查漏补缺。

第2课时　平面与平面垂直的性质 新课导入 学习目标 　　我们上一节课学习了平面与平面垂直的判定方法，知道由“线面垂直”可以得到“面面垂直”，那么若已知“面面垂直”是否可以得到“线面垂直”呢？这就是我们本节课要研究的平面与平面垂直的性质． 1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的性质定理，并加以证明． 2．能用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题． 一　平面与平面垂直的性质定理 思考1　如果两个平面α，β互相垂直，直线l在平面β内，那么直线l与平面α有怎样的位置关系？ 提示　可能平行，可能相交，也可能在平面α内． 思考2　在思考1的条件下，当直线l满足什么条件时，它与平面α垂直． 提示　当直线 l与两平面的交线垂直时，它与平面α垂直． [知识梳理] 自然语言 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 符号语言 α⊥β，α∩β＝m，AO⊂α，AO⊥m⇒AO⊥β 图形语言 [例1] (对接教材例2)如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝BE.求证：EA⊥平面ABCD. 【证明】　设AF＝EF＝a，则BE＝2a. 如图，过点A作AM⊥BE于点M， 因为AF∥BE，所以AM⊥AF. 又因为AF⊥EF，所以AM∥EF， 又因为AF＝EF，所以四边形AMEF是正方形． 所以AM＝a，EM＝MB＝a，所以EA＝AB＝a， 所以EA2＋AB2＝EB2，所以EA⊥AB. 又因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD ∩平面ABEF＝AB，EA⊂平面ABEF，所以EA⊥平面ABCD. 应用面面垂直的性质定理的策略 注意　面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可． [跟踪训练1] 如图，已知AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC.试判断BC与平面PAC的位置关系，并证明． 解：BC⊥平面PAC.证明如下： 因为AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点， 所以∠ACB＝ 90°，即BC⊥AC. 又因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC， 所以BC⊥平面PAC. 二　垂直关系的转化 [例2] 如图，在四棱锥A­BCDE中，底面BCDE为正方形，平面ABE⊥平面BCDE，AB＝AE. (1)求证：平面ADE⊥平面ABE；　 (2)在棱DE上求作一点P，使得CP⊥AD，并证明． 【解】　(1)证明：因为底面BCDE为正方形，所以DE⊥BE. 因为平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE＝BE， DE⊂平面BCDE，所以DE⊥平面ABE，又DE⊂平面ADE， 所以平面ADE⊥平面ABE. (2)当P为DE的中点时，CP⊥AD. 证明如下：取BE的中点O，连接AO，DO(图略). 因为AB＝AE，O为BE的中点，所以AO⊥BE. 因为平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE＝BE， AO⊂平面ABE，所以AO⊥平面BCDE， 又CP⊂平面BCDE，所以AO⊥CP. 因为O为BE的中点，P为DE的中点， 所以△DOE≌△CPD，所以∠EDO＝∠DCP， 而∠DCP＋∠DPC＝，所以∠EDO＋∠DPC＝， 即DO⊥CP. 因为AO∩DO＝O，AO，DO⊂平面AOD，所以CP⊥平面AOD， 又AD⊂平面AOD，所以CP⊥AD. 垂直关系的转化 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终得到论证，其转化关系如下： [跟踪训练2] (2025·济南期末)在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面ABC. (1)若AB⊥BC，求证：平面A1BC⊥平面AA1B1B； (2)若平面A1BC⊥平面AA1B1B，求证：AB⊥BC. 证明：(1)因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC. 又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，AA1，AB⊂平面AA1B1B， 所以BC⊥平面AA1B1B. 又BC⊂平面A1BC， 所以平面A1BC⊥平面AA1B1B. (2)如图，过A作AD⊥A1B于点D. 因为平面A1BC⊥平面AA1B1B，平面A1BC∩平面AA1B1B＝A1B， AD⊂平面AA1B1B，所以AD⊥平面A1BC. 又BC⊂平面A1BC，所以AD⊥BC. 因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以AA1⊥BC. 又AD，AA1⊂平面AA1B1B，AA1∩AD＝A， 所以BC⊥平面AA1B1B. 又AB⊂平面AA1B1B，所以AB⊥BC. 三　与面面垂直有关的计算 [例3] (对接教材例2)如图，在四面体P­ABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________． 【解析】　取AB的中点E，连接PE，EC. 因为∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，所以AB＝10，所以CE＝5. 因为PA＝PB＝13，E是AB的中点， 所以PE⊥AB，又AE＝5， 所以PE＝12. 因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PE⊂平面PAB，所以PE⊥平面ABC. 因为CE⊂平面ABC，所以PE⊥CE， 则在Rt△PEC中，PC＝＝13. 【答案】　13 平面与平面垂直的性质定理的主要应用就是过一个平面内一点作另一个平面的垂线，因此涉及已知条件中含平面与平面垂直的计算问题时，主要是利用性质定理作出平面的垂线，将问题转化为直角三角形中的计算问题． [跟踪训练3] 如图，在四面体A­BCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD是边长为3的等边三角形，BD＝CD，BD⊥CD，则四面体A­BCD的体积为________． 解析：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，CD⊥BD，CD⊂平面BCD， 所以CD⊥平面ABD， 所以V四面体A­BCD＝V四面体C­ABD＝S△ABD·CD， 因为△ABD是边长为3的等边三角形，所以S△ABD＝×3×3×sin ＝， 又BD＝CD＝3，所以V四面体A­BCD＝××3＝. 答案： 1．已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是(　　) A．l∥β或l⊂β B．l∥m C．m⊥α D．l⊥m 解析：选A.由l⊥平面α，且α⊥β知l∥β或l⊂β，A正确；m与α不一定垂直，C错误；l与m平行、相交、异面都可能，所以B，D错误． 2．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则α∥γ B．若平面α⊥平面β，则α内的任意一条直线必垂直于β内的无数条直线 C．若平面α⊥平面β，则α内一定存在直线平行于平面β D．若平面α⊥平面β，则垂直于两个平面交线的直线垂直于平面α 解析：选BC.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面α与平面γ可能平行或相交，A错误；若平面α⊥平面β，则α内的任意一条直线必垂直于β内的无数条直线，但不一定垂直于β内的所有直线，B正确；若平面α⊥平面β，则α内平行于交线的直线平行于平面β，C正确；若平面α⊥平面β，则垂直于两个平面交线且位于平面β内的直线垂直于平面α，D错误． 3．(2025·沈阳月考)已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，P是空间一点，且P到α，β的距离分别是1，2，则点P到l的距离为________． 解析：如图，过点P作PA⊥β于点A，作PB⊥α于点B，PA，PB两条相交直线确定的平面与l相交与O，连接BO，PO，AO， 因为PA⊥l，PB⊥l，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAOB，所以l⊥平面PAOB，因为α⊥β，所以AO⊥OB， 所以四边形PAOB为矩形， 又因为PO⊂平面PAOB， 所以l⊥PO， 所以PO的长就是点P到直线l的距离． 所以PO＝＝＝. 答案： 4.如图，四棱锥V­ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：VA⊥平面VBC. 证明：因为平面VAB⊥平面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD， 所以BC⊥平面VAB. 又VA⊂平面VAB，所以BC⊥VA. 又VB⊥平面VAD，VA⊂平面VAD，所以VB⊥VA. 又VB∩BC＝B，VB，BC⊂平面VBC，所以VA⊥平面VBC. 1．已学习：平面与平面垂直的性质定理． 2．须贯通：掌握垂直关系的转化思想；线线垂直是垂直关系的基础． 3．应注意：面面垂直性质定理的条件和结论． 学科网（北京）股份有限公司 $