11.3.1 平行直线与异面直线（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学空间中的平行关系，从平面内直线位置关系扩展到空间，系统梳理平行直线的定义与传递性、等角定理、异面直线的概念及判定、空间四边形的性质，构建从基础到应用的学习支架。 资料以教室灯管、机械部件等实例导入，培养数学眼光，通过正方体模型探究平行与异面关系，发展空间观念与推理能力，课中助于直观理解空间关系，课后跟踪训练与注意事项可帮学生查漏补缺。

11．3　空间中的平行关系 11．3.1　平行直线与异面直线 新课导入 学习目标 　　在平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种．在空间中，情况就不同了．例如，如图所示，教室中日光灯管所在直线与黑板左侧所在直线，机械部件蜗杆和蜗轮的轴线a和b，它们既不相交也不平行． 1.了解空间中的两条直线的位置关系． 2．理解空间平行线的传递性，会证等角定理． 3．理解异面直线的概念、画法，了解空间四边形． 一　平行直线 把一张长方形的纸对折，打开以后如图所示． 思考　这些折痕什么关系？ 提示　互相平行． [知识梳理] 1．平行直线的定义 在同一平面内不相交的两条直线称为平行直线． 2．平行直线的传递性 平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示：⇒b∥c. [例1] 已知棱长为a的正方体ABCD­A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点．求证：四边形MNA′C′是梯形． 【证明】　如图所示，连接AC，由正方体的性质可知： AA′＝CC′，AA′∥CC′， 所以四边形AA′C′C为平行四边形， 所以A′C′＝AC，A′C′∥AC. 又因为M，N分别是CD，AD的中点， 所以MN∥AC，且MN＝AC， 所以MN∥A′C′，且MN＝A′C′. 所以四边形MNA′C′是梯形． 证明空间中两条直线平行的方法 (1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明． (2)利用平行线的传递性，即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由平行线的传递性得到a∥b. [跟踪训练1] 已知正方体ABCD­A1B1C1D1，E，F分别为AA1，CC1的中点．求证：BF綉ED1. 证明：如图，取BB1的中点G，连接GC1，GE. 因为F为CC1的中点，所以BG綉C1F.所以四边形BGC1F为平行四边形．所以BF綉GC1. 因为E为AA1的中点，所以EG綉A1B1， 又A1B1綉C1D1，所以EG綉C1D1. 所以四边形EGC1D1为平行四边形． 所以ED1綉GC1.所以BF綉ED1. 二　等角定理 思考　在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，在空间中，两个角的两边分别对应平行时，这两个角有几种位置关系？这两个角的关系怎么样？ 提示　当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图1、图2所示的两种位置．两个角相等或互补． [知识梳理] 文字语言 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等 图形语言 注意 在上述文字语言中，若不加“方向相同”，则这两个角相等或互补 [例2] 如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝. 证明：△ABC∽△A′B′C′. 【证明】　因为AA′与BB′相交于点O，所以AA′与BB′共面，在△ABO和△A′B′O中，可得∠AOB＝∠A′OB′， 又因为＝，所以△ABO∽△A′B′O， 所以∠BAO＝∠B′A′O， 所以AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′. 当AB∥A′B′，AC∥A′C′时， 易知∠BAC＝∠B′A′C′. 同理∠ABC＝∠A′B′C′， 因此△ABC∽△A′B′C′. 空间角相等的证明方法 (1)等角定理是较常用的方法，等角定理的结论是相等，在实际应用时，若不加“方向相同”，一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能． (2)转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明． [跟踪训练2] 在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，P分别是CC1，B1C1，C1D1的中点． 求证：∠NMP＝∠BA1D. 证明：如图，连接CB1，CD1，因为CD綉A1B1， 所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以A1D∥B1C.因为M，N分别是CC1，B1C1的中点，所以MN∥B1C，所以MN∥A1D. 因为BC綉A1D1，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1. 因为M，P分别是CC1，C1D1的中点， 所以MP∥CD1，所以MP∥A1B， 因为∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反， 所以∠NMP＝∠BA1D. 三　异面直线 思考　我们知道在同一平面内两条直线有相交和平行两种位置，那么在空间中，两条直线是不是也只有相交和平行呢？ 提示　不是．观察如图所示的长方体ABCD-A′B′C′D′的棱AB与棱CC′所在的直线，可以发现直线AB和直线CC′既不相交，又不平行． [知识梳理] 1．定义：空间中既不平行也不相交的直线． 2．异面直线的画法 如图1，2，3所示，为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托． 3．判断两直线为异面直线的方法 (1)定义法； (2)与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面． [例3] 如图，若P是△ABC所在平面外一点，PA≠PB，PN⊥AB，N为垂足，M为AB的中点，求证：PN与MC为异面直线． 【证明】　方法一：因为PA≠PB，所以点N与点M不重合．因为N∈平面ABC，P∉平面ABC，CM⊂平面ABC，N∉CM，所以根据与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线可知，直线PN与MC是异面直线． 方法二(反证法)：假设PN与MC不是异面直线，则存在一个平面α，使得PN⊂α，MC⊂α，于是P∈α，C∈α，N∈α，M∈α. 因为PA≠PB，PN⊥AB，N为垂足，M是AB的中点， 所以M，N不重合． 因为M∈α，N∈α，所以直线MN⊂α. 因为A∈MN，B∈MN，所以A∈α，B∈α. 即A，B，C，P四点均在平面α内，这与点P在平面ABC外矛盾．所以假设不成立，则原命题成立． 判定两条直线是异面直线的方法 (1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内． (2)排除法(反证法)：排除两直线共面(平行或相交).　 (3)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．如图，A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒直线AB与l是异面直线． [跟踪训练3] (1)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　) A.平行　　　　 　 B．异面 C.相交 D．平行、相交或异面 解析：选D.可借助长方体来判断．如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD­A′B′C′D′中的B′C′，DD′，CC′.故a和c可以平行、相交或异面． (2)三棱柱ABC-A1B1C1的9条棱中，与AB异面的棱有________条． 解析：如图， 与AB异面的棱有A1C1，B1C1，CC1，共3条． 答案：3 四　空间四边形 [知识梳理] 顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形，其中4个点都是空间四边形的顶点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线． [例4] (对接教材例题)如图所示，在空间四边形ABCD(四个顶点不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点． (1)求证：四边形EFGH是平行四边形； (2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形． 【证明】　(1)因为在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EF∥AC，HG∥AC， EF＝AC，HG＝AC， 所以EF∥HG，且EF＝HG， 所以四边形EFGH是平行四边形． (2)因为在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点， 所以EH＝BD. 由(1)知EF＝AC，又AC＝BD， 所以EH＝EF. 又因为四边形EFGH是平行四边形， 所以四边形EFGH是菱形． 因空间图形往往包含平面图形，故在解答与空间四边形有关的问题时，常借助平面几何中的有关性质或定理． [跟踪训练4] 如图1所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，将平面CDFE沿EF翻折起来，使CD到达C′D′的位置(如图2)，G，H分别为AD′，BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形． 证明：在题图1中，因为四边形ABCD为梯形，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点， 所以EF∥AB且EF＝(AB＋CD). 在题图2中，易知C′D′∥EF∥AB. 因为G，H分别为AD′，BC′的中点， 所以GH∥AB且GH＝(AB＋C′D′)＝(AB＋CD)，所以GH∥EF，GH＝EF，所以四边形EFGH为平行四边形． 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．在正六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1任意两个顶点的连线中，与棱AB平行的条数为(　　) A.2 B．3 C.4 D．5 解析：选D.如图，连接CF，C1F1，与棱AB平行的有ED，CF，A1B1，C1F1，E1D1，共有5条．故选D. 2．(多选)(2025·东营月考)已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M为DD1的中点，则下列直线中与直线BM是异面直线的有(　　) A.AA1 B．BB1 C.CC1 D．DD1 解析：选AC.显然BB1∩BM＝B，DD1∩BM＝M，B，D错误； 直线AA1，CC1与BM既不平行，也不相交，是异面直线，A，C正确． 3．(多选)(教材P100练习AT2改编)空间中有两个角α，β，且角α，β的两边分别平行．若α＝60°，则β＝(　　) A.30° B．60° C.120° D．150° 解析：选BC.因为角α与β两边对应平行，但方向不确定，所以α与β相等或互补，故β＝60°或β＝120°.故选BC. 4．(教材P100练习BT4改编)如图所示为一块长方体木料，在平面A1B1C1D1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由． 解：如图所示，在平面A1B1C1D1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求． 理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC. 1．已学习：(1)平行直线与异面直线；(2)等角定理；(3)空间四边形． 2．须贯通：掌握空间中两直线平行与异面的证明方法． 3．应注意：两直线无公共点不是两直线平行的充要条件；等角定理中若不加“方向相同”的结论是相等或互补． 学科网（北京）股份有限公司 $