11.4.1 第2课时 直线与平面垂直的性质及线面角（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学直线与平面垂直的性质定理及线面角核心知识点，承接上节线面垂直的判定，通过性质定理（垂直于同一平面的两直线平行）及线面角（斜线与射影夹角）的学习，为后续面面垂直等知识搭建学习支架。 该资料以长方体、铅笔等生活化实例引导学生用数学眼光观察空间关系，通过正方体中EF∥BD1的证明等例题培养数学思维，结合符号与图形语言规范表达。课中助教师高效授课，课后跟踪训练与习题帮助学生巩固，查漏补缺。

第2课时　直线与平面垂直的性质及线面角 新课导入 学习目标 　　我们知道，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线是平行的，在上节我们学习了直线与平面的垂直，那么垂直于同一条直线的两个平面有何关系？垂直于同一个平面的两条直线呢？这就是我们这节课解决的问题． 1.理解直线和平面垂直的性质定理，会应用性质定理判断两条直线的平行． 2．掌握直线与平面所成的角，会求空间中的距离． 一　直线与平面垂直的性质定理 思考　如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，棱AA′，BB′，CC′，DD′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？ 提示　平行． [知识梳理] 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 若l⊥α，m⊥α，则l∥m 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行；②作平行线 点拨　直线垂直于平面，则该直线垂直于平面内的所有直线． [例1] 如图，在正方体A1B1C1D1­ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1. 【证明】　如图所示，连接AB1，B1D1，B1C，BD， 因为DD1⊥平面ABCD，　 AC⊂平面ABCD， 所以DD1⊥AC. 又AC⊥BD，DD1∩BD＝D， DD1，BD⊂平面BDD1B1， 所以AC⊥平面BDD1B1， 又BD1⊂平面BDD1B1， 所以AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C， 又AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C， 所以BD1⊥平面AB1C. 因为EF⊥A1D，A1D∥B1C，所以EF⊥B1C. 又因为EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C， 所以EF⊥平面AB1C，所以EF∥BD1. 线面垂直性质定理应用的关注点 适用前提：已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直；证明的关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面． 注意　证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质． [跟踪训练1] 如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.求证：AE∥MN. 证明：因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD， 所以AE⊥AB.又AB∥CD，所以AE⊥CD. 因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， 所以AE⊥平面PCD. 因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD. 又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， 所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN. 二　直线与平面所成的角 思考　当一支铅笔一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面直至铅笔与桌面垂直的过程中，铅笔和桌面所成的角逐渐增大，观察思考铅笔和桌面所成的角怎样定义？ 提示　铅笔和它在桌面上的射影所成的角． [知识梳理] 1.如图，AB是平面α的垂线段，AC是平面α的斜线段，则△ABC是直角三角形，其中AB⊥BC.另外，因为B为A在平面α内的射影，所以直线BC称为直线AC在平面α内的射影．特别地，∠ACB称为直线AC与平面α所成的角． 2．关于线面角的说明 规定 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0° 范围 直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90° [例2] 如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，C1A交A1C于点O，∠BAC＝90°. (1)求证：C1A⊥平面A1B1C； (2)求直线B1C1与平面A1B1C所成的角． 【解】　(1)证明：在正方形ACC1A1中，C1A⊥A1C，因为∠BAC＝90°，所以AB⊥AC， 又因为侧面ABB1A1是正方形，所以AB⊥AA1， 因为AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面ACC1A1， 所以AB⊥平面ACC1A1，而C1A⊂平面ACC1A1， 则AB⊥C1A，而A1B1∥AB， 所以A1B1⊥C1A，而A1B1∩A1C＝A1， 又A1B1，A1C⊂平面A1B1C，所以C1A⊥平面A1B1C. (2)连接OB1，如图所示． 由(1)知C1A⊥平面A1B1C，所以∠C1B1O为直线B1C1与平面A1B1C所成的角， 因为C1O＝C1A＝C1B1， 又∠C1OB1＝90°， 所以∠C1B1O＝30°，所以直线B1C1与平面A1B1C所成的角为30°. 求直线与平面所成的角的步骤 [跟踪训练2] 如图，AB是圆柱OO1的一条母线，BC是底面的一条直径，D是圆O上一点，且AB＝BC＝5，CD＝3.则直线AC与平面ABD所成角的正弦值为__________． 解析：因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD， 所以AB⊥CD，又BC是底面的一条直径，所以BD⊥CD. 因为BD，AB⊂平面ABD，BD∩AB＝B， 所以CD⊥平面ABD， 所以∠CAD是直线AC与平面ABD所成的角， 因为AB＝BC＝5，所以AC＝5， 所以sin ∠CAD＝＝. 答案： 三　直线与平面垂直的综合应用 [例3] (对接教材例3)如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD满足AD∥BC，且AB＝AD＝AA1＝2，BD＝DC＝2. (1)求证：AB⊥平面ADD1A1； (2)求四棱锥C­BDD1B1的体积． 【解】　(1)证明：因为AA1⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥AA1. 因为AB＝AD＝2，BD＝2， 所以AB2＋AD2＝BD2，则AB⊥AD. 又AA1∩AD＝A，AA1，AD⊂平面ADD1A1， 所以AB⊥平面ADD1A1. (2)由(1)知AB⊥AD，且AD∥BC，BD＝DC＝2，可得∠CBD＝∠DCB＝45°，所以∠BDC＝90°，所以BD⊥DC. 因为AA1⊥平面ABCD，AA1∥DD1，所以DD1⊥平面ABCD. 又DC⊂平面ABCD，所以DD1⊥DC. 又DD1∩BD＝D，DD1，BD⊂平面BDD1B1，所以DC⊥平面BDD1B1，即DC为四棱锥C­BDD1B1的高． 因为DD1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以DD1⊥BD，即四边形BDD1B1为矩形. V四棱锥C­BDD1B1＝S矩形BDD1B1·DC＝DD1·BD·DC＝×2×2×2＝. (1)线线、线面垂直问题的解题策略 证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，由此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面． (2)空间中距离的转化 ①利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的某一点到平面的距离． ②利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离． ③通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高． [跟踪训练3] 如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，AB＝AC，F是B1C1的中点，点E在棱CC1上． (1)证明：A1F⊥B1E； (2)若∠BAC＝120°，AA1＝2AB＝2，且点B1到平面A1EF的距离为，求CE∶EC1的值． 解：(1)证明：在直三棱柱ABC­A1B1C1中，易证CC1⊥A1F， 又AB＝AC，即A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点， 所以A1F⊥B1C1，又CC1∩B1C1＝C1，CC1，B1C1⊂平面B1C1CB，所以A1F⊥平面B1C1CB， 因为B1E⊂平面B1C1CB，所以A1F⊥B1E. (2)由(1)知，A1F⊥平面B1C1CB， 由条件可知，A1F＝A1B1＝，B1F＝FC1＝， 设EC1＝a，在△B1EF中，S△B1EF＝B1F·EC1＝××a＝a， 在Rt△EC1F中，EF＝＝，S△A1EF＝A1F·EF＝ . 由V三棱锥A1­B1EF＝V三棱锥B1­A1EF， 得A1F·S△B1EF＝d·S△A1EF， 其中d为点B1到平面A1EF的距离，由题知d＝， 所以××a＝×× ， 解得a＝1(负值已舍去)， 所以CE∶EC1＝1∶1. 综上，CE∶EC1的值为1. 1．(多选)已知a，b为两条不同的直线，α为平面，下列命题正确的是(　　) A. ⇒b⊥α B． ⇒b∥α C. ⇒a⊥b D． ⇒a∥b 解析：选ACD.对于A，a∥b，a⊥α，则b⊥α，A正确； 对于B，a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，B错误； 对于C，b∥α，则存在过直线b与平面α相交的平面，令交线为c，于是b∥c， 由a⊥α，c⊂α，得a⊥c，因此a⊥b，C正确； 对于D，a⊥α，b⊥α，则a∥b，D正确． 2．已知直线AB交平面α于点O(A，B在平面同一侧)，AB＝2OA，AC⊥平面α，BD⊥平面α，若AC＝1，则BD＝__________． 解析：如图，因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，则AC∥BD，又AB＝2OA，故BD＝3AC＝3. 答案：3 3．(教材P125 T2(1)改编)已知直线AB⊂平面α，点C∉平面α，过点C作平面α的垂线，垂足为H，连接CA，CB，AH，BH.已知AB＝6，CH＝，∠ACB＝90°，∠CAH＝30°，则直线BC与平面α所成的角的大小为____________． 解析：如图所示，因为CH⊥平面α，所以BH为直线BC在平面α上的射影，∠CBH为直线BC与平面α所成的角．在Rt△CAH中，∠CAH＝30°，CH＝，则AC＝2，在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝2，由勾股定理得BC＝2，在Rt△BCH中，sin ∠CBH＝＝＝，因为∠CBH∈(0，)，则∠CBH＝45°，故直线BC与平面α所成的角的大小为45°. 答案：45° 4.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD.求证：l∥AE. 证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD.因为AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE. 又因为AE⊥PD，CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因为l⊥平面PCD，所以l∥AE. 1．已学习：直线与平面垂直的性质定理、直线与平面所成的角、距离问题． 2．须贯通：(1)直线与平面垂直的性质定理提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的理论根据； (2)求直线与平面所成的角的步骤：一作、二证、三求、四答，其中作出线面角是关键，而确定斜线在平面上的射影是作角的突破口． 3．应注意：两条直线必须垂直于同一个平面或分别垂直于两个平行平面才有平行关系． 学科网（北京）股份有限公司 $