平面与平面垂直导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册
2025-10-10
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普通
摘要：
该高中数学导学案围绕“平面与平面垂直”展开，通过笔记本电脑打开抽象二面角、建筑工人砌墙引出判定定理等情境，引导学生从现实问题中抽象空间形式，搭建从直观感知到定理归纳的学习支架。
资料以生活情境激活数学眼光，通过动手画图、问题链设计（如正方体二面角求法、定理符号化）培养数学思维，分层习题与合作探究结合，助力学生掌握判定和性质定理，提升空间观念与推理能力，适合自主学习与课堂教学。
内容正文：
课题：平面与平面垂直
【课标要求】
1.了解空间中平面与平面的垂直关系，归纳出空间中平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并加以证明．
2．能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题．
【学习目标】
1.通过实例直观感知，并类比平面几何中角的定义，概括出二面角的定义，会求简单二面角的大小；
2.结合实际情境，归纳并证明面面垂直的判定定理和性质定理；
3.通过例题的学习，学会应用面面垂直的判定和性质定理解决空间中的垂直关系问题。
【自主学习】
情境1：如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉，
（1）观察电脑的打开过程，可以抽象出什么几何图形？动手画出抽象出的几何图形.
（2）观察抽象出的几何图形，它由哪些几何元素构成？
思考：
问题 1：如图，以 AB 为棱，α 和 β 为半平面的二面角，通常记作二面角α-AB-β. 如果 C 和 D 分别是半平面 α 和 β 内的点，那么这个二面角也可记作 C-AB-D. 那么如何来刻画二面角的大小呢？
二面角的平面角是如何定义的？
问题2：如图所示，在正方体中，求二面角的大小。
变式：平面与平面ABCD所成角的大小？
情境2：如图，建筑工人在砌墙时，为了保证所砌墙面与水平面垂直，通常会用铅垂等先构造出一条与水平面垂直的线，然后紧贴线来砌墙。
（1）你知道为什么此时墙面就一定会与水平面垂直吗？
（2）从数学的角度，这一现象能概括出什么结论？试分别用自然语言与符号语言描述。
1.面面垂直的判定定理
自然语言：
符号语言：
问题：教室的黑板与地面是什么关系？能否在黑板上画一条直线与地面垂直？若能，如何画呢？
2.面面垂直的性质定理;
自然语言：
符号语言：
【预习评测】
1．判断
①过平面外一点只可作一个平面与已知平面垂直；（ ）
②过不在平面内的一条直线可以作无数个平面与已知平面垂直.（ ）
2.
在长方体中
（1）证明：侧面与底面垂直.
（2）已知，求二面角的大小。
3.如图,是圆的直径,垂直于圆所在的平面,是圆周上不同于、的任意一点．
求证:（1）平面PAC⊥平面ABC; (2)平面PAC⊥平面PBC．
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)山东省昌乐一中 山东省昌乐一中 高一数学必修第四册《立体几何初步》学案 编号25
编制 宫洪新 朱良邦 审核 王凤杰 审批 尹万鑫
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)
高二数学必修第四册《立体几何初步》学案 编号4-24
编制： 修改： 审核： 审批：
高二数学必修第四册《立体几何初步》学案 编号4-24
班级_____________ 小组___________ 姓名_________________ 使用时间____________
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【合作探究】
例1．已知：平面平面，在与的交线上取线段AB=8cm，AC,BD分别在平面和平面内，它们都垂直于交线AB，并且AC=6cm,BD=24cm,求CD的长.
例2.已知中，AB=AC=,AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使成直角，
求证： （1）平面ABD平面BDC，平面ACD平面BDC
（2）
【当堂检测】
1.下列说法中:①两个相交平面组成的图形叫做二面角;②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系,其中正确的有( )
A.①③ B.②④ C.③④ D.①②
2. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．
求证：AB⊥PD．
【课后巩固】
A组
1.空间中，设为两条不同的直线，为两个不同的平面，给定下列条件：
①②∥且③∥其中可以判定的有_____
2.已知直线与平面，能使的条件是_______
①②③∥
3.已知大小为的二面角的一个面内有一点，它到另一个面的距离是3，则这个点到二面角的棱的距离为___________
4. P是二面角内的一点，，,且，则此二面角的大小为_________.
5.已知空间四边形ABCD中，AC=AD，BC=BD，且E是CD的中点，
求证： （1）平面ABE⊥平面BCD
（2）平面ABE⊥平面ACD
B组
6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点. 请问平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由.
7.如图，P是正三棱锥侧面ACD上一点，要在面ACD上过点P作一条与棱AB垂直的线段，该怎样作?写出作法，并说明理由.
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